立體幾何翻折問題解法思考

夏 瑩

(江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué)， 225009)

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立體幾何翻折問題解法思考

夏 瑩

(江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué)， 225009)

“翻折問題”是指將平面圖形按一定的規(guī)則翻折成立體圖形，再對(duì)立體圖形的位置、數(shù)量關(guān)系進(jìn)行論證和計(jì)算的一類重要題型.它在平面圖形與立體圖形之間搭建了橋梁，給靜態(tài)的立體幾何賦予了活力，加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生空間想象能力的考察. 平面圖形經(jīng)過翻折形成的立體圖形更具有想象空間，更有靈活性、變化性.本文從概念，計(jì)算，證明三個(gè)方面探討總結(jié)翻折問題的解法.

一、翻折中的判斷問題

所謂翻折中的判斷問題是指借助于平面圖形出發(fā)翻折，從形成的空間圖形考察學(xué)生判斷一些結(jié)論，幫助學(xué)生掌握立體幾何有關(guān)知識(shí)的問題.翻折過程中，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化.

例1如圖1，邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折疊后，使得BD=2,則下列說法中正確的是______.

①?BCD為等邊三角形.

②二面角B-AC-D的大小為90°.

③AB與CD所在直線平行.

分析對(duì)于①，翻折前后，有些長(zhǎng)度不變，如BC，CD的長(zhǎng)度,而有些長(zhǎng)度發(fā)生了變化,如BD的長(zhǎng)度.在?BCD中,BC=CD=BD=2,所以?BCD為等邊三角形.

對(duì)于③，翻折前后直線AB與CD的位置關(guān)系發(fā)生變化，在平面上AB∥CD，翻折后直線AB與CD異面，可通過反證法來證明.

綜上，答案為①②④.

評(píng)注本題通過填空題的形式檢查學(xué)生對(duì)立幾中二面角所成角的大小、異面直線所成角的大小等概念的理解.按照對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決的想法，前三問容易理解.第四問，學(xué)生看到動(dòng)點(diǎn)問題，感覺無從下手，點(diǎn)一動(dòng)，他的思緒就亂了，把握不住問題的本質(zhì). 我們知道在同一平面上，兩點(diǎn)間距離最短，對(duì)于不在同一平面上的兩個(gè)點(diǎn)，我們不妨利用平面展開圖把幾何體異面上的兩個(gè)點(diǎn)之間的最短距離轉(zhuǎn)化為同一平面上兩個(gè)點(diǎn)之間的最短距離.這類題目遵循一定的解題策略，那就是將其側(cè)面展開，化立體圖為平面圖，然后，在平面上利用兩點(diǎn)間線段最短求出最小值.

二、翻折中計(jì)算問題

例2如圖2，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn).將?AED、?DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，連結(jié)EF，A′B．

(1)求異面直線A′D與EF所成角的大小；

(2)求三棱錐D-A′EF的體積；

(3)點(diǎn)A′到平面BEDF的距離．

分析對(duì)于第(1)問， 直角?ADE和?CDF位于折痕的同側(cè)，翻折后形狀和大小保持不變，只是位置發(fā)生了變化，依然保持A′D⊥A′E,A′D⊥A′F.根據(jù)線面垂直的判定定理得到A′D⊥平面A′EF，從而得到異面直線A′D與EF所成角的大小為90°.

對(duì)于第(3)問，翻折后平面圖形變成立體圖形，從而產(chǎn)生點(diǎn)面距離問題，本題可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將點(diǎn)面距離問題轉(zhuǎn)化成等體積問題，借助第(2)問的結(jié)論求解.

解(1)在正方形ABCD中，因?yàn)橛蠥D⊥AE，CD⊥CF，則A′D⊥A′E,A′D⊥A′F，又A′E∩A′F=A′,A′E,A′F?平面A′EF，所以A′D⊥平面A′EF.

而EF?平面A′EF,所以A′D⊥EF，所以異面直線A′D與EF所成角的大小為 90°.

(2)因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，所以

在Rt?BEF中，

而A′E=A′F=1,

∴ A′E2+A′F2=EF2，

由(1)得A′D⊥平面A′EF，且A′D=2，

(3)設(shè)點(diǎn)A′到平面BEDF的距離為h，則

評(píng)注本題通過平面圖形ABCD與立體圖形A′-BEDF的轉(zhuǎn)化加深學(xué)生對(duì)立幾中的計(jì)算問題的理解.如對(duì)異面直線所成的角大小、棱錐體積、點(diǎn)面的距離的處理，其中第(2)問求三棱錐D-A′EF的體積要選擇合適的底S?A′EF和高A′D，并證明A′D⊥平面A′EF；第(3)問求點(diǎn)A′到平面BEDF的距離要進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想.

三、翻折中證明問題

(1)證明：B1E∥平面ACF；

(2)證明：平面B1GD⊥平面B1DC．

分析對(duì)于翻折問題，要注意翻折前后的圖形中的變與不變量．(1)本題利用線面平行的判定定理去做．因?yàn)镕為B1D的中點(diǎn)，注意利用中位線；(2)本題利用面面垂直的判定定理證明．連結(jié)GD，則DG⊥AE,利用AE∥CD轉(zhuǎn)化,所以DG⊥CD．又?AB1E為等邊三角形，則B1G⊥AE，利用AE∥CD轉(zhuǎn)化，所以B1G⊥CD，證明CD⊥平面B1GD.由面面垂直的判定定理，即可得證．本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．

證明(1)如圖4，連結(jié)ED交AC于O，連結(jié)OF，因?yàn)锳EDC為菱形，所以O(shè)為ED的中點(diǎn)，且F為B1D的中點(diǎn)，所以FO∥B1E．又B1E?面ACF，F(xiàn)O?平面ACF，所以B1E∥平面ACF.

評(píng)注本題以折疊問題為載體，不僅要求學(xué)生像解常規(guī)立幾題一樣懂得線面平行、線面和面面垂直的判定方法及相互轉(zhuǎn)化，還要正確識(shí)別出△BAE沿AE折疊而成的空間圖形B1-AECD折前折后有關(guān)線線、線面位置的變化情況.其中第(2)問要利用AE∥CD進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而證明DC⊥平面B1GD，既體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想又培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力.

立體幾何中的翻折問題的求解過程中，關(guān)鍵是抓住兩類圖形的特征關(guān)系.通過折疊與展開這一對(duì)互逆轉(zhuǎn)化，明確折疊前、后的平面圖與立體圖中各個(gè)元素間大小和位置關(guān)系，哪些發(fā)生變化，哪些不變，再根據(jù)不變量及有關(guān)定理、公式進(jìn)行推理或計(jì)算.折疊與展開這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是立體幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間圖形的觀察、分析、抽象的能力就在轉(zhuǎn)化的過程實(shí)現(xiàn)．