變式探究圓錐曲線中一類定點問題

☉山東省濟南市長清第一中學 馬 晶

變式探究圓錐曲線中一類定點問題

☉山東省濟南市長清第一中學 馬 晶

圓錐曲線是高中數學重要內容之一，且在高考中常以壓軸題的形式出現，能有效考查考生分析問題、解決問題的能力.定點問題是圓錐曲線的重要考查題型，設問形式通常是證明或探索直線或曲線是否過某一定點.圓錐曲線中的定點、定值問題，便是考查學生綜合數學素質的一個重要途徑.此類問題主要涉及直線、圓與圓錐曲線等方面的知識，滲透了函數、化歸、數形結合的思想，是高考的熱點題型之一.本文以一道有關定點問題的命題為引例，進行變式探究，以供同學們參考.

設A（x1，y1），B（x2，y2），M

點評：此命題是證明圓過定點，因此可利用圓的幾何性質，即直徑所對的圓周角為直角以及坐標法、代入消元法、根與系數的關系，向量轉化思想等直接證明，難度中等.下面以此為基礎進行變式拓展.

一、變證為求

在新課標教育理念下，動曲線或動直線是否過定點的問題考查了學生的探究能力和探索精神.對于此類問題的常規(guī)做法是將動曲線的方程寫出，再想法消參，使得曲線方程中只含有一個參變量，從而找出定點.

（Ⅰ）求橢圓G的方程.

（Ⅱ）設橢圓G的短軸端點分別為A，B，點P是橢圓G上異于點A，B的一動點，直線PA，PB分別與直線x=4交于M，N兩點，以線段MN為直徑作圓C.

①當點P在y軸左側時，求圓C半徑的最小值.

②問：是否存在一個圓心在x軸上的定圓與圓C相切？若存在，指出該定圓的圓心和半徑，并證明你的結論；若不存在，說明理由.

（Ⅱ）設P（x0，y0），A（0，1），B（0，-1），所以直線PA的方程為

當x0=-2時，圓C半徑的最小值為3.

當P在左端點時，圓C的方程為（x-4）2+y2=9，

當P在右端點時，設P（2，0），A（0，1），B（0，-1），

令x=4，得yM=-1.同理得yN=1.

圓C的方程為（x-4）2+y0=1，

易知與定圓（x-2）2+y2=1相切，半徑R=1.

當-2≤x0＜0時，d=r-R此時定圓與圓C內切；

當0＜x0≤2時，d=此時定圓與圓C外切.

所以存在一個圓心在x軸上的定圓與圓C相切，該定圓的圓心為（2，0）和半徑R=1.

（注：存在另一個圓心在x軸上的定圓與圓C相切，該定圓的圓心為（6，0）和半徑R=1.結果同樣正確）

點評：本題求解中從特殊情況入手，即先令點P為橢圓上特殊的點（左端點、右端點），探索出定圓，在此基礎上對題目進行一般性的探究，體現了從特殊到一般的思維策略.

二、改變命題

變式訓練能有效考查考生對所學知識的掌握及靈活運用程度.在解答完一道題后，可嘗試對題目的條件或結論進行變式，從多角度對問題進行探究.

（Ⅰ）求橢圓C的方程.

設P（m，n），又F1（-c，0），F2（c，0），

（Ⅱ）設lAB：y=代入橢圓消去y，整理得（2k2+，Δ＞0成立.

記A（x1，y1），B（x2，y2），

點評：解答直線與圓錐曲線位置關系中的探索存性在問題，主要有兩個方向：（1）根據圓錐曲線的方程及性質，通過聯立直線與橢圓的方程得到二次方程，然后通過解方程或利用判別式可作出判斷；（2）通過假設存在，然后由此出發(fā)進行推證，最后觀察其推導結果是否合理.同時本例中要注意向量思想方法的應用.

三、改變曲線類型

圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，它們具有統一的第二定義.對于橢圓具有的某些性質，雙曲線與拋物線可能同時具有.因此可嘗試改變曲線的類型進行探究.

例3 在平面直角坐標系中xOy中，動點E到定點（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等.

（Ⅰ）求動點E的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設動直線l：y=kx+b與曲線C相切于點P，與直線x=-1相交于點Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過x軸上某定點.

解析：（Ⅰ）設動點E的坐標為（x，y）.

由拋物線定義知，動點E的軌跡為以（1，0）為焦點，x=-1為準線的拋物線.

所以動點E的軌跡C的方程為y2=4x.

（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b（顯然k≠0）.

設切點坐標P（x0，y0），則解得

所以以PQ為直徑的圓恒過x軸上定點M（1，0）.

點評：探索直線或曲線是否過某一定點問題的解決方法通常有兩種：其一是特殊法，即從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關，其二是探索直線過或曲線過定點，先將要證明過定點的直線方程表示為某參數的直線系方程的形式，再由直線系或曲線系方程進行消去參數求出定點.

總之，在處理有關“定點、定值、定直線”問題時，我們要注意動與靜的轉化，一般情況都是轉化為恒成立問題，重點是要確定好與哪一變量無關，同時也要對動與靜的關系的觀察，加深對動與靜本質的理解，便于尋求解題策略，從而培養(yǎng)學生思維的深刻性、靈活性和廣闊性.