撥開(kāi)迷霧 找準(zhǔn)方向
——從高三復(fù)習(xí)課《圓錐曲線》一道例題的化簡(jiǎn)方法談起

張躍紅

（南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003）

在高三復(fù)習(xí)中，圓錐曲線部分的解答題是讓教師和學(xué)生都比較頭疼的.因?yàn)樵跍y(cè)試中，它并不屬于真正的難題，本應(yīng)該通過(guò)復(fù)習(xí)能取得不錯(cuò)的成績(jī).但事實(shí)上，教師勞心費(fèi)力，收效卻甚微.學(xué)生一旦遇到綜合性題目，往往頭緒萬(wàn)千，深陷其中，而不能自拔，最后無(wú)功而返.那么，如何才能讓學(xué)生盡快理清思路，從“迷霧”中走出？本文結(jié)合高三復(fù)習(xí)課中一道例題的化簡(jiǎn)方法，談一些想法與同行交流.

1 一個(gè)例題

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1（-2，0），A2（2，0）. 過(guò)點(diǎn)D（1，0）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線A1M與A2N的交點(diǎn)為G.

圖1

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：點(diǎn)G恒在一條定直線上.

本題的第（2）問(wèn)是比較常見(jiàn)的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何處理直線與橢圓的交點(diǎn).雖然圓錐曲線的解答題會(huì)涉及到各類(lèi)型的問(wèn)題，比如求值，最值與范圍，定點(diǎn)、定值等等，但歸根結(jié)底都會(huì)與直線和圓錐曲線的交點(diǎn)有關(guān).而事實(shí)上，學(xué)生處理不好圓錐曲線問(wèn)題往往就是因?yàn)椴磺宄恰霸O(shè)點(diǎn)”，“設(shè)直線”，還是“求點(diǎn)”？以至于“東想西想”列出來(lái)一堆式子，而面對(duì)它們又不知道要做些什么，理不清思路，最后只好作罷.

那么，面對(duì)這樣的問(wèn)題，到底應(yīng)該如何思考？

2 多種解法

2.1 直接求

方法1設(shè)直線A1M的方程為y=k1（x+2），直線A2N的方程為y=k2（x-2）.

消去y得

解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

同理，可解得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

由M，D，N三點(diǎn)共線，

化簡(jiǎn)得（k2-3k1）（4k1k2+1）=0.

由題設(shè)可知k1與k2同號(hào)，

所以k2=3k1.

解得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為

將k2=3k1代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，得

所以，點(diǎn)G恒在定直線x=4上.

從方法1的解答過(guò)程中知道，在求M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，聯(lián)立方程組是算了兩次的.能只算一次嗎？

2.2 以一代二

方法2設(shè)直線A1M的方程為y=k1（x+2），

直線A1N的方程為y=k3（x+2），

直線A2N的方程為y=k2（x-2）.

消去y得

解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

將k1替換成k3，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

化簡(jiǎn)可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

下面解法同方法1.

還有其他解法嗎？

2.3 設(shè)而不求

方法3由已知條件，可猜出點(diǎn)G恒在直線x=4上.

證明如下：顯然，直線MN的斜率為0時(shí)不合題意.

設(shè)直線MN的方程為x=my+1，

由點(diǎn)A1，M，G三點(diǎn)共線，有

再由點(diǎn)A2，N，G三點(diǎn)共線，

將x1=m y1+1，x2=m y2+1代入①式，

化簡(jiǎn)得2my1y2-3（y1+y2）=0. ②

消去x得（m2+4）y2+2m y-3=0，

從而有

將其代入②式，有

所以，當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，

點(diǎn)G恒在定直線x=4上.

方法3是先將直線MN的位置特殊化（比如垂直于x軸），猜出結(jié)論，再進(jìn)行證明.當(dāng)然，也可以直接證明.

方法4設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

直線A1M的方程為，

直線A2N的方程為

解得交點(diǎn)G的橫坐標(biāo)

由M，D，N三點(diǎn)共線，

化簡(jiǎn)可得y1x2-y2x1=y1-y2，

將其代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，可得

代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，

由點(diǎn)M，N在橢圓上，

化簡(jiǎn)得

即x1=x2或2x1x2-5（x1+x2）+8=0.

當(dāng)x1=x2時(shí)，由M，D，N三點(diǎn)共線，

可知x1=x2=1，與x1≠1且x2≠1矛盾，

所以2x1x2-5（x1+x2）+8=0.

當(dāng)x1=x2=1時(shí)，可知

滿足xG=4.

綜上所述，點(diǎn)G恒在定直線x=4上.

3 比較分析

從本題的四種解法中，可以看出：方法1和2，與方法3和4在處理直線與橢圓的交點(diǎn)M，N坐標(biāo)時(shí)，采用的方式是完全不同的.前兩種采用的方法是“直接求”，而后兩種是“設(shè)而不求”.

那么，何為“直接求”與“設(shè)而不求”？它們之間有什么區(qū)別、聯(lián)系？應(yīng)在何種情況下使用？

所謂“直接求”是指，在處理圓錐曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程組，通過(guò)解方程直接求出它們交點(diǎn)；而“設(shè)而不求”，則只是將它們用坐標(biāo)的形式表示出來(lái)（即M（x1，y1），N（x2，y2）），然后再根據(jù)已知條件，找到它們坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)算、化簡(jiǎn).

方法1和2雖然在運(yùn)算上有些繁，但在思維與化簡(jiǎn)能力上的要求并不高.究其原因，是因?yàn)橹本€A1M（或直線A2N）與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，都有一個(gè)點(diǎn)A1（或A2）的坐標(biāo)是已知的，如果需要求另一個(gè)交點(diǎn)M（或N）的坐標(biāo)，即轉(zhuǎn)化為解方程問(wèn)題.接下來(lái)，解題線索會(huì)很快理清，只需尋找k1和k2的關(guān)系（M，D，N三點(diǎn)共線），然后將其代入點(diǎn)G的坐標(biāo)，問(wèn)題迎刃而解.所以，“直接求”可作為處理“直線與圓錐曲線相交時(shí)，已有一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)確定”的情況下這類(lèi)問(wèn)題的首選，把它作為解題的突破口，然后再根據(jù)其他條件化解題目.

可以發(fā)現(xiàn)，方法2比方法1的化簡(jiǎn)要簡(jiǎn)單一些，原因是少求一次交點(diǎn)坐標(biāo).方法1用了完全不相關(guān)的兩條線（A1M和A2N）與橢圓方程聯(lián)立求交點(diǎn).而方法2卻用了過(guò)同一點(diǎn)A1的兩條線（A1M和A1N）與橢圓聯(lián)立.在求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)后，點(diǎn)N的坐標(biāo)則無(wú)需再求.因?yàn)橹本€A1M和A1N與橢圓聯(lián)立之后得到的方程，只有k1與k3是不同的，其余完全相同，所以只需將點(diǎn)M坐標(biāo)當(dāng)中的k1替換成k3，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo).稱(chēng)其“以一代二”，即“用一次運(yùn)算代替二次運(yùn)算”，從而實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

除此之外，“以一代二”還有另外一個(gè)用途，即“用一個(gè)方程代替二個(gè)方程”.比如，在化簡(jiǎn)運(yùn)算中遇到2x21+3x1-4=0且2x22+3x2-4=0時(shí)，有時(shí)并不需要將x1和x2的值分別求出，可以用一個(gè)一元二次方程2x2+3x-4=0代替它們兩個(gè)方程，而x1和x2則是此一元二次方程的兩個(gè)根，可用韋達(dá)定理和x1x2=-2進(jìn)行整體代換，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

“設(shè)而不求”中的“設(shè)”是非常容易的.如何找到所設(shè)若干未知量的等量關(guān)系，以及在列出的多個(gè)關(guān)系式中理清所求目標(biāo)與這些未知量之間的聯(lián)系，才是重中之重！

雖然方法3和4都采用了“設(shè)而不求”，但化簡(jiǎn)過(guò)程明顯不同.

方法3，當(dāng)猜出點(diǎn)G恒在定直線x=4上的結(jié)論后，需要證明的關(guān)鍵等量關(guān)系是.而此等式存在四個(gè)未知量，消元?jiǎng)菰诒匦?等式①是由點(diǎn)M，N分別在直線A1G和A2G上的“身份”得到的，挖掘點(diǎn)M，N的其他“身份”得到等式進(jìn)而再消元便是關(guān)鍵.易知，點(diǎn)M，N還有兩重“身份”：在橢圓上及直線MN過(guò)點(diǎn)D.由于等式①均為一次形式，若用在橢圓上的“身份”消元顯然不合適，所以利用它們的另一重“身份”設(shè)出直線MN的方程x=m y+1消去x，得到方程2m y1y2-3（y1+y2）=0，再借助韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換.

設(shè)直線MN的方程時(shí)，需要考慮設(shè)成哪種形式，是x=my+1？還是y=k（x-1）？如本題，直線MN的斜率不為0，且斜率存在與否都有可能，最好設(shè)成x=my+1，避免斜率的討論.一旦設(shè)成此種形式，在與橢圓方程聯(lián)立時(shí)，最好消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，這樣運(yùn)算簡(jiǎn)單.若直線MN的斜率一定存在時(shí)，可設(shè)成y=k（x-1）的形式，再與橢圓方程聯(lián)立可消去y，會(huì)更方便運(yùn)算.

方法4，先要分析交點(diǎn)的多重“身份”（比如M，N兩點(diǎn)在橢圓上，又滿足M，D，N三點(diǎn)共線，還滿足直線A1M與A2N的交點(diǎn)為G），根據(jù)它們的多重“身份”列出不同的等量關(guān)系.比如，點(diǎn)M，N在橢圓上，有；M，D，N三點(diǎn)共線，有；直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)為G，可得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為xG=.

接下來(lái)，至關(guān)重要的是如何處理這些方程！

（1）判斷未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)是否匹配.如果匹配（即未知量與方程個(gè)數(shù)相等），未知量均可求.之后，對(duì)若干方程進(jìn)行四則運(yùn)算，問(wèn)題便迎刃而解；

（2）如果不匹配，比如方法4，5個(gè)未知量x1，y1，x2，y2，xG，卻只列出4個(gè)方程（①、②、③、④），未知量的值是不可能全部求出的，化簡(jiǎn)的“終極目標(biāo)”必是將某兩個(gè)未知量間的關(guān)系代入所求方程④.這些未知量留誰(shuí)？去誰(shuí)？看結(jié)構(gòu)！所求目標(biāo)④過(guò)于復(fù)雜，但觀察到未知量y1x2，y2x1同時(shí)出現(xiàn)，故可先利用③的整式形式y(tǒng)1x2-y2x1=y1-y2進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得到xG=.通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)此式為分式結(jié)構(gòu)，且分子、分母均含有y的一次形式.若同時(shí)除以y1，出現(xiàn)，而又有，若將其代入只會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)未知量x1和x2間的關(guān)系，這與我們的預(yù)期不謀而合.倘若再尋找到x1和x2間的關(guān)系，然后再代入所求目標(biāo)，問(wèn)題便可解決.事實(shí)上，，很快找到了x1和x2間的關(guān)系.

從前面的比較分析中，可以看出“設(shè)而不求”對(duì)方程“掌控”能力的要求是比較高的.其關(guān)鍵在于對(duì)所“設(shè)”的若干未知量的處理，是能求出未知量的值？還是只能利用關(guān)系進(jìn)行整體代換？要做到心中有數(shù).至于用哪些未知量的關(guān)系進(jìn)行代換，一定要根據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)決定.

一般情況下，“設(shè)而不求”是比較適合于直線與圓錐曲線的交點(diǎn)均未知的情況.因?yàn)椤霸O(shè)而不求”的化簡(jiǎn)要求比較高，如果已知一交點(diǎn)坐標(biāo)，不如“直接求”這樣比較“省心”.當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)都未知時(shí)，它的優(yōu)越性才會(huì)顯現(xiàn).

4 思考線索

處理好直線與圓錐曲線的交點(diǎn)是解決圓錐曲線問(wèn)題的核心，決定了整個(gè)問(wèn)題的“發(fā)展”方向.只有交點(diǎn)問(wèn)題處理清楚找對(duì)方向了，才會(huì)為后面的解答鋪平道路.

鑒于此，并基于以上不同解法的比較分析，總結(jié)概括出處理直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題的思考線索：

（1）合理使用“直接求”與“設(shè)而不求”兩種方法.

若已知直線與圓錐曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)待另一交點(diǎn)的坐標(biāo)，采用“直接求”的方法相對(duì)容易找到解決問(wèn)題的突破口；若兩交點(diǎn)均未知，可使用“設(shè)而不求”.

（2）使用“直接求”時(shí)，一方面，需考慮將直線方程設(shè)成哪種形式（比如y=kx+b或x=my+n）；另一方面，需考慮是否可以使用“以一代二”的化簡(jiǎn)方法.通常情況下，“以一代二”往往可以和“直接求”結(jié)合起來(lái)使用，達(dá)到事半功倍的效果.

（3）使用“設(shè)而不求”時(shí)，第一，需考慮交點(diǎn)有幾重“身份”，根據(jù)不同的“身份”列出方程.第二，需考慮未知量與方程的個(gè)數(shù)是否匹配.若匹配，未知量均可求；若不匹配，只能求出其中某些未知量的關(guān)系.第三，需考慮化簡(jiǎn)若干方程的途徑.通常情況下，化簡(jiǎn)途徑有兩種：借助韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換；或是根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇易被消去的未知量，利用四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn).

當(dāng)然，上述思考線索并不是絕對(duì)的，還需要具體問(wèn)題具體分析.但至少可以讓我們?cè)谟龅綀A錐曲線問(wèn)題時(shí)，有一個(gè)明確的方向，在各種紛繁復(fù)雜的頭緒中，盡快理清思路，少走彎路.