一道例題的“華麗轉(zhuǎn)身”

陳佳佳

摘要：?jiǎn)栴}的解決是指問題的初始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的思維過程，筆者從一道例題入手，逐步剖析直線斜率在解題中的應(yīng)用，并在剖析過程引導(dǎo)學(xué)生思考，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}；直線斜率；數(shù)形結(jié)合

筆者在高三的一堂數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中，遇到這樣一個(gè)習(xí)題：

例題 設(shè)函數(shù) ，則 的取值范圍為_____________.

本題主要考察一元一次分式函數(shù)性質(zhì)，利用三角函數(shù)的有界性確定函數(shù)的值域。通常有兩種方法：一是反表示法，將函數(shù)解析式整理為 ，由 可得 從而就可得 ；二是將函數(shù)解析式整理為 ，由及 在 上單調(diào)遞增可得 .

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為問題是數(shù)學(xué)的心臟，波利亞認(rèn)為“掌握數(shù)學(xué)就意味著解題”，如果一堂習(xí)題課就是為了講解習(xí)題而講解，那么對(duì)高三復(fù)習(xí)課堂教學(xué)的有效教學(xué)無疑是背道而馳的，更不能提升學(xué)生的思維能力.為了高效地進(jìn)行高三復(fù)習(xí)，合理的組織知識(shí)點(diǎn)和能力點(diǎn)，通過改造題目的題設(shè)，進(jìn)一步的鍛煉的思維能力，滲透學(xué)科思想.筆者套用現(xiàn)在比較流行的一句話“華麗的轉(zhuǎn)身是一種行為，更是一種策略；是一種變化，更是一種境界；這也許是思想的成熟，也許是智慧的選擇，也許是價(jià)值的體現(xiàn)”.因此在此題的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)“華麗的轉(zhuǎn)身”，引導(dǎo)學(xué)生這個(gè)主體的思維走的更深，走的更廣.

一、提出問題

將例題作如下變式：

變式1設(shè)函數(shù) ，則 的取值范圍為_____________.

分析：將函數(shù)轉(zhuǎn)化為 ，再變形為 ，利用 ，得到 解得 .

筆者通過分析，學(xué)生很快就參與到解題中來，也很自然接受了這種利用余弦函數(shù)的有界性求解.如果對(duì)于這類問題僅限這種解法，顯然無論對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)還是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透都是是不利的，無法完成對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練.因此，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)采用對(duì)變式1再進(jìn)一步變式，逐步實(shí)現(xiàn)“華麗的轉(zhuǎn)身”，改變題設(shè)條件，即限制自變量的范圍為 ，即

變式2設(shè)函數(shù) ，則 的取值范圍為_____________.

在變式2中，限制了自變量的范圍，那么對(duì)于變式1中，由于 的值是由 來決定， 的范圍就很難確定， 的范圍也難以確定，所以變式2的求解帶來阻礙.當(dāng)思維受阻時(shí)，要對(duì)問題進(jìn)行分析，尋找有利的解題，就必須理解問題.

二、理解問題

“理解問題是解題思維活動(dòng)的開始.”“理解的一個(gè)重要指標(biāo)就是看一個(gè)人能否用平常的語言把問題陳述出來，并通過對(duì)問題的陳述產(chǎn)生關(guān)于問題的內(nèi)部表征.”對(duì)于變式2中的問題從式子的結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)分式結(jié)構(gòu)為“ ”也可以改寫為“ ”.如果（）中也為常數(shù)的話，就是“ ”，這樣可以讓學(xué)生聯(lián)想到直線斜率 ，那么“ ”就表示為點(diǎn) 與 連線的斜率.在變式2中，點(diǎn) 坐標(biāo)為 與點(diǎn) 坐標(biāo)為 ，則 ，至于點(diǎn) 為一變化的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè) ，則 .因?yàn)?，則點(diǎn) 為曲線 上的動(dòng)點(diǎn).到這里函數(shù) 就可以理解為曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn) 的連線斜率.求 的范圍即求的范圍.采用數(shù)形結(jié)合思想，如圖1所示：

回顧變式1函數(shù) 的自變量 沒有被限制時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M在圓 如圖2所示，函數(shù) ，又 所以 .

再回到例題1 函數(shù) 就可以理解為動(dòng)點(diǎn) 到點(diǎn) 連線的斜率，設(shè) 則動(dòng)點(diǎn) 在直線 ，如圖3所示：

筆者在教學(xué)過程中，充分發(fā)揮學(xué)生在課堂教學(xué)的主體作用，教會(huì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律與方法解題，一方面能使學(xué)生享受到發(fā)現(xiàn)的喜悅，使他們的創(chuàng)造才能得以展現(xiàn)，這種體驗(yàn)?zāi)莛B(yǎng)成學(xué)生的思維習(xí)慣，有效地提高其思維能力.另一方面，學(xué)生對(duì)從未曾見或似曾相識(shí)的也必有通過發(fā)現(xiàn)再聯(lián)想再證明的方式求解，這樣對(duì)學(xué)生形成自己的思維能力，進(jìn)行獨(dú)立解題起著至關(guān)重要作用.

三、轉(zhuǎn)換問題

雖然解決變式2問題，但是這個(gè)問題是否具有一般性呢？在“ ”結(jié)構(gòu)中引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系到直線的斜率，也發(fā)現(xiàn)了象圓、直線等曲線上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，筆者再次提出這些曲線是否可以用其他的曲線代替呢？提出這樣疑問將學(xué)生的思維進(jìn)一步提升，使學(xué)生獲取高一層次的思維品質(zhì)的鍛煉.將例題1再作變式：

變式3 求函數(shù) 的值域.

分析：因?yàn)?，設(shè) ，則 ，

從中可知 在曲線拋物線 上，函數(shù) 表示點(diǎn) 與定點(diǎn) 連線斜率，如圖4所示，因?yàn)?，其中PC為拋物線的切線.通過計(jì)算就可得 .

筆者通過對(duì)變式3的分析，使學(xué)生對(duì)形如： 函數(shù)經(jīng)過適當(dāng)分離常量后變形為 （或 ）再利用構(gòu)造直線斜率的方法求解函數(shù)的值域問題.在這里讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不僅僅是圓、直線等曲線也可以是常見的一些曲線例如：

（1） 對(duì)應(yīng)橢圓方程 ；

（2） 對(duì)應(yīng)雙曲線方程

（3） 對(duì)應(yīng)拋物線方程

四、解決問題與反思問題

從例題到變式1、2、3這一系列從提出問題——理解問題——轉(zhuǎn)換問題，讓學(xué)生的思維由淺入深，從表象走向本質(zhì)，從感性走向理性，逐步提升思維能力.這一系列問題本質(zhì)是利用直線斜率解決類似形如 問題.當(dāng)然直線斜率問題還可以在比如不等式證明，比較大小進(jìn)行應(yīng)用.

筆者通過這一系列問題設(shè)計(jì)目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，通過教學(xué)讓學(xué)生有目的進(jìn)行思考，對(duì)一些問題展開觀察、想象、聯(lián)想從而收獲數(shù)學(xué)能力的提升。求直線的斜率是我們高中階段比較基礎(chǔ)和重要的一類問題，應(yīng)該說對(duì)高三學(xué)生來說處理這類問題已經(jīng)是駕輕就熟了。所以，把一些我們看似難解的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的求直線斜率問題，就處理得非常好。利用我們熟悉而又簡(jiǎn)單的知識(shí)來解決看似難解的問題，就是我們追求的數(shù)學(xué)思維方式。教師應(yīng)幫助學(xué)生構(gòu)建并完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，升華數(shù)學(xué)思想，使得他們能夠?qū)W以致用，更好地將這種數(shù)學(xué)思想方法，解題策略推廣應(yīng)用到其他的數(shù)學(xué)問題上。

子曰：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。”我認(rèn)為學(xué)生的領(lǐng)悟與成長(zhǎng)離不開課后的自主反思，學(xué)生的自主反思也是教學(xué)落實(shí)最有效的途徑。讓學(xué)生通過反思練習(xí)進(jìn)一步應(yīng)用知識(shí)，實(shí)踐方法，感悟思想，提升能力，才能達(dá)到教學(xué)統(tǒng)一。

五、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思維是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要途徑。高中數(shù)學(xué)新課改的主導(dǎo)思想是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過程，以學(xué)生的發(fā)展為主要目標(biāo)，開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。哲學(xué)家蘇格拉底說：“教育不是灌輸，而是點(diǎn)燃火焰”。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純的依賴方法的模仿和記憶，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中方法是目標(biāo)，思維是核心，思維引領(lǐng)方法。數(shù)學(xué)教學(xué)承載著培養(yǎng)思維能力的特殊任務(wù)。作為課堂教學(xué)主導(dǎo)者的教師在組織課堂教學(xué)中我們更應(yīng)注重的是學(xué)生思維能力的發(fā)展，更多關(guān)注的是如何把學(xué)生的思維活躍起來，讓學(xué)生擁有更強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力。

課堂教學(xué)是提高能力、拓展思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。只有當(dāng)學(xué)生參與進(jìn)課堂教學(xué)活動(dòng)中時(shí)，學(xué)生的思維才能得以激活。教師在全面展示知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程中更應(yīng)注重發(fā)揮學(xué)生的主體作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與教學(xué)，讓學(xué)生在探索中理解知識(shí)、掌握方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。在課堂教學(xué)中教師可創(chuàng)設(shè)一些輕松、愉快的教學(xué)環(huán)境和氛圍，運(yùn)用科學(xué)的教學(xué)方法，充分調(diào)動(dòng)和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生的學(xué)習(xí)由“苦學(xué)”變?yōu)椤皹穼W(xué)”，由“要我學(xué)”變成了“我要學(xué)”，使課堂學(xué)習(xí)真正成為他們樂于參與的活動(dòng)，激活學(xué)生的思維。在組織課堂教學(xué)過程中教師應(yīng)當(dāng)成為參與者、促進(jìn)者和調(diào)控者。當(dāng)學(xué)生的思維受阻時(shí)，給予啟發(fā)和引導(dǎo)；當(dāng)學(xué)生回答有偏差時(shí)，給予點(diǎn)撥，變傳授學(xué)生方法為與學(xué)生一起探究方法，開發(fā)學(xué)生的潛能，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

總之，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。課堂教學(xué)中要善于激活學(xué)生的思維，能激活思維的教學(xué)、才是有效的教學(xué)；能開發(fā)潛能的教學(xué)、才是長(zhǎng)效的教學(xué)；能喚醒靈魂的教育、才是成功的教育。只有激活學(xué)生的思維，才能使課堂教學(xué)氣氛更活躍，才能使學(xué)生的探究意識(shí)更強(qiáng)烈，學(xué)習(xí)更主動(dòng)，從而使數(shù)學(xué)方法的掌握更透徹，課堂教學(xué)更效性。

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