優(yōu)化解析幾何運(yùn)算的有效策略

蘇明亮

(河南省鄭州市第四十四中學(xué)，450000)

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優(yōu)化解析幾何運(yùn)算的有效策略

蘇明亮

(河南省鄭州市第四十四中學(xué)，450000)

解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,它涉及的知識面廣,方法靈活多變,綜合性較強(qiáng),尤其對學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高.很多學(xué)生由于未掌握運(yùn)算變形的基本技能和優(yōu)化運(yùn)算的策略,在解題時方法使用不當(dāng),導(dǎo)致運(yùn)算過程冗長繁雜,求解往往半途而廢.因此,能否找到簡化解析幾何運(yùn)算的途徑,就成為解題能否成功的關(guān)鍵.本文以近幾年的高考題和?？碱}為例,談?wù)剝?yōu)化解析幾何繁難運(yùn)算的一些有效策略,以供大家參考.

黨的十八屆三中全會把推進(jìn)國家治理體系和治理能力現(xiàn)代化作為全面深化改革的總目標(biāo)提出來，表明我們黨對社會主義現(xiàn)代化的認(rèn)識提升到了一個新的高度，這必將極大地推動我國的治理體系向著制度化、規(guī)范化、程序化、科學(xué)化邁進(jìn)。從“管理”到“治理”，是一次政府、市場、社會從配置的結(jié)構(gòu)性變化引發(fā)現(xiàn)實(shí)的功能性變化再到民主參與的主體性變化的制度型塑，無論是從思想理念、方式方法，還是從技術(shù)手段上都對社會治理創(chuàng)新提出了全新的挑戰(zhàn)與要求，需要我們從更寬廣宏大的視野加以審視把握。

一、回歸定義,追根溯源

定義是事物本質(zhì)屬性的概括與反映.圓錐曲線許多性質(zhì)都是由定義派生出來的,對一些圓錐曲線問題,特別是已知條件含有圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)的距離、離心率等,若能靈活地運(yùn)用定義去求解,把定量的計(jì)算和定性的分析有機(jī)地結(jié)合起來,則往往能獲得題目所固有的本質(zhì)屬性,達(dá)到準(zhǔn)確判斷、合理運(yùn)算、靈活解題的目的.

A systematic literature search was conducted using Pubmed and EMBASE with the terms of “complete mesocolic excision”, ”CME”, “anatomy of CME”, “l(fā)aparoscopic CME” as well as “colon surgery”. Many related studies were found and we summarized and presented the findings with our clinical experience.

(1)求橢圓C的方程;

(2)求點(diǎn)T的軌跡C的方程.

由沙門氏菌引起的仔豬下痢，可以使用如下中藥方劑：黃連9 g，木香9 g，白芍12 g，檳榔12 g，茯苓12 g，滑石15 g，甘草6 g。以上中藥煎汁內(nèi)服，不吃食者，每頭灌服10～15 ml，每日1劑，連服3～4劑。

1.3 細(xì)菌、培養(yǎng)基、動物、飼料 變形鏈球菌（Streptococcus mutans，ATC25175）；TPY液體培養(yǎng)基（青島高科技工業(yè)園海博生物技術(shù)有限公司）；瓊脂（北京索萊寶科技有限公司）；TPY固體培養(yǎng)基：每100 mL TPY液體培養(yǎng)基中加2 g瓊脂，高壓滅菌；SD大鼠，共40只，雌雄各半，體質(zhì)量約200 g，購買于昆明楚商科技有限公司，合格證號：SYXK（滇）2011-0004；致齲飼料2000#〔5〕，購買于北京博泰宏達(dá)生物技術(shù)有限公司。

當(dāng)P、T重合時,易見點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,0)或點(diǎn)(-2,0).

綜上所述,點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=4.

評注條件中有|F2Q|=2a,將其與橢圓的定義聯(lián)系起來再自然不過了，然而很多考生在做第(2)問時,試圖尋求點(diǎn)P坐標(biāo)與點(diǎn)T坐標(biāo)的關(guān)系,這樣做往往無果而終,導(dǎo)致此題的得分率非常低.

二、設(shè)而不求,事半功倍

所謂“設(shè)而不求”,就是在解題時設(shè)一些輔助元(參數(shù))作為媒介,在解題過程中并不求出這些輔助元,只用它們連接已知量和未知量,最后又巧妙地將其消去,這就是“設(shè)而不求”.它不僅可以有效解決相關(guān)問題,還可以減少計(jì)算量.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),T為直線x=-3上任意一點(diǎn),過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

種子發(fā)芽的最適溫度為28～30℃，最高溫度40℃，最低溫度10℃。幼苗期生長最適溫度為白天22～25℃。夜間18～20℃最高溫度為25～28℃，最低溫度為13～15℃，不高于18℃。從破心到定植前7～10天，進(jìn)行低溫鍛煉白天瓜苗要保持在20～25℃，夜間在10～15℃，有利于雌花分化且降低雌花節(jié)位。

解(1)易知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

上述實(shí)證結(jié)果顯示，經(jīng)濟(jì)增長這個主要解釋變量在很大程度上影響了碳排放。雖然代表經(jīng)濟(jì)發(fā)展和產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的第二產(chǎn)業(yè)占比也對其顯示正向影響，但結(jié)果并不顯著，人口規(guī)模和對外貿(mào)易規(guī)模也是同樣的情況，其原因應(yīng)該是在武漢這樣的內(nèi)陸城市和非暖氣供應(yīng)的城市，出口總額和人口規(guī)模等通過消費(fèi)途徑影響碳排放的效果較小。在經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)的現(xiàn)代化環(huán)境中，依賴于環(huán)境污染的經(jīng)濟(jì)發(fā)展比重較大，顯然不符合綠色發(fā)展理念。除去碳排放，以第二產(chǎn)業(yè)為主所帶來的其他方面的環(huán)境污染也值得重視。

香港的華人企業(yè)家是將成功的香港發(fā)展模式與經(jīng)驗(yàn)介紹到中國大陸社會主義市場經(jīng)濟(jì)體系中的關(guān)鍵推動者。以專業(yè)為基礎(chǔ)的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建，為新一代香港跨界華人企業(yè)家參與中國的經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型與制度性變革提供了比較競爭優(yōu)勢。他們致力于在住宅與商業(yè)地產(chǎn)、企業(yè)國際化發(fā)展與資本市場監(jiān)管等方面為中國大陸市場提供專業(yè)化服務(wù)解決方案。他們憑借杰出的跨界藝術(shù)與溝通能力和中國的政策制定者取得共識，確保這些經(jīng)驗(yàn)和模式能夠在中國大陸社會主義市場經(jīng)濟(jì)的土壤中取得生存和發(fā)展。

當(dāng)m=0時,直線PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.

(m2+3)y2-4my-2=0,

其判別式Δ=16m2+8(m2+3)>0.

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則有

證法2由(1)可得F(-2,0),設(shè)T(-3,m),則kTF=-m.

設(shè)M為PQ的中點(diǎn),則

(1)求拋物線C的方程;

省內(nèi)陸上天然氣資源匱乏，預(yù)計(jì)2020年、2030年，廣東省內(nèi)天然氣供應(yīng)能力分別為115億m3和215億m3。省外天然氣主要來源于卡塔爾、澳大利亞、中亞、新疆等地區(qū)，天然氣供應(yīng)充足。廣東省天然氣輸送通道主要包括省內(nèi)LNG接收站、管網(wǎng)通道和少量槽車輸送，接收及輸送能力強(qiáng)。

(2)證法1由(1)可得F(-2,0),設(shè)T(-3,m),則kTF=-m.

①

②

當(dāng)m=0時也適合,因此OT平分線段PQ.

評注證法2利用“點(diǎn)差法”,采用整體代換,避免了證法1中直線代入圓錐曲線,再利用韋達(dá)定理的繁雜計(jì)算.“點(diǎn)差法”是解決“中點(diǎn)弦”問題的常用方法,它巧妙地運(yùn)用了“設(shè)而不求”的思想,有效地減少了計(jì)算量.

三、巧設(shè)方程(坐標(biāo)),化繁為簡

在解決解析幾何問題時,若能根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)剡x擇曲線方程(或點(diǎn)的坐標(biāo))的形式,往往可以有效地避免分類討論,優(yōu)化解題過程.

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)M(x0,y0),則

(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l′與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.

分析(1)拋物線C的方程為y2=4x.對于第(2)問若設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),與y2=4x聯(lián)立求解,運(yùn)算量較大,另外還要對直線斜率不存在的情形進(jìn)行討論,重復(fù)而且繁瑣;倘若將直線的方程設(shè)為x=my+1,該方程已經(jīng)包括了與x軸垂直的情形,無需分類討論.

四、引入向量(導(dǎo)數(shù)),借水行舟

用向量形式敘述題設(shè)條件或引入向量解決解析幾何問題,已成為處理解析幾何問題的基本方法.引入向量,可以使解析幾何中涉及“角平分線”、“共線與垂直”、“銳角或鈍角”等問題得到輕松解決.用導(dǎo)數(shù)處理解析幾何中涉及“最值問題”以及拋物線中的“相切問題”時,往往可以簡化運(yùn)算,使問題迎刃而解.

(1)求橢圓C的方程;

(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連結(jié)PF1,PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍.

(2)由題意，可知∠F1PM=∠MPF2,所以 cos∠F1PM=cos∠MPF2,

多元線性回歸利用線性來擬合多個自變量和因變量的關(guān)系，從而確定多元線性回歸模型的參數(shù)。如表二所示為根據(jù)因子分析結(jié)果所選取的3個自變量城鎮(zhèn)化率（CZHL）、老齡人口撫養(yǎng)比（LNFYB）、衛(wèi)生機(jī)構(gòu)數(shù)（WSJGS）與因變量人口老齡化系數(shù)（65ZB）所構(gòu)建的多元線性回歸模型檢驗(yàn)結(jié)果。

工程問題設(shè)計(jì)在“電力電子技術(shù)”課程教學(xué)改革中的應(yīng)用與實(shí)踐…………………孫秀桂，張洪斌，彭建榮，孫江波（37）

評注本題的常規(guī)解法是利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等這一性質(zhì),再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式來求解,很多考生在運(yùn)用此法解題時不僅感覺運(yùn)算強(qiáng)度較大,而且不知如何去絕對值,使解題陷入困境.本題解法中巧妙地引入了向量,利用向量的夾角相等來建立等量關(guān)系,大大簡化了運(yùn)算.

五、活用平幾,峰回路轉(zhuǎn)

解決解析幾何問題時,往往需要求解涉及含多個參數(shù)的兩個以上方程組成的方程組,運(yùn)算較為復(fù)雜;若能聯(lián)想題目所涉及圖形的幾何性質(zhì),并利用有關(guān)幾何性質(zhì)來解決問題,常?？梢苑寤芈忿D(zhuǎn),達(dá)到巧妙解題的效果.

采用配對樣本T檢驗(yàn)分析不同組別下肢左右側(cè)IEMG的差異；采用重復(fù)測量方差分析計(jì)算不同組別雙下肢骨骼肌的左右側(cè)效應(yīng)、組別效應(yīng)和交互作用；采用積差相關(guān)系數(shù)分析不同組別下肢左右側(cè)骨骼肌IEMG的相關(guān)性。分析軟件采用SPSS20，顯著性水平取0.05，非常顯著性水平取0.01。

解觀察題設(shè)條件:在Rt?MNH中，斜邊MN=2,直角邊NH=1,可得 ∠HMN=30°,在ΔPMN中用正弦定理,得

∴∠PNM=45°或135°，

kPN=tan∠PNM=±1.

因此，直線PN的方程為y=±(x-1).

評注本題第(2)問的解法主要體現(xiàn)在求弦長|AB|的角度.若利用弦長公式求解,則運(yùn)算量大，而利用勾股定理巧妙求解,大大簡化了冗長繁雜的運(yùn)算.由此可見,我們在解題時,若能根據(jù)題中條件恰當(dāng)轉(zhuǎn)換解題視角,往往能避難趨易,優(yōu)化解題過程.

評注本題重點(diǎn)考查運(yùn)算能力,這對考生提出了較高的要求.讀者很容易看出:運(yùn)用平面圖形的有關(guān)幾何性質(zhì)來解決一些解析幾何問題,可以有效地避免復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算,達(dá)到簡捷解題的目的.2013年高考山東卷理科第22題第(2)問也可以用此策略來求解.

六、轉(zhuǎn)換視角,別有洞天

在求解解析幾何問題時,我們要善于轉(zhuǎn)換解題的角度,將問題進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化,把復(fù)雜的、生疏的、抽象的、困難的、未知的問題,通過觀察、類比、推理、聯(lián)想等思維過程,將其轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的、具體的、容易的、已知的問題來解決,往往可以避免繁雜的運(yùn)算,使解題過程得到優(yōu)化.

(2)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y).

(1)若橢圓的離心率為e,試用e,a,x1表示|MF|;

(2)已知直線m與圓x2+y2=b2相切,并與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且直線m與圓切點(diǎn)Q在y軸右側(cè),若a=2,求?ABF的周長.

解(1)|MF|=a-ex1.

故?ABF的周長為4.

首先要轉(zhuǎn)變企業(yè)和員工的思想觀念。從根本上認(rèn)識到機(jī)械設(shè)備管理的重要性。建立健全相關(guān)的機(jī)械設(shè)備管理知識。例如完善對機(jī)械設(shè)備的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)，對機(jī)械設(shè)備出現(xiàn)的故障進(jìn)行備案。對機(jī)械管理人員做到權(quán)責(zé)到位，責(zé)任落實(shí)到實(shí)處。將設(shè)備的管理重視起來，在維護(hù)上也能夠減少設(shè)備的維修成本。

七、整體代換,絕處逢生

整體代換,就是將若干個式子的組合看作一個整體,直接或變形后代入另一個式子,進(jìn)行整體求值或整體消去,以減少或避免求單個變量而造成的繁瑣運(yùn)算.

(1)求橢圓C的方程;

調(diào)查結(jié)果顯示，有待進(jìn)一步提高的知識包括跨學(xué)科知識、專業(yè)基礎(chǔ)知識、研究方法論知識、專業(yè)前沿知識等。分別有42.5%和22.5%的學(xué)生認(rèn)為要提高專業(yè)前沿知識和研究方法論知識；另有17.5%和12.5%學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該提高跨學(xué)科知識和專業(yè)基礎(chǔ)知識。其中，大部分學(xué)生把專業(yè)前沿知識看做最需要提高的知識。在課程設(shè)置時，如果沒有按照學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)合理整合課程知識內(nèi)容，將會降低應(yīng)有的知識覆蓋面。在能力提升方面，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為創(chuàng)新能力和解決問題能力有待提高。從目前高校對學(xué)生培養(yǎng)情況看，這兩種能力的確也是當(dāng)今大學(xué)生最欠缺的。

(2)過點(diǎn)B作直線l垂直于直線AB,已知l與直線AH交于點(diǎn)M,判斷點(diǎn)M是否在橢圓C上,證明你的結(jié)論.

(2)設(shè)B(x0,y0),A(-x0,-y0),H(x0,0),則直線AH,BM的方程分別為

①

②

①×②，得

故點(diǎn)M在橢圓C上.

評注很多學(xué)生做這道題時,往往是在求出直線AH,BM的方程后,直接把直線AH,BM的交點(diǎn)坐標(biāo)解出來,再代入橢圓方程,但這樣的方法運(yùn)算量很大,幾乎沒人能算出來,使解題陷入絕境.而若采用把兩式看作整體進(jìn)行相乘的思路,問題立刻迎刃而解,給人以絕處逢生的感覺.在處理“證明動點(diǎn)在曲線上”、“求軌跡時消參”、“設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率”等問題時常用整體代換.

高考對解析幾何問題運(yùn)算能力的考查是多角度、多層次的,尤其重視對運(yùn)算變形的科學(xué)性和合理性的考查,很多試題需要根據(jù)不同的具體條件,靈活采用不同的方法來減少解析幾何的運(yùn)算量,因此在熟練掌握常規(guī)解法的基礎(chǔ)上,一方面要靠運(yùn)算能力的提高,另一方面要有求簡意識,充分利用上述幾種優(yōu)化策略,只要在平時的練習(xí)中多加注意,不斷總結(jié),肯定能夠以簡馭繁,事半功倍,使解題達(dá)到較高水平.