多視角下的數(shù)列最值問題求解策略

張 剛

(安徽省宿州市埇橋區(qū)祁縣中學(xué)，234115)

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多視角下的數(shù)列最值問題求解策略

張 剛

(安徽省宿州市埇橋區(qū)祁縣中學(xué)，234115)

數(shù)列是一種特殊的函數(shù),數(shù)列作為主干知識,是每年高考的重點問題之一,也容易和其它數(shù)學(xué)知識相結(jié)合考查.但是,數(shù)列中的最值問題,常常由于數(shù)列本身性質(zhì)的特殊性,導(dǎo)致學(xué)生不能很好地處理此類問題.因此,本文從多個視角對數(shù)列最值問題加以分析說明,以期引起大家的思考和共鳴.

視角1 等差數(shù)列求和型

例1已知數(shù)列{an}中,a1=25,4an+1=4an-7.若其前n項和為Sn,則Sn的最大值為( )

(A)15 (B)750

故選C.

例2已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-31,若其前n項和為Sn,則Sn的最小值為______.

解由an=2n-31知數(shù)列{an}的公差d=2,數(shù)列{an}單調(diào)遞增.

視角2 均值不等式型

評注利用均值不等式求最值時,特別要注意數(shù)列中的n為正整數(shù).因此,當(dāng)利用均值不等式在“一正二定三相等”的取等條件不滿足時,必須根據(jù)取等號得到的值找該值(非正整數(shù))的相鄰的兩個正整數(shù),代入求值然后決定取舍;或者利用對勾函數(shù)求解.

故選A.

視角3 函數(shù)單調(diào)性型

評注數(shù)列是特殊的函數(shù),可從函數(shù)角度考慮,利用函數(shù)y=f(x)的性質(zhì),求數(shù)列an=f(n)的最值.

視角4 比較大小型

解由已知，得

易見，(3n+1)(n+1)>0，

當(dāng)n≥2時,3n>2n+1,

視角5 線性規(guī)劃型

例7等差數(shù)列的前n項和為Sn,S4≥10,S5≤15,則a4的最大值是______.

①+3×②，得

a1+3d≤4,

故a4=a1+3d的最小值為4.

于是，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,求得a4=x+3y的最大值為4.

評注解法1著眼于整體性,同向不等式相加只使用一次,有時需要利用待定系數(shù)法確定組合關(guān)系.解法2則轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求解.

視角6 推理分析型

例8設(shè)1=a1≤a2≤…≤a2 015,其中a1,a3,a5,…,a2 015成公比為q的等比數(shù)列,a2,a4,a6,…,a2016成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值為______.

解法1由題意,q>1,且1=a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤a2+2≤a1q3，故1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3.