對(duì)稱不等式的解題技巧探究

☉上海復(fù)旦附中高三（4）班 梅靈捷（指導(dǎo)老師：汪杰良）

對(duì)稱不等式的解題技巧探究

☉上海復(fù)旦附中高三（4）班 梅靈捷（指導(dǎo)老師：汪杰良）

在不等式中，變量擁有著兩兩之間的對(duì)稱性或輪換性，統(tǒng)稱為對(duì)稱性不等式.破壞對(duì)稱性是指通過(guò)規(guī)定順序、指定最值等方式，打破不等式原先固有的對(duì)稱性，從而達(dá)到簡(jiǎn)化不等式或方便估計(jì)的思想方法.該思想在對(duì)稱的代數(shù)不等式和組合不等式上較為有用.

證明：不妨令c=min｛a，b，c｝，

說(shuō)明：無(wú)限趨近于等號(hào)的條件是兩邊相等，一邊趨向于零.也就是說(shuō)，有兩條最長(zhǎng)邊.這也為我們的估計(jì)增加了兩種可以套用的不等式.當(dāng)遇到不對(duì)稱的取等條件時(shí)，我們可以使用破壞對(duì)稱性的思想.通過(guò)變?cè)g的部分替換，可以將表達(dá)式內(nèi)界決定上界的那一部分進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以達(dá)到使估計(jì)精確的目的.

例2 集合S?Z+，|S|=n，對(duì)于集合A，B，其中A，B?S且的最小值［2］

解析：令S的元素為a1≤a2≤…≤an.

Tm=｛ai|1≤i≤m，i∈N｝有2|Tm|-1=2m-1個(gè)非空子集，且每?jī)蓚€(gè)非空子集的元素和不同?元素和最大的子集Tm元素和為

以下對(duì)m使用數(shù)學(xué)歸納法.

（2）假設(shè)m=k成立，令m=k+1.

當(dāng)且僅當(dāng)ai=2i-1時(shí)取等號(hào).

說(shuō)明：我們并不能控制S指定一個(gè)元素的范圍，因?yàn)樵氐呐帕羞h(yuǎn)不如它們的和稠密.因而需要通過(guò)對(duì)一定個(gè)數(shù)元素的和進(jìn)行估計(jì).關(guān)鍵在于一定個(gè)數(shù)元素的和中最小的那一個(gè)如何確定.

注意到在解答中多次出現(xiàn)了將ai與2i-1進(jìn)行比較的情況，這是由ai之間的順序保證的.將兩個(gè)在取等條件下相等的數(shù)作差，可以將差放大，估計(jì)精細(xì).

例3 （2013年土耳其數(shù)學(xué)奧林匹克第二輪）求m的最大值，使得?a，b，c∈R+，a3+b3+c3-3abc≥m（ab2+bc2+ ca2-3abc）.

分析：首先可以看出，a，b，c的地位是不同的，這也與原式右邊是輪換非對(duì)稱式相符.因而我們可以破壞對(duì)稱性，使得限制m的范圍時(shí)等式兩邊都不為零.注意原式右側(cè)是輪換非對(duì)稱式，只能取定最大或最小或中間值，不能固定順序.

解：當(dāng)a=b=c時(shí)一定成立.當(dāng)a，b，c不全相等時(shí)，a3+b3+ c3-3abc，ab2+bc2+ca2-3abc＞0.

原題轉(zhuǎn)化為求滿足?a，b，c∈R+，m≤時(shí)m的最大值.

不妨令a=min｛a，b，c｝，以下進(jìn)行分類討論：

（1）當(dāng)b≤c（a≤b≤c）時(shí)，令b-a=x，c-b=y（x，y≥0）?其中A，B，C，D是與a無(wú)關(guān)的正常數(shù)因而T的極小值在a→0或a→+∞時(shí)取到.

（2）當(dāng)b≥c（a≤c≤b）時(shí)，（ab2+bc2+ca2-3abc）-（ac2+ cb2+ba2-3acb）=（a-b）（b-c）（c-a）≤0，即m（ab2+bc2+ca2-3abc）≤m（ac2+cb2+ba2-3acb）.

說(shuō)明：在一開始，本題通過(guò)孤立變量m，將恒成立問(wèn)題變?yōu)榍笞钪祮?wèn)題，同時(shí)減少了一個(gè)變量，簡(jiǎn)化了運(yùn)算.實(shí)際上，將T趨向?yàn)榱慊驘o(wú)窮大時(shí)，運(yùn)用了調(diào)整的思想.

本題通過(guò)將破壞對(duì)稱性后兩種截然相反的對(duì)偶式進(jìn)行比較，從而達(dá)到了化歸的效果，既契合了原式右側(cè)的輪換對(duì)稱性，又縮小了篇幅.

破壞對(duì)稱性思想在對(duì)稱不等式證明中具有著重要的作用.破壞對(duì)稱性思想可以在如下情況時(shí)使用：①有不對(duì)稱的取等條件的；②內(nèi)界需要進(jìn)行變?cè)鎿Q的；③需要加強(qiáng)較弱估計(jì)的；④需要提煉最有價(jià)值的關(guān)系式的；⑤需要利用某些調(diào)整法的；⑥利用對(duì)偶式的差別進(jìn)行化歸的.通過(guò)掌握破壞對(duì)稱性思想，可以解決大量使用普通方法無(wú)法完成的對(duì)稱不等式.

1.蘇勇，熊斌.不等式的解題方法與技巧［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2005.

2.Yong-Gao Chen.Distinct subset sums and an inequality for convex functions［J］.Proc.Amer.Math.Soc. 128（2000）.

3.“Turkey National Olympiad Second Round 2013· Art of Problem Solving”，［Online［·Available：http：//www. artofproblemsolving.com/Forum/resources.php.c=174&cid= 95&year=2013.