數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的妙用

☉江蘇省如東縣掘港高級(jí)中學(xué) 葛益平

數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的妙用

☉江蘇省如東縣掘港高級(jí)中學(xué) 葛益平

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性.數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的，筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剶?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.

一、研究圖中某些不等式關(guān)系

例1 已知定義在區(qū)間［0，1］上的函數(shù)y=f（x）的圖像如圖1所示，對(duì)于滿足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，給出下列結(jié)論：

圖1

其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

解析：“數(shù)形結(jié)合”從整體角度利用函數(shù)圖像“線”的角度分析函數(shù)性質(zhì)不易獲得結(jié)論，我們利用“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”的角度分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn).

由圖可知（0，0），（1，1）這兩點(diǎn)的斜率等于1，由f（x2） -（fx1）＞x2-x1，可得即圖中任意兩點(diǎn)（x，

1f（x1））與（x2，f（x2））連線的斜率大于1，顯然①不正確；由x2（fx1）＞x1（fx2）得即表示兩點(diǎn)（x，（fx）），

11（x2，f（x2））與原點(diǎn)連線的斜率的大小，可以看出結(jié)論②正確；任意找兩點(diǎn)（x1，（fx1）），（x2，（fx2）），則表示兩點(diǎn)縱坐標(biāo)和的一半表示該兩點(diǎn)中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖像，如圖2，容易判斷結(jié)論③是正確的.

二、研究在函數(shù)與方程中的運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合方法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想和教學(xué)原則貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形相結(jié)合，縮短了思維鏈、簡(jiǎn)化了思維過(guò)程、完善學(xué)生的解題思路、簡(jiǎn)化思維過(guò)程、尋找最佳解題方法有著重要作用，數(shù)形結(jié)合在函數(shù)與方程里有若干運(yùn)用.

1.方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

例2 設(shè)方程|x2-1|=k+1，試討論k取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況.

分析：我們可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y1=|x2-1|與y2=k+1圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)y2= k+1表示平行于x軸的所有直線，如圖3，從圖像可以直觀看出.

圖3

解：①當(dāng)k＜-1時(shí)，y1與y2沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無(wú)解；

②當(dāng)k=-1時(shí)，y1與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)不同的解；

③當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，y1與y2有四個(gè)不同交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有四個(gè)；

④當(dāng)k=0時(shí)，y1與y2有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)；

⑤當(dāng)k＞0時(shí)，y1與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有兩個(gè).

點(diǎn)評(píng)：將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.

2.取值范圍問(wèn)題

解析：因?yàn)楫?dāng)x∈（-1，1］時(shí)，將函數(shù)化為方程x2+m

y22= 1（y≥0），實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖像如圖4所示，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（-1，3］的圖像，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖像，由圖易知直線與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)半橢圓（x-4）2+無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，將代入

令t=9m2（t＞0），則（t+1）x2-8tx+15t=0.

由Δ=（8t）2-4×15t（t+1）＞0，得t＞15，即9m2＞15.

圖4

點(diǎn)評(píng)：本題比較綜合，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)圖像找到曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而判定方程的解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.通過(guò)解此題可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，激發(fā)學(xué)生的潛能.

3.解方程組的問(wèn)題

解析：注意到三個(gè)方程的結(jié)構(gòu)類似余弦定理（分別視“1”，“3”，“4”為“12”，“2bccosA，只要分別令其中的兩邊夾角為120°即可，原方程組可變形為

圖5

構(gòu)造圖形，如圖5，注意到S△ABC=S△AOB+S△BOC+ S△COA，且AB2+AC2=BC2，所以△ABC是直角三角形，故即xy+yz+xz=2.

把各方程相加，得2（x2+y2+z2）+（xy+yz+zx）=8.把xy+ yz+xz=2代入，解得x2+y2+z2=3.

又（x+y+z）2=（x2+y2+z2）+2（xy+yz+xz），所以（x+y+z）2= 3+2×2=7.

點(diǎn)評(píng)：此題解法關(guān)鍵是求出x+y+z，若用純代數(shù)解法是極困難的，但構(gòu)造三角形運(yùn)用余弦定理便迎刃而解，充分體現(xiàn)了以平面圖形助數(shù)的實(shí)效性.

三、研究超越方程或高次方程

1.研究分段函數(shù)問(wèn)題

利用“數(shù)形結(jié)合”從整體角度利用函數(shù)圖像“線”的角度繪出分段函數(shù)，再根據(jù)圖像解決相應(yīng)的問(wèn)題.

圖6

再根據(jù)“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”的角度分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn)，如（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））.

若a，b，c互不相等，不妨設(shè)a＜b＜c，因?yàn)閒（a）=f（b）= f（c），由圖像（圖7）可知，0＜a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12.

圖7

因?yàn)閒（a）=f（b），所以|f（a）|=|f（b）|，所以lga=-lgb，即所以ab=1，所以10＜abc＜12.

2.研究超越函數(shù)、超越方程問(wèn)題

例6 已知函數(shù)f（x）=|x2-4x+3|.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=x至少有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（1）遞增區(qū)間為［1，2］，［3，+∞）；遞減區(qū)間為（-∞，1］，［2，3］.

（2）原方程變形為|x2-4x+3|=x+a，于是，設(shè)y=x+a，在同一坐標(biāo)系下再作出y=x+a的圖像，如圖8.

圖8

當(dāng)直線y=x+a過(guò)點(diǎn)（1，0）時(shí)，a=-1；

當(dāng)直線y=x+a與拋物線y=-x2+4x-3相切時(shí)，由

點(diǎn)評(píng)：（1）“數(shù)形結(jié)合”從整體角度利用函數(shù)圖像“線”的角度分析函數(shù)圖像翻折變換，“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”的角度分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn)，函數(shù)f（x）=|x2-4x+3|的圖像是利用f（x）=x2-4x+3的圖像翻折得到的，翻折的關(guān)鍵先找到f（x）=x2-4x+3的圖像與x軸的交點(diǎn)及頂點(diǎn)進(jìn)行分析；（2）超越方程f（x）-a= x轉(zhuǎn)化成部分的兩個(gè)函數(shù)：f（x）=|x2-4x+3|與y=x+a.在函數(shù)f（x）=|x2-4x+3|的圖像的基礎(chǔ)上，分析直線y=x+a與f（x）= |x2-4x+3|的圖像幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（f（x）=x2-4x+3的圖像與x軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)，以及直線y=x+a與拋物線y=-x2+4x-3相切的切點(diǎn)）進(jìn)行分析.

四、研究導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的綜合問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)在應(yīng)用中常見(jiàn)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程根的個(gè)數(shù)的研究，一般這類問(wèn)題均可利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析，可以快速、簡(jiǎn)便地解決問(wèn)題.

例7 已知函數(shù)f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+ 2，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0.

（1）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解析：（1）a≤-4.（具體過(guò)程略）

當(dāng)x＜-1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0.

如圖9，所以h（x）極大值=h（±1）

圖9

圖10

h（x）極小值=h（0）=1-k.由圖10可知：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；

④當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x＜-1時(shí)，y′＞0；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y′＜0；當(dāng)1＜x＜0時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y′＜0.

④當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)以上可知函數(shù)的圖像法：大體上可以根據(jù)“數(shù)形結(jié)合，以點(diǎn)為主”兩個(gè)分析層面：“數(shù)形結(jié)合”從整體角度利用函數(shù)圖像“線”的角度分析函數(shù)性質(zhì)及其他結(jié)論；“以點(diǎn)為主”從部分角度利用函數(shù)圖像“點(diǎn)”的角度分析研究圖像上一些關(guān)鍵的點(diǎn)，達(dá)到分析的目的，如本題第（2）問(wèn)，表面上十分復(fù)雜，實(shí)際上只要解決“函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)”即可.

通過(guò)以上例題可看出，數(shù)形結(jié)合思想方法能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，其實(shí)質(zhì)就是“數(shù)中思形，以形助數(shù)”.它使很多代數(shù)問(wèn)題迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.同學(xué)們平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，在做題中要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要做到“胸中有圖，見(jiàn)數(shù)思圖”，以開(kāi)拓自己的思維視野，從而提高自己的解題能力.