數(shù)學問題解答

2017年8月號問題解答

（解答由問題提供人給出）

2376某委員會開了40次會議，每次有10人出席，而且委員會任兩個成員都未在一起出席過一次以上的會議，證明：該委員會成員一定至少有82人.

（浙江省富陽市第二中學 許康華 311400；浙江省富陽市永興中學 段春炳 311400）

證明設該委員會有n成員，用n個頂點u1，u2，…，un表示這n個成員，用40個頂點v1，v2，…，v40表示40次會議，如果成員ui出席會議vj則在頂點ui與頂點vj之間連一條邊，否則，在其他兩頂點之間都不連邊，這樣得到一個二部圖G，則圖G的頂點集為U∪V，其中U=｛u1，u2，…，un｝，V=｛v1，v2，…，v40｝，邊數(shù)為400.因此有.

對于任意的頂點ui∈U，與ui相鄰的頂點對有個.由于任兩個成員都未在一起參加過兩次不同的會議，所以圖G中沒有四邊形，因此，當ui在U中變化時，所有的頂點對都是互不相同的，否則，點對分別在中被計算，那么ui，vk，uj，vl就組成一個四邊形.所以

由柯西不等式，有

23 77 設橢圓的長軸為A1A2，短軸為B1B2，焦點為F1和F2，P為橢圓上異于其頂點的任意一點，Q為線段F1F2上異于其端點的任意一點，ω1，ω2分別為△F1PQ和△F2PQ的外接圓，M，N分別為直線PQ與ω1，ω2的兩條外公切線的交點，求證：.

（河南省輝縣市一中 賀基軍 453600）

證明如圖1，設兩圓ω1，ω2的圓心分別為O1，O2，兩圓的公共弦PQ與直線O1O2的交點為R，點M所在的外公切線與兩圓ω1，ω2的切點分別為M1，M2.

圖1

根據對稱性可知，直線O1O2同時為線段PQ和線段MN的垂直平分線，其垂足為R.

故MM1=MM2，M為線段M1M2的中點.

連接PO1，PO2和QO1.

又同理得 ∠PO2O1=∠PF2F1，

故△PO1O2∽△PF1F2，

因點P異于橢圓的頂點，故PF1≠PF2，這里不妨假設PF1＜PF2，從而有PO1＜PO2，即圓ω1的半徑小于圓ω2的半徑.

連接O1M1，O2M2，則O1M1⊥M1M2，O2M2⊥M1M2，四邊形M1O1O2M2為直角梯形.作該梯形的高O1H及中位線MK，如圖2所示.

圖2

因O1H⊥M2O2，O1O2⊥MR，

又MK∥M2O2，∠O1O2H=∠MKR，

故R t△O1O2H∽Rt△MKR，

因O1H=M1M2，2MR=MN，

根據橢圓的定義及性質得

另一方面，注意到

2378設正實數(shù)x1，x2，…，xn滿足x1+x2+…+xn=s，且p≥1，求證：

（天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456）

證明由冪平均不等式，當p≥1時有

由不等式（1）的全對稱性，不失一般性，可設

又設不等式（1）左右之差為M且左右平均分配作差，那么可得

至此，表達式M中共有n個差項，且前m個差項分子均非負且遞減，后n-m個差項分子均非正且遞減，雖然又有非負項又有非正項，但它們可同向放縮！即有

（注意此時分母中s-xm為常量）

故不等式（1）成立.

2379 如圖，在四邊形ABCD中，DA、CB分別和圓O相切，切點A、B，AC交BD于H，F(xiàn)、E分別為DA、CB中點，當FE切圓O于G時，求證：GH延長線平分AB.

（江西師范高等?？茖W校 王建榮 335000；溫州私立第一實驗學校 劉沙西 325000）

證明設GH延長線交AB于I；BD、AC分別交EF于M、N，連接AG、BG分別交BD、AC于K、R，由梅涅勞斯定理：

同理

同理

由∠DAB=∠CBA，

由AF=FG=DF，BE=EG=E C，

故GH延長線平分AB.

2380在△ABC中，M是邊BC上任意一點，若△ABC、△ABM與△ACM的內切圓半徑分別為，求證：為定值.

（浙江省慈溪市慈溪實驗中學 華漫天 315300）

證明如圖，設I、I1、I2分別為△ABC、△ABM、△ACM的內心，點F為△ABC的內切圓在邊BC上的切點，作I1P⊥BC于P，I2Q⊥BC于Q，連結F I1、F I2、I1I2、I1M、I2M，

所以PF=MQ，

易知△PI1M∽△QM I2，

又由∠I1PF=∠FQI2=90°，

故△PI1F∽△QFI2，

設a、b、c為△ABC三邊長，s表示△ABC的半周長，

相乘得

2017年9月號問題

（來稿請注明出處——編者）

2381設△ABC的三邊長，對應邊上的中線長，角平分線長，高線長，半周長，外接圓及內切圓半徑分別為a，b，c，ma，mb，mc，wa，wb，wc，ha，hb，hc，s，R，r，

（天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456）

2382如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AB延長線上的一點，E是BC延長上的一點，且CE=AD.延長AC交DE于F，F(xiàn)G∥BE交CD于G，F(xiàn)H∥AD交AE于H.

求證：（1）FG=FH；（2）A F⊥GH.

（濮陽職業(yè)技術學院 紀保存 457000）

2383n是大于3的奇數(shù)，證明：n！+1與（n！-n）！+1中至少有一個是合數(shù).

（浙江溫州市區(qū)馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000）

2384設a，b，c分別表示△ABC三內角A，B，C所對的邊長，求證：

（河南質量工程職業(yè)學院 李永利 467000）

2385如圖，⊙O與⊙O1內切于點A，⊙O與⊙O2內切于點B，且⊙O1與⊙O2相交于點C、D，AB交CD于點T.求證：S△TOO1=S△TOO2.

（重慶市合川太和中學 袁安全 401555）