一類條件代數(shù)不等式的統(tǒng)一推廣

郭要紅 劉其右

（安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 241000）

2009年《數(shù)學(xué)通報(bào)》第8期數(shù)學(xué)問(wèn)題1808如下：

問(wèn)題1808[1]已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，求證：

2010年《數(shù)學(xué)通報(bào)》第1期數(shù)學(xué)問(wèn)題1833如下：

問(wèn)題1833[2]已知a，b＞0，且a+b=1，求證：

對(duì)不等式（1）、（2），文[3]從項(xiàng)數(shù)與指數(shù)出發(fā)，給出了如下推廣：

定理1設(shè)，則

2015年《數(shù)學(xué)通報(bào)》第4期數(shù)學(xué)問(wèn)題2238如下：

問(wèn)題2238[4]已知x，y是滿足x+y=1的正實(shí)數(shù)，求證：

對(duì)不等式（1）、（2）、（4），文[5]從指數(shù)出發(fā)，給出了如下推廣：

定理2設(shè)a，b＞0，且a+b=1，對(duì)任意的正整數(shù)m，n＞2（m≥2），則有

本文從指數(shù)與項(xiàng)數(shù)入手，給出不等式（3）、（5）的一個(gè)統(tǒng)一推廣.

定理3設(shè)n∈N*，p∈N*，q∈N*，ai＞0，則

證明利用恒等式

有

利用算術(shù)—幾何均值不等式，有

將上述n各不等式相乘，得

即

其中s是（*）式中應(yīng)用算術(shù)—幾何均值不等式的乘積項(xiàng)數(shù)，u，v，w分別是根號(hào)下的正冪指數(shù)，所以

所以

（6）式成立.

由算術(shù)—幾何均值不等式等號(hào)成立的條件知，（6）式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，證畢.