巧妙構造 完美三角

徐 穎

(江蘇省常州市田家炳高級中學，213000)

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巧妙構造 完美三角

徐 穎

(江蘇省常州市田家炳高級中學，213000)

數(shù)學是一門創(chuàng)造性的藝術，蘊含著豐富的美，而靈活、巧妙的構造更是令人拍案叫絕，能為數(shù)學問題的解決增添色彩.構造需要以足夠的知識經(jīng)驗為基礎，較強的觀察能力、綜合運用能力和創(chuàng)造能力為前提，把題設條件中元素間的關系找出來，構想這種關系在某個模型上得以實現(xiàn)，或者構想出某種新形式，能使問題從新的角度去審視，從而使問題巧妙地獲得解決，我們稱之為“構造性思維”.本文以三角試題為例加以說明.

一、構造函數(shù)或方程

函數(shù)在整個高中數(shù)學中占有重要的地位. 構造函數(shù)指的是由問題的條件及所給的數(shù)量關系為對象，構想、組合成一種新的函數(shù)關系，使問題得以解決，這就要求學生對典型的函數(shù)或方程及其特性很熟悉.

構造函數(shù)或方程解題過程如圖1：

分析由sin2C=4cos Atan B，我們想到一元二次方程的判別式.當判別式為零時方程有等根，為此，不妨一試.

解令x=3，則第一個關系式即為

x2cos A+xsin C+tan B=0.

(*)

因為cos A≠0，所以(*)式是關于x的一元二次方程.由第二個關系式推知，(*)的判別式Δ=sin2C-4cos Atan B=0，所以，關于x的一元二次方程(*)有等根，即x1=x2=3.

由韋達定理，得

二、構造向量

三角中的很多問題都可以利用向量這一工具來解決.

例2(蘇教版必修4第115頁)已知sin α+sin β=a,cos α+cos β=b,求cos(α-β).

解如圖2，不妨設α，β的終邊均在第一象限.設A(cos α,sin α),B(cos β,sin β)為單位圓上兩點，則

在?OBC中，

由余弦定理，得

∵∠OBC+(β-α)=π，

∴cos(α-β)=cos(β-α)

變式1已知sin β-sin α=a,cos β-cos α=b,求cos(α-β)的值.

解按照例2的設法，在圖2中連結AB，可得

在?OBA中，

由余弦定理，得

變式2已知sin α-sin β=a,cos α+cos β=b,求cos(α+β)的值.

解題設條件可變形為

sin α+sin(-β)=a,

cos α+cos(-β)=b.

如圖3，設A(cos α,sin α),B(cos(-β),sin(-β))為單位圓上兩點，則

=(cos α+cos(-β),sin α+sin(-β))

=(b,a).

在?OBC中，

由余弦定理，得

三、構造圖形

華羅庚說：“數(shù)少形時難直觀，形缺數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結合的思想有時能幫助我們巧解難題.構造圖形是指問題的條件中的數(shù)量關系有著明顯的幾何意義或以某種關系可與幾何圖形建立聯(lián)系，則可以將題設條件及數(shù)量關系在圖形中得到體現(xiàn)，給人們更直觀的感覺.

分析題設條件是邊的關系，要求的是角的正切值，很明顯，常規(guī)思路是邊化角或角化邊.

思路1(邊化角)

思路2(角化邊)

由思路2得

解省略思路1，2的方法，研究構造法：

評注例3及變式可直接運用三角函數(shù)二倍角公式、和差化積公式、正余弦定理求得，但是通過構造橢圓或是雙曲線，利用其定義解題，顯得更加巧妙、簡捷.

以形助數(shù)常常借助數(shù)軸、函數(shù)圖象、單位圓、數(shù)式的結構特征、幾何圖形.

以數(shù)助形常常借助幾何軌跡所遵循的數(shù)量關系、運算結果與幾何定理的結合.

構造圖形解題一般過程是(如圖6)：

從以上各例不難看出，構造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，體現(xiàn)了數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學方法.運用構造法解數(shù)學題可從中欣賞數(shù)學之美，感受解題樂趣，更重要的是可以開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益.