漫談利用化歸思想解決概率問題

程勛琪

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

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漫談利用化歸思想解決概率問題

程勛琪

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

化歸思想是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解問題的一種重要的思想方法．通過不斷的轉(zhuǎn)化,可把不熟悉、不規(guī)范、不簡單的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡單的問題．在高中數(shù)學(xué)中,熟練運(yùn)用化歸思想可以幫助學(xué)生在各知識點(diǎn)之間相互滲透與轉(zhuǎn)化,促進(jìn)重點(diǎn)知識的融會貫通,有助于學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣.

高考對概率內(nèi)容的考查,往往以實際應(yīng)用題的形式出現(xiàn).在解答概率題時,很多情況下,若能適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用化歸思想就能迅速找到解題的突破口,從而順利解決問題.下面從化歸的四個原則來探索在概率解題中如何運(yùn)用化歸思想．

一、正難則反原則

例1加工某一零件共需經(jīng)過四道工序,設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別是2%,3%,5%,3%,各工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率．

解設(shè)A=“第一道工序加工出次品零件”,B=“第二道工序加工出次品零件”,C=“第三道工序加工出次品零件”,D=“第四道工序加工出次品零件”，則四道工序后加工出合格品的概率

=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))

·(1-P(D))

=98%×97%×95%×97%

=0.876.

從而P(次)=1-0.867=0.124，

即加工出來的零件的次品率為12.4%．

評注如果我們直接用分步計數(shù)原理來計算加工零件的次品率,需考慮有一道工序、兩道工序、三道工序、四道工序分別出現(xiàn)次品,這是一個很困難的問題,如果我們從它的反面考慮，即先求加工出來合格品的概率,再利用對立事件的概率就非常容易得到答案．

化歸的正難則反原則在此類概率題中的作用非常明顯,實現(xiàn)了由難到易的轉(zhuǎn)化．

二、直觀化原則

例2將長為L的木棒隨機(jī)折成3段,求3段構(gòu)成三角形的概率.

解設(shè)x,y分別表示其中兩段的長度,則第三段的長度為L-x-y.

樣本空間Ω={(x,y)|0

故所求事件M=

如圖1所示,可知所求概率為

評注本題屬于幾何概型問題.學(xué)生在解答這個問題時,容易將面積的幾何概型作為長度的幾何概型進(jìn)行概率的計算，或者不能將實際問題數(shù)學(xué)化,從而導(dǎo)致錯解．本題將三段長度如何構(gòu)成三角形用代數(shù)語言表示出來,再將代數(shù)語言轉(zhuǎn)化為幾何語言,也就是將抽象化的問題轉(zhuǎn)化成直觀化的問題,再從幾何角度來解決這個問題,達(dá)到了數(shù)形結(jié)合方便解題的目的．

三、簡單化原則

例3將1,2,3…,n這n個數(shù)字任意排列,試求:

(1)2在1前面的概率;

(2)1, 2, 3依次出現(xiàn)的概率.

評注本題題目給了n個數(shù),看上去是要考慮這n個數(shù)的排列,繼而求出問題的答案,這樣做會使問題相對困難,但仔細(xì)思考,注意整體與局部的關(guān)系，我們只要考慮問題中1和2的排列或者1,2,3的排列情形即可．化歸的簡單化原則在此題的解答上起到了舉足輕重的作用．

四、熟悉化原則

例4在40個同樣的零件中,混入8個次品,必須一個一個的查出,求正好查完22個零件時,找全8個次品的概率.

評注本題是一道較難解決的問題.學(xué)生在處理這道題時可能會出現(xiàn)以下幾種錯誤:將‘混入’想成‘混有’導(dǎo)致錯誤;不知正品、次品如何選,如何放在適當(dāng)位置;考慮不到查到第22個位置時一定是次品這個重要條件．本題給出的解法是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題,即將復(fù)雜的概率問題轉(zhuǎn)為我們熟知的古典概型,逐一分析出基本事件的總數(shù)和要求的基本事件的個數(shù),繼而得出正確答案．在解決類似復(fù)雜的概率問題時,一定要轉(zhuǎn)化到我們熟悉的知識層面,這樣才能正確無誤地逐漸找到解題思路,得到結(jié)果．