巧用極限思想解題

方志平

(廣東省惠州市第一中學(xué),516007)

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巧用極限思想解題

方志平

(廣東省惠州市第一中學(xué),516007)

在高中數(shù)學(xué)中,極限思想在解幾、立幾、三角、數(shù)列、函數(shù)等內(nèi)容中廣泛滲透,并且又銜接高等數(shù)學(xué),起著承上啟下的作用．另外,引用極限思想解題能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),喚起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)他們的求知欲．因此,在解題教學(xué)中,我們應(yīng)適時(shí)、適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生巧用極限思想,開(kāi)闊解題思路,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),為將來(lái)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)．

一、巧用極限思想求解解幾問(wèn)題

例1有一圓與直線x-y+3=0相切于點(diǎn)M(2,5),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,3),求此圓的方程．

解把直線x-y+3=0看作半徑為無(wú)窮大的圓,切點(diǎn)M(2,5)看作半徑為0的圓,設(shè)所求圓的方程為

(x-2)2+(y-5)2+λ(x-y+3)

=0.

①

將點(diǎn)N(2,3)的坐標(biāo)代入上述方程得λ=-2,再將λ=-2代入方程并整理即得所求圓的方程x2+y2-6x-8y+23=0．

評(píng)注很多數(shù)學(xué)問(wèn)題似乎與極限思想不搭界,正是在這貌似無(wú)關(guān)的表面背后隱藏著無(wú)限的玄機(jī)．本題巧用極限思想,給問(wèn)題的解決帶來(lái)了奇妙的效果!

二、妙用極限思想求解立幾問(wèn)題

例2一圓柱與圓臺(tái)等高,且圓柱底面半徑是圓臺(tái)兩底半徑的等差中項(xiàng),則圓柱體積V1與圓臺(tái)體積V2的大小關(guān)系是( )

(A) V1

(C) V1>V2(D)不能確定

評(píng)注如果幾何圖形中有不確定的因素,那么我們就可以作為解題的一個(gè)切入點(diǎn).本題正是考慮圓臺(tái)底面半徑不確定的因素,妙用極限思想解題,可謂獨(dú)具匠心．

三、運(yùn)用極限思想求解三角問(wèn)題

解∵h(yuǎn)=c-a,

∴當(dāng)c→a時(shí)h→0,

即A→0°,C→0°,B→180°時(shí),

故選D．

評(píng)注此法化繁為簡(jiǎn),解法新穎、獨(dú)特,凸顯了極限法解題的神奇功效,也彰顯了數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力!

四、引用極限思想求解數(shù)列問(wèn)題

(A) 3 (B)4

(C)某一個(gè)較大的正常數(shù) (D) +∞

解當(dāng)n→∞時(shí)，M的值趨近于

∴當(dāng)n→+∞時(shí),有M→+∞.

故選D.

五、利用極限思想求解函數(shù)問(wèn)題

解由已知，得

將n個(gè)等式累加，得

對(duì)此式兩邊取n→+∞時(shí)的極限,有

又 f(0)=1,

評(píng)注本題解法中的n是一個(gè)“設(shè)而不求”的任意正整數(shù)．先通過(guò)有限個(gè)式子,尋找一個(gè)關(guān)于n的遞推關(guān)系式

再利用極限法去掉n．由此可見(jiàn),利用極限思想去思考問(wèn)題,往往能突破我們思維上的禁錮,拓寬考慮問(wèn)題的思路,具有獨(dú)創(chuàng)性．

六、借用極限思想求解不等式問(wèn)題

當(dāng)x>0且x→0時(shí),可推得a<1.

故選A．

評(píng)注本題借用數(shù)形結(jié)合和極限的思想方法,是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)．由于靜態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題則是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)瞬時(shí)態(tài)勢(shì),因而本題極限思想的運(yùn)用源于偶然,實(shí)則必然．

七、使用極限思想求解概率問(wèn)題

例7袋中有12個(gè)球,其中白球4個(gè),黑球8個(gè).甲、乙、丙三人接連從袋中取球,每次取一個(gè)，甲先取,然后乙、丙依次取;甲再取,然后乙、丙依次再取;如此繼續(xù)下去,規(guī)定抽出的球放回,率先取出白球者獲取,求甲獲勝的概率．

解設(shè)“甲、乙、丙三人依次各取一次球”稱為一輪．則甲可能在第一輪,第二輪,…,獲勝,設(shè)“甲在第i輪獲勝”的概率記為P(xi)(i=1,2,…),“甲獲勝”的概率記為P(x)．則P(x)=P(x1)+P(x2)+…+P(xi)+…

若甲在第i輪獲勝,說(shuō)明前i-1輪,甲、乙、丙均抽出了黑球,故有

所以甲獲勝的概率為

P(x)=P(x1)+P(x2)+…+P(xi)+…

當(dāng)i→+∞時(shí),

評(píng)注本題使用極限思想解題,就是從無(wú)限逼近的角度去觀察、分析、研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)、變化規(guī)律,揭示問(wèn)題的本質(zhì)．讓我們從有限中認(rèn)識(shí)了無(wú)限,從量變中認(rèn)識(shí)了質(zhì)變．極限思想是人類思想文化寶庫(kù)中的一朵奇葩,它不僅是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的反映,也是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的一種紐帶．

綜上,本文結(jié)合具體的例題,討論了極限思想在高中數(shù)學(xué)中的一些巧妙應(yīng)用.當(dāng)然,極限思想作為數(shù)學(xué)中的重要的思想,在高中數(shù)學(xué)中的涉及范圍遠(yuǎn)不止這幾個(gè)方面,由于篇幅所限,在此不作贅述．不過(guò),我們可以在教學(xué)中更多地挖掘和滲透極限思想,讓學(xué)生去體會(huì)和感受這種思想方法,這樣學(xué)生積淀下來(lái)的就不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí),更主要的是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

○課外測(cè)試○

高一數(shù)學(xué)測(cè)試

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1.若集合M=(-1,1),N=[0,2],則集合M∪N=______.

2.下面各組函數(shù)中為相同函數(shù)的是______(填序號(hào))

④ f(x)=log2(x+1)+log2(x-1),

g(x)=log2(x2-1)

3.已知log7[log3(log2x)]=0,則x-1=______.

5.設(shè)集合M={x|0≤log2x<1},N={x|x≤a},若M∩N≠?,則a的取值范圍是______.

6.若函數(shù)y=2x-(b-1)圖象不經(jīng)過(guò)第二象限,則b的取值范圍是______.

7.設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x+2x+b (b為常數(shù)),則f(-1)=______.

9.已知a=log0.20.4,b=log0.20.3,c=log0.43,d=log0.30.2,則a,b,c,d的大小關(guān)系是______.

10.函數(shù)的圖象y=xm2-2m-3(m∈Z,x≠0)與x,y軸都無(wú)交點(diǎn),且關(guān)于y軸對(duì)稱,則m為_(kāi)_____.

11.關(guān)于x的方程|x2-1|=a有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的值是______.

12.函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又f(-3)=0,則(x-2)f(x)<0的解集為_(kāi)_____.

14.下列說(shuō)法中:① 若f(x)=ax2+(2a+b)x+2 (其中x∈[2a-1,a+4])是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)b=2;② f(x)表示-2x+2與-2x2+4x+2中的較小者,則函數(shù)f(x)的最大值為1;③ 若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞]),則a=-6;④ 已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)任意的x,y∈R都滿足f(x·y)=x·f(y)+y·f(x),則f(x)是奇函數(shù).其中正確說(shuō)法的序號(hào)是______(注:把你認(rèn)為是正確的序號(hào)都填上)

二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)設(shè)A={x2x2+ax+2=0},B={xx2+3x+2a=0},A∩B={2}.

(1)求a的值及A,B;

(1)若a=1,求集合A;

(2)若A∩B=A,求實(shí)數(shù)a的值.

17.(本小題滿分15分)某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價(jià)是5元.銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表所示:

銷售單價(jià)/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240

請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析, 這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)?

18.(本小題滿分15分)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若函數(shù)y=f(x+m)在[-1,1]上單調(diào),求m的取值范圍；

(3)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),不等式f(x)>2x+m恒成立,求實(shí)數(shù)m的范圍.

x…0.511.51.71.922.1y…1475.335.115.015.01x2.22.33457…y5.045.085.6778.612.14…

20.(本小題滿分16分)如圖,過(guò)函數(shù)f(x)=logcx(c>1)的圖象上的兩點(diǎn)A,B作x軸的垂線,垂足分別為M(a,0),N(b,0)(b>a>1),線段BN與函數(shù)g(x)=logmx(m>c>1)的圖象交于點(diǎn)C,且AC與x軸平行.

(1)當(dāng)a=2,b=4,c=3時(shí),求實(shí)數(shù)m的值;

(3)已知h(x)=ax,φ(x)=bx,若x1,x2為區(qū)間(a,b)內(nèi)任意兩個(gè)變量,且x1

參考答案

一、填空題

7.-3； 8.[0,2]; 9.c

10.-1,1或3; 11.1;

12.(-3,0)∪(2,3); 13.2; 14.① ③ ④.

二、解答題

15.(1) 由2∈A，得8+2a+2=0，a=-5,

16.(1)(2-x)(x-3a-1)>0.

當(dāng)a=1時(shí)，(2-x)(x-4)>0,

集合A={x|2

(2)由題意，知B=[2,+∞),

由A∩B=A，得A?B.

② 若2=3a+1時(shí),不合題意；

17.根據(jù)上表,銷售單價(jià)每增加1元,日均銷售量就減少40桶.

設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后,日均銷售利潤(rùn)為y元,而在此情況下的日均銷售量為

480-40(x-1)=520-40x.

由于x>0,且520-40x>0,即0

于是可得

y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200,

0

所以,只需將銷售單價(jià)定為11.5元,

就可獲得最大的利潤(rùn).

18.(1)令f(x)=ax2+bx+c(a≠0).代入，

得a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x,2ax+a+b=2x恒成立.

∴a=1，b=-1， c=1，

∴f(x)=x2-x+1.

(2)y=f(x+m)=(x+m)2-(x+m)+1 =x2+(2m-1)x+1-m.

(3)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)>2x+m恒成立，即x2-3x+1>m恒成立.

g(x)min=g(1)=-1，∴m<-1.

19.(1)由表中可知f(x)在(0,2]為減函數(shù),[2,+∞)為增函數(shù),

并且當(dāng)x=2時(shí),f(x)min=5.

(2)設(shè)0

∵0

∴x1-x2<0,0

∴x1x2-4<0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(0,2]為減函數(shù).

f(x)min=f(2)=5.

20.(1)由題意，得A(2,log32),B(4,log34),

C(4,logm4).又AC與x軸平行,

∴l(xiāng)ogm4=log32,m=9.

(2)由題意，得

A(a,logca),B(b,logcb),C(b,logmb).

∵AC與x軸平行,

∴l(xiāng)ogmb=logca.

∵b=a2,∴m=c2,

(3)∵a1，

∴l(xiāng)ogca

又∵a>1,b>1，

∴alogcx2

又∵logcblogca=logcalogcb，

∴l(xiāng)ogcalogcb=logcblogca.

∴alogcb=blogca ，∴alogcx2

即h[f(x2)]<φ(f(x1)) .

高二數(shù)學(xué)測(cè)試

參考公式：

2.已知直線m、n與平面α、β,給出下列三個(gè)命題:

① 若m∥α,n∥α,則m∥n;

② 若m∥α,n⊥α,則n⊥m;

③ 若m⊥α,m∥β,則α⊥β.

其中正確命題有______個(gè).

4.已知點(diǎn)P是圓C:x2+y2+4x+ay-5=0上任意一點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于直線2x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)在圓上,則實(shí)數(shù)a等于______.

5.已知兩圓x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B兩點(diǎn),則直線AB的方程是______.

6.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3),且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為_(kāi)_____.

7.正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線AC與BC1所成的角為_(kāi)_____.

8.兩條平行線l1:3x+4y-2=0,l2:ax+6y=5間的距離為_(kāi)_____.

9.點(diǎn)(m,0)到定點(diǎn)(0,2)、(1,1)距離之和的最小值是______.

11.過(guò)定點(diǎn)(-1,0)可作兩條直線與圓x2+y2+2kx+4y+3k+8=0相切,則k的取值范圍是______.

12.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是DD1的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是______(填序號(hào))

① 線段A1M與B1C所在直線為異面直線;

② 對(duì)角線BD1⊥平面AB1C;

③ 平面AMC⊥平面AB1C;

④ 直線A1M∥平面AB1C.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分別以?ABC的邊AB、AC向外作正方形ABEF與ACGH，則直線FH的一般式方程為_(kāi)_____.

二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)已知直線l經(jīng)過(guò)直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點(diǎn)P,且垂直于直線x-2y-1=0.

(1)求直線l的方程;

(2)求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S.

16.(本小題滿分14分)如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn).

(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1,求證AD⊥DC1;

(2)求證A1B∥平面ADC1.

17.(本小題滿分14分)已知點(diǎn)P(2,-3),Q(3,2),直線l:(2-a)x-(1+2a)y+1+2a=0(a∈R).

(1)求當(dāng)直線l與直線PQ平行時(shí)實(shí)數(shù)a的值;

(2)求直線l所過(guò)的定點(diǎn)(與a的值無(wú)關(guān)的點(diǎn))M的坐標(biāo);

(3)直線l與線段PQ(包含端點(diǎn))相交,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(1)求證:MN∥平面PCD;

(2)求證:四邊形MNCD是直角梯形;

(3)求證:DN⊥平面PCB.

19.(本小題滿分16分)如圖,已知圓C:x2+y2+10x+10y=0,點(diǎn)A(0,6).

(1)求圓心在直線y=x上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與圓C相切的圓N的方程;

20.(本小題滿分16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成,兩相接點(diǎn)M、N均在直線x=5上,圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為13,圓弧C2過(guò)點(diǎn)A(29,0).

(1)求圓弧C2的方程;

(3)已知直線l:x-my-14=0與曲線C交于E、F兩點(diǎn),當(dāng)EF=33時(shí),求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離.

參考答案

一、填空題

4.-10； 5.x+3y=0；

6.3x-2y=0或x+2y-8=0；

12.① ② ③； 13.x+4y-14=0;

二、解答題

由于點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-2,2)，所求直線l與x-2y-1=0垂直,故可設(shè)直線l的方程為2x+y+C=0.把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，得2×(-2)+2+C=0,即C=2. 所求直線l的方程為2x+y+2=0.

16.(1)因?yàn)锳B=AC,D為BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC.

因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AD?平面ABC,

所以AD⊥平面BCC1B1.

因?yàn)镈C1?平面BCC1B1,所以AD⊥DC1.

(2)證法1如圖16(1)，連結(jié)A1C,交AC1于點(diǎn)O,連結(jié)OD, 則O為A1C的中點(diǎn).

因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以O(shè)D∥A1B.

因?yàn)镺D?平面ADC1,A1B?平面ADC1,

所以A1B∥平面ADC1.

證法2如圖16(2)，取B1C1的中點(diǎn)D1,連結(jié)A1D1,D1D,D1B.則D1C1BD，

∴四邊形BDC1D1是平行四邊形，

∴D1B∥C1D.

∵C1D?平面ADC1,D1B?平面ADC1,

∴D1B∥平面ADC1.

同理可證A1D1∥平面ADC1.

∵A1D1?平面A1BD1,D1B?平面A1BD1,A1D1∩D1B=D1,

∴平面A1BD1∥平面ADC1.

∵A1B?平面A1BD1,∴A1B∥平面ADC1.

17.(1)kPQ=5,由l∥PQ得

(2)M(0,1).

另解:直線l與線段PQ(包含端點(diǎn))相交,則

[2(2-k)+3(1+2a)+(1+2a)][3(2-a)-2(1+2a)+(1+2a)]≤0,即

(6a+8)(-5a+5)≤0,

18.(1)∵點(diǎn)M,N分別是PA,PB的中點(diǎn),

∴MN∥AB.

∵CD∥AB,∴MN∥CD.

又CD ?平面PCD, MN ?平面PCD,

∴MN∥平面PCD.

(2)∵AD⊥AB,CD∥AB,∴CD⊥AD.

又∵PD⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,

所以CD⊥PD,又AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.

因?yàn)镸D?平面PAD,所以CD⊥MD.

所以四邊形MNCD是直角梯形.

(3)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以∠PAD就是直線PA與底面ABCD所成的角,從而∠PAD=60°.

從而DN2+CN2=CD2,所以DN⊥CN.

又因?yàn)镻B∩CN=N,所以DN⊥平面PCB.

19.(1)由x2+y2+10x+10y=0,得

(x+5)2+(y+5)2=50.

所以圓C的圓心坐標(biāo)為C(-5,-5),

又圓N的圓心在直線y=x上,

故圓N的方程為(x-3)2+(y-3)2=18.

② 當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為M,則點(diǎn)M坐標(biāo)為(-10,-10).

故圓N的方程為

當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí),點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為5,直線m即為y軸,

所以此時(shí)直線m的方程為x=0.

當(dāng)直線m的斜率存在時(shí),設(shè)直線m的方程為y=kx+6,即kx-y+6=0，

20.(1)圓弧C1所在圓的方程為x2+y2=169.令x=5,解得M(5,12),N(5,-12).

線段AM的中垂線方程為y-6=2(x-17).

令y=0,得圓弧C2所在圓的圓心為O2(14,0),又圓弧C2所在圓的半徑為r2=29-14=15,

所以圓弧C2的方程為

(x-14)2+y2=225(x≥5).

解得x=-70(舍).

解得x=0(舍).

綜上知這樣的點(diǎn)P不存在.

(3)因?yàn)镋F>2r2,EF>2r1,所以E、F兩點(diǎn)分別在兩個(gè)圓弧上.

設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d.

因?yàn)橹本€l恒過(guò)圓弧C2所在圓的圓心(14,0),