對一類絕對值問題的探究

王洪洲

(安徽省淮北市第一中學(xué)，235000)

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對一類絕對值問題的探究

王洪洲

(安徽省淮北市第一中學(xué)，235000)

含絕對值的問題常出現(xiàn)在高考和競賽試題中,處理此類問題常規(guī)方法有零點分類討論去絕對值、應(yīng)用絕對值的幾何意義、借助絕對值三角不等式等.這些辦法雖然易明確解題思路,但過程較繁瑣,計算量大,降低了解題效率．本文將介紹一個結(jié)論,來處理此類問題．

結(jié)論令f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|,a1≤a2≤…≤an(n∈Ν).

若n是奇數(shù),則f(x)的值域為

若n是偶數(shù),則f(x)的值域為

證明由函數(shù)圖象，易見

|x-a1|+|x-an|≥an-a1,

①

當(dāng)x∈[a1,an]時等號成立；

|x-a2|+|x-an-1|

≥an-1-a2,

②

當(dāng)x∈[a2,an-1]時等號成立；

……

若n是奇數(shù),則

③

若n是偶數(shù),則

④

以上各式相加，可得

|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|

證畢.

例1(2015年重慶高考題)若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5,則實數(shù)a=______.

解由結(jié)論可知不需對a分類討論,可理解為n=3且a2=a3=a的情形.

∴f(x)min=f(a)=|a+1|=5.

解得 a=4或-6.

(A)0個 (B)1個

(C)2個 (D)3個或3個以上的

解由結(jié)論可知

當(dāng)x∈[a5,a6]時,

(|2x-5|+|3x-7|+|5x-11|)min

故選A.

上述結(jié)論適合多個絕對值相加的最值問題,如果中間出現(xiàn)絕對值相減,就需對其推廣如下:

f(x)的圖象主體呈“W”形．

f(x)的圖象主體呈“Z”形．

f(x)的圖象主體呈“M”形．

證明(1)(2)(3)的證明方法相似,本文只選擇證明(1).

當(dāng)x≥an時,

當(dāng)x≤a1時,

當(dāng)ai≤x≤ai+1,i∈{2,3,…n-1}時,f(x)為一次函數(shù)或常值函數(shù),其圖象為線段，

例3若對任意實數(shù)x都有|3x-2a|-|2x-a|≥-672,則a的取值范圍是______.

解本題形式符合推廣的結(jié)論(1).

例4設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-3|,關(guān)于x的不等式a+3|x-2|>f(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍．

解a+3|x-2|>f(x)可化為

a>|2x+1|-|x-3|-3|x-2|.

由推廣結(jié)論(3) 可知對于|2x+1|-|x-3|-3|x-2|,由結(jié)論可理解為n=6,a3=a4=2的情形.

由推論知，當(dāng)x=2時,

(|2x+1|-|x-3|-3|x-2|)max=4，

∴a>4.

上面使用的兩個結(jié)論,其證明中用到了零點分類討論去絕對值符號、絕對值的幾何意義、借助絕對值的三角不等式等知識和思想方法,這也是處理含絕對值的常規(guī)方法．日常學(xué)習(xí)中要注意基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握,也要注意知識體系的完善和方法的升華,舉一反三,以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)．