一道課本例題引出圓錐曲線的三個美妙結(jié)論

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué)，653100)

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○短文集錦○

一道課本例題引出圓錐曲線的三個美妙結(jié)論

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué)，653100)

人教普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書A版(2007年1月第2版)數(shù)學(xué)選修4—4“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”第38頁例4:

如圖1所示,AB,CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦,交點為P.兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1=∠2，求證:|PA||PB|=|PC||PD|.

筆者在探究此例題的解答思路時,看到|PA||PB|=|PC||PD|非常象圓的相交弦定理,由此想到,若A,B,C,D四點共圓, 則|PA||PB|=|PC||PD|.進一步思考,又看到∠1,π-∠2分別是直線AB,CD的傾斜角，再結(jié)合課本中給出的此例題的解答,通過計算可知,如圖1,若A,B,C,D四點共圓,那么∠1+(π-∠2)=π,即直線AB與直線CD的傾斜角互補,由此得,直線AB與直線CD的斜率互為相反數(shù).再進一步深入探究,發(fā)現(xiàn)圓錐曲線如下的三個美妙結(jié)論.

結(jié)論1如果一個橢圓與一個圓相交于A,B,C,D四點,那么四邊形ABCD的對邊所在的直線的斜率互為相反數(shù),兩條對角線的斜率互為相反數(shù).

證明不妨設(shè)橢圓的方程為

①

若圓的圓心在原點O,如圖2,則由橢圓和圓的對稱性可知,四邊形ABCD是矩形,從而直線AD,BC的斜率都不存在,直線AB,DC的斜率都為O,直線AC與直線BD的斜率互為相反數(shù).

若圓的圓心不在原點O,如圖3.

下面證明直線AD與直線BC的斜率互為相反數(shù).

設(shè)直線AD與直線BC交于點P,設(shè)P(x,y),設(shè)直線AD,BC的傾斜角分別為α,β,則直線AD的參數(shù)方程為

②

將② 代入① 并整理,得到

(b2cos2α+a2sin2α)t2+2(b2x0cos α+a2y0sin α)t+(b2x20+a2y20-a2b2)=0.

③

由于b2cos2α+a2sin2α≠0,又已知直線AD與橢圓有兩個交點,因此方程③ 有兩個根,設(shè)這兩個根分別為t1,t2,容易得到

|PA||PD|=|t1||t2|=|t1t2|

④

同理,對于直線BC,將α換為β,即得到

由圓的割線定理,得

|PA||PD|=|PB||PC|，

故b2cos2α+a2sin2α=b2cos2β+a2sin2β,

b2(1-sin2α)+a2sin2α=b2(1-sin2β)

+a2sin2β,

(a2-b2)sin2α=(a2-b2)sin2β,

∴ sin2α=sin2β,

從而sin α=sin β或sin α=-sin β(因為α,β∈[0,π),所以sin α≥0,sin β≥0，且等號在這里不會同時成立,故sin α=-sin β不成立,從而舍去),于是α=β或α=π-β.

若α=β,則此時α=β=90°,直線AD與直線BC的斜率都不存在.

若α=π-β,則直線AD與直線BC的斜率互為相反數(shù).

仿上，可以證明直線AB與直線CD的斜率互為相反數(shù),以及直線AC與直線BD的斜率互為相反數(shù).

結(jié)論2如果一個雙曲線與一個圓相交于A,B,C,D四點,那么四邊形ABCD的對邊所在的直線的斜率互為相反數(shù),兩條對角線的斜率互為相反數(shù).

結(jié)論3如果一條拋物線與一個圓相交于A,B,C,D四點,那么四邊形ABCD的對邊所在的直線的斜率互為相反數(shù),兩條對角線的斜率互為相反數(shù).

結(jié)論2、結(jié)論3的證法仿上述結(jié)論1,這里從略.

上述結(jié)論可統(tǒng)一為：如果A,B,C,D是圓錐曲線上任意四點,且四點共圓,那么四邊形ABCD的對邊所在的直線的斜率互為相反數(shù),兩條對角線的斜率互為相反數(shù).

說明筆者查閱了大量的資料,上述結(jié)論記錄在2013年11月第1版,聞杰老師編著的《神奇的圓錐曲線與解題秘訣》一書中的第140頁,用動態(tài)課件探究出了上述結(jié)論,但沒有給出證明.