初中數(shù)學(xué)解決直角三角形問(wèn)題常見(jiàn)的幾種途徑

任龍華

(江蘇省海安縣大公初中 226600)

初中數(shù)學(xué)教材中有不少關(guān)于直角三角形的相關(guān)知識(shí)，如直角三角形的兩個(gè)銳角互余、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理和逆定理、利用三角函數(shù)解直角三角形、圓周角的推論和直角三角形全等或者相似的判定等等.其中，解決直角三角形問(wèn)題常見(jiàn)的途徑有勾股定理、直線解析式法和構(gòu)造相似三角形等.下面就一些就有關(guān)直角三角形的一些常見(jiàn)題型加以解析說(shuō)明，與同行們進(jìn)行探討．

一、運(yùn)用勾股定理解決相關(guān)直角三角形問(wèn)題

問(wèn)題1 在Rt△ABC中，AC=3,BC=4,當(dāng)AB等于多少時(shí)，△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了初中數(shù)學(xué)中的勾股定理知識(shí)和分類討論的數(shù)學(xué)思想．勾股定理可以解決直角三角形的一些邊長(zhǎng)問(wèn)題，在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．同時(shí)，此題要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，弄清楚題意，要分情況加以討論，防止學(xué)生遺漏，只考慮一種情況．

二、運(yùn)用直線解析式法解決有關(guān)直角三角形問(wèn)題

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十四章《正比例函數(shù)》中，通過(guò)直線平移，對(duì)其解析式的變化規(guī)律，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)直線互相平行時(shí)，它們的解析式中的k相等；再進(jìn)一步的觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線互相垂直時(shí)，它們解析式中的k互為負(fù)倒數(shù)，即k1·k2=-1．利用此規(guī)律，我們就可以解決一些有關(guān)的直角三角形或者垂直的相關(guān)問(wèn)題．

解析我們注意到本題中，直線CD⊥AB，如果它們的直線解析式中的k分別為：k1、k2，我們利用規(guī)律則有k1·k2=-1，從而求出k2=-2．進(jìn)而，我們?cè)O(shè)直線CD的解析式為y=-2x+b，再將點(diǎn)C(0,-1)代入，求出b=-1，所以直線CD為y=-2x-1．

點(diǎn)評(píng)雖然利用直線解析式k1·k2=-1的結(jié)論解決一些直線互相垂直問(wèn)題或者直角三角形的問(wèn)題對(duì)于初中生不作一般的要求，到了高中的平面解析幾何中就比較常見(jiàn)．但此結(jié)論在人教版教材的書(shū)后習(xí)題中出現(xiàn)了，教者一般都作了補(bǔ)充說(shuō)明，學(xué)生根據(jù)此結(jié)論解決相關(guān)的題型就會(huì)顯得很簡(jiǎn)便．

三、通過(guò)構(gòu)造相似三角形解決相關(guān)直角三角形問(wèn)題

盤(pán)點(diǎn)各省市近幾年的中考題，通過(guò)構(gòu)造相似三角形解決等腰三角形或者直角三角形的問(wèn)題經(jīng)常會(huì)不斷涌現(xiàn)，常見(jiàn)于求直角三角形未知點(diǎn)的坐標(biāo)等．

問(wèn)題3 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,1),B(5,6)，在x軸上找一點(diǎn)C，使△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，則C點(diǎn)坐標(biāo)為多少？

點(diǎn)評(píng)通過(guò)作輔助線，我們要善于在題目中發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造基本圖形，利用全等三角形或者相似三角形解決問(wèn)題．從“三垂直型”到“三角相等型”，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多直角三角形題目中都具有“三角相等型”，這類題目顯而易見(jiàn)，選擇構(gòu)造相似三角形解題來(lái)得方便．本題中以AB中點(diǎn)為圓心，AB為直徑作圓，如果與x軸有交點(diǎn)，那就是C點(diǎn)．

當(dāng)然，對(duì)于上面的問(wèn)題3，解法并不唯一，除了利用構(gòu)造相似三角形來(lái)解決以外，我們也可以利用勾股定理、直線解析式或者根據(jù)中點(diǎn)公式再結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)來(lái)解決．

在解決直角三角形相關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí)，有時(shí)這三種不同的方法都可以運(yùn)用，學(xué)生可以根據(jù)具體情況選擇一種比較簡(jiǎn)便的方法來(lái)解題或者將這三種方法中的某兩種結(jié)合起來(lái)使用，使得解題過(guò)程更簡(jiǎn)便．

問(wèn)題4 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-3,0),B(1,0)，過(guò)頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．

(1)直接填寫(xiě)：a=____,b=____,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)___；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)D,使得△ACD為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

解析第(1)問(wèn)中，直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于a、b的方程組，求出a=-1，b=-2，從而得出拋物線的解析式．再根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，把x=-1代入解析式，得到y(tǒng)=4，所以頂點(diǎn)為C(-1,4)．第(2)問(wèn)，由于題目沒(méi)有指明△ACD中哪個(gè)角是直角，所以要分三種情況進(jìn)行討論，而同時(shí)這三種途徑都可以用來(lái)解決本題中的直角三角形問(wèn)題．

最后，方法三：我們還可以構(gòu)造相似三角形來(lái)解題．分三種情況：

當(dāng)然，學(xué)生可以從中選擇其中一種的方法解題，或者當(dāng)C點(diǎn)、A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，學(xué)生可以選擇直線解析式法比較簡(jiǎn)便，當(dāng)D點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，選擇構(gòu)造相似三角形解題比較簡(jiǎn)便，也就是將其中兩種方法結(jié)合起來(lái)解題，這樣比較快捷靈活、簡(jiǎn)便易懂．

總而言之，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要進(jìn)行整理和歸納總結(jié)，把知識(shí)的點(diǎn)、線、面結(jié)合起來(lái)交織成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識(shí)體系，以此引領(lǐng)學(xué)生的真正掌握.

[1]劉輝.初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)現(xiàn)狀研究[D]. 武漢：華中師范大學(xué) ,2013.