臺灣地區(qū)高考數(shù)學(xué)試題特色賞析

郝保國

(廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)，510715)

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○高考之窗○

臺灣地區(qū)高考數(shù)學(xué)試題特色賞析

郝保國

(廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)，510715)

臺灣地區(qū)針對大學(xué)招生每年有兩次大的考試.一是每年1、2月份的大學(xué)學(xué)科能力測試(簡稱“學(xué)測”),二是每年7月初的指定科目考試(簡稱“指考”).“指考”數(shù)學(xué)考試分數(shù)學(xué)甲(理科程度)與數(shù)學(xué)乙(文科程度).學(xué)生如果通過“學(xué)測”沒能被理想的大學(xué)提前錄取,他們還可參加“指考”,尋求第二次被理想大學(xué)錄取的機會.

臺灣地區(qū)學(xué)生在大型國際測試項目TIMSS和PISA中,一向成績名列前茅，這說明臺灣的數(shù)學(xué)教育質(zhì)量非同一般.本文以臺灣近五年高考數(shù)學(xué)試題為分析文本,來探究、賞析島內(nèi)高考數(shù)學(xué)試題的特色.

特色1 單選題與多選題并存

“學(xué)測”數(shù)學(xué)試卷由單選題、多選題、選填題三類題型構(gòu)成,用時100分鐘,總分100分;“指考”試卷也包括了這三類題型,且多了兩個解答題,用時80分鐘,總分100分.

單選題與多選題都有5個選擇支.多選題在大陸高考試題中很少出現(xiàn). 以2016年為例,“學(xué)測”試題中多選題7個,占分35分;“指考”數(shù)學(xué)甲試題中多選題3個,占分24分;數(shù)學(xué)乙試題中多選題5個,占分40分.可見多選題占分不少．

分析由a2+a4+a6+a8+a10=q(a1+a3+a5+a7+a9),得

(1+q)(a1+a3+a5+a7+a9)=80，

由a1+a3+a5+a7+a9=120,得

排除(1)、(2)、(3).

排除(5).

所以正確答案是(4).

臺灣選擇題突出核心數(shù)學(xué)概念,強化基礎(chǔ)知識與基本技能的考查;有些問題依托數(shù)學(xué)模型,注重數(shù)學(xué)思想方法的考查;有些問題學(xué)生可憑借數(shù)學(xué)直感、類比、歸納可以解決,考查學(xué)生的合情推理能力.臺灣選擇題一般客觀性強,可信度高,具有較好的甄別和選拔功能.

特色2 突出試題的現(xiàn)代數(shù)學(xué)背景

從臺灣《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》可以看到,大學(xué)很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識下放到了高中課程.臺灣課程不但包括了大陸課程標準中的所有現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容,而且還多了高次多項式函數(shù)、線性方程組、行列式與矩陣、向量的外積、空間中直線與平面的方程、極限、不定積分等.臺灣大學(xué)入學(xué)考試命題以課程理念為指導(dǎo),呈現(xiàn)出很多以現(xiàn)代數(shù)學(xué)為背景的試題.

該題呈現(xiàn)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)背景有行列式、矩陣、概率.統(tǒng)計近五年的臺灣高考題,概率與統(tǒng)計、平面向量、空間向量、極限、微積分、行列式與矩陣等現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容是考試的重點,占分超過60%.

特點3 試題貼近日常生活

《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》在“課程目標”中指出,培養(yǎng)學(xué)生具備實際生活應(yīng)用和學(xué)習相關(guān)學(xué)科所需的數(shù)學(xué)知能.在“核心能力”培養(yǎng)中,提倡培養(yǎng)學(xué)生“連結(jié)能力”,能將課堂內(nèi)學(xué)到的知識聯(lián)系到生活實際,用數(shù)學(xué)知識有效地解決生活中隨時可能碰到的問題.

例3(2015年“指考”數(shù)學(xué)乙解答題第1題)根據(jù)《建筑物無障礙設(shè)施設(shè)計規(guī)范》,無障礙通路之設(shè)計需符合以下規(guī)定:

(2)坡道之起點及終點,應(yīng)設(shè)置長、寬各150公分以上之平臺，此處的長指的是水平長度,而非斜面的長度;

(3)走道的中間應(yīng)設(shè)置適當數(shù)量的平臺,使得每段坡道的高差不超過75公分,且平臺的水平長度至少150公分;

圖2為側(cè)面示意圖,圖2摘自此規(guī)范書,為圖1的簡明版,其中l(wèi)≥150,h1,h2≤75;走道之坡度相當于走道斜率之絕對值.

依上述規(guī)定,一條升高2公尺的無障礙走道,在無轉(zhuǎn)彎的條件下,其最小可能的水平長度(含平臺)為多少公尺?

這是一個生活氣息很濃的數(shù)學(xué)試題,毫無人工編造的痕跡.統(tǒng)計臺灣近五年的高考數(shù)學(xué)試題可以看到,這樣“連結(jié)”生活實際的試題共有60多道.這不但是臺灣試題的一大特色,更是一大奇觀!真正讓學(xué)生感受和理解到數(shù)學(xué)來源與生活,又將回到生活中解決實際問題(求解過程略).

特色4 凸顯能力立意的主旨

從例3還可以看到,題設(shè)文字表述多,但從求解過程看,沒有繁雜的運算,也不用到特別強的數(shù)學(xué)技巧.這是臺灣數(shù)學(xué)課本習題和重大考試數(shù)學(xué)試題的一種常見現(xiàn)象,練的和考的就是學(xué)生的閱讀能力、理解能力、運算能力、寫作能力.《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》特別重視學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).因些,臺灣高考數(shù)學(xué)試題突出能力立意的主旨,提倡試題能給學(xué)生提供多角度思考問題、一題多解的空間,反對試題求解過程中需要用到繁雜的運算和特別強的解題技巧.

例4(2015年“指考”數(shù)學(xué)甲解答題第二題)設(shè)無窮數(shù)列{an}符合a0=0且當n≥1時,an滿足

an-an-1

(1)將a6寫成兩個等比數(shù)列的差,其中一個有6項,另一個只 有3項;

由{a2n}為嚴格遞減,則當正整數(shù)n≥1時,a2n

例4是2015年“指考”數(shù)學(xué)甲最后一個題,是一個綜合性較強的試題,命題者把等比數(shù)列、極限、不等式等知識融入一題.第(3)小題求解中,可以從多個角度切入,做到一題多解.此題難度不大,不等式放縮的適度性也比較好把握,不需再用其他高超的解題技巧.

特色5 有機融入文化的元素

汪曉勤、劉芳等人的研究認為,數(shù)學(xué)文化的類型應(yīng)分為數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與藝術(shù)體育、數(shù)學(xué)游戲等.臺灣地區(qū)《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程綱要》也強調(diào),引進與主題相關(guān)的數(shù)學(xué)文化,對學(xué)生會起正面的作用,尤其能協(xié)助學(xué)生將抽象觀念具體化.因此,臺灣大學(xué)入學(xué)試題也充分體現(xiàn)了這些課程理念.

例5(2014年“指考”數(shù)學(xué)甲選填題第B題)在游戲中,阿玲拿到如下的數(shù)字卡.主持人隨機從1至9號球中同時取出三球,若這三球的號碼中任兩個都不在卡片上的同一行也不在卡片上的同一列時就得獎,則阿玲得獎的概率為______(化成最簡分數(shù)).

123894765

分析符合題設(shè)要求的取法有3×2×1=6(種),不考慮限制條件的取法共有

例5是一個與數(shù)字游戲相關(guān)的問題,而且是一種常見的游戲，我們大家很小的時候都玩過，有趣且貼近生活.

從上文可以看到,臺灣試題頗多特色,很值得我們借鑒、欣賞．大陸高考數(shù)學(xué)試題無論是題型還是內(nèi)容,幾乎一成不變,顯得過于刻板和無趣．我們應(yīng)該學(xué)習臺灣高考的命題原則和方法,試題編制要符合學(xué)生的認知能力,不要隨意拔高或降低難度,避免偏題、怪題和難題．我們還應(yīng)在高考試題中,增加多個有生活氣息的應(yīng)用題,讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的實用價值和魅力．這樣不但可以考查到學(xué)生觀察、分析和解決問題的能力,還可以考查到學(xué)生閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模能力,達到考試目標多元化的目的.

高三數(shù)學(xué)綜合測試

3.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示,若AB=5,則ω的值為______.

5.設(shè)?ABC是等腰三角形,∠ABC=90°,則以A,B為焦點且過點C的橢圓的離心率為

______.

10.已知實數(shù)x,y滿足約束條件

13.在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=9,直線l:y=kx+3與圓C相交于A,B兩點,M為弦AB上一動點,以M為圓心,2為半徑的圓與圓C總有公共點,則實數(shù)k的取值范圍為______.

二、解答題(本大題共6道題,計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求tan B的值;

(2)若b=5,求c.

(1)如果p是真命題,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)如果命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

17.(本題滿分15分)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l1過定點A (1,0).

(1)若l1與圓C相切,求l1的方程;

(2)若l1的傾斜角為45°,l1與圓C相交于P,Q兩點,求線段PQ的中點M的坐標;

(3)若l1與圓C相交于P,Q兩點,求?CPQ的面積的最大值,并求此時直線l1的方程.

(1)求f(x)解析式;

(2)當x為多少時,總造價f(x)最低?并求出最低造價.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)若點P為橢圓上任一點,連結(jié)AP,PB并分別延長交直線l:x=4于M,N兩點,求線段MN的最小值.

(1)求a的值;

參考答案

一、填空題

二、解答題

解得tan B=2.

(2)∵tan B=2,

∴sin2B+cos2B=4cos2B+cos2B

=5cos2B=1,

∴sin C=sin[π-(A+B)]

=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B

當a=0時，不符合題意，舍去；

當a≠0時，則

所以實數(shù)a的取值范圍是a>2.

(2)設(shè)t=3x(t>0,

∵命題“p或q”為真命題且“p且q”為假命題，

∴p與q一個為真，一個為假，

17.(1)①若直線l1的斜率不存在，則直線l1:x=1，符合題意.

②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0.

由題意知，圓心(3，4)到已知直線l1的距離等于半徑2，即

所求直線l1的方程是x=1或3x-4y-3=0.

(2)直線l1的方程為y=x-1.

∵PQ⊥CM,

∴CM方程為y-4=-(x-3),

即 x+y-7=0.

(3)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0,則圓心到直線l1的距離

又∵?CPQ的面積

∴k=1或k=7.

所求直線l1方程為x-y-1=0或7x-y-7=0.

18.(1)在如圖所示的直角坐標系中，因為曲線C的方程為

直線OB的方程為x-y=0,則點P到直線x-y=0的距離為

又PM的造價為5萬元/百米，PN的造價為40萬元/百米.

則兩條道路總造價為

令f ′(x)=0，得x=4,列表如下：

x(1,4)4(4,9)f'(x)-0-f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

答：(1)兩條道路PM，PN總造價f(x)為

(2)當x=4時，總造價最低，最低造價為30萬元.

(注：利用三次均值不等式

又離心率e∈(0,1),∴x=2舍去，

由題意，列出a,b,c的等量關(guān)系為

(2)由題意知直線AP,PB的斜率都存在，設(shè)P(m,n)，設(shè)直線AP斜率為k,AP直線方程為y=k(x+2).

(3+4k2)x2+16k2x+(16k2-12)=0,

則x1=-2,x2=m是其方程的兩個根，

代入y=k(x+2),得

又直線AP，BP與直線x=4相交于M，N兩點，

∴線段MN的最小值為6.

由切線的方程y=x,可得a=1.

由x2-2x=(x-1)2-1∈(-1,0),可得k≥0;

可得0

10,h(x)遞增.

即有h(x)在x=1處取得最小值，且為e-1,則k

綜上可得k的范圍是[0,e-1).

(3)函數(shù)g(x)=lnf(x)-b的兩個零點為x1,x2,即為b=ln x-x有兩個零點.

當x>1時，y′<0,函數(shù)遞減；

00,函數(shù)遞增.

即有x=1處取得最大值，且為-1.

畫出y=b和y=ln x-x的圖象，可得

g(x)=ln x-x-b的導(dǎo)數(shù)為