例談向量背景下常見動點問題的求解

黨忠良 王歷權(quán) 劉 津

(重慶市育才中學，400050) (重慶市九龍坡區(qū)辰光學校，404000)

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○解題思路與方法○

例談向量背景下常見動點問題的求解

黨忠良 王歷權(quán) 劉 津

(重慶市育才中學，400050) (重慶市九龍坡區(qū)辰光學校，404000)

一、動點問題在向量中的考察分析

動點的軌跡問題是高考的熱點,以向量為背景的動點軌跡和相關(guān)最值問題更是高考的寵兒,深受命題者的青睞.這類題目以向量為背景考察向量的線性運算、數(shù)量積、面積、動點軌跡方程以及與圓有關(guān)的最值問題等相關(guān)知識,通過適度聯(lián)系與綜合,在知識交匯處考查學生的數(shù)學思維方法和能力．

求解以向量為背景的動點問題需要結(jié)合向量的數(shù)與形兩方面屬性,熟練運用數(shù)形結(jié)合和化歸的思想,以明確動點的軌跡為解決問題的基礎(chǔ)，因此，更需要有分析動點軌跡的意識．這類題目加大了對考生創(chuàng)新能力、數(shù)學思想方法的考查,需要考生根據(jù)問題情境,從特殊到一般,從抽象到形象進行不同側(cè)面的分析與探究．

二、常見動點軌跡問題分類例析

1.動點軌跡為直線或線段的向量問題

由三點共線充要條件，易得下述結(jié)論：

2.動點軌跡為平面區(qū)域的向量問題

評注本題綜合了向量基本線性運算、正余弦定理等知識,尋求動點P的運動區(qū)域是解題關(guān)鍵.同時，應(yīng)準確理解并應(yīng)用三角形內(nèi)心這一條件,將平行四邊形的面積與三角形ABC的面積聯(lián)系起來．

答案：D.

變式2(2014年陜西高考題) 在直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在?ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.

(2)m-n=y-x，最大值為1.

3.動點軌跡為圓的向量問題

(x-2)2+y2=1.

故選B．

評注本題涵蓋向量數(shù)量積和圓的相關(guān)知識,動點P運動軌跡為圓,需建立坐標系,寫出點P運動軌跡方程,通過向量坐標運算，數(shù)形結(jié)合解決問題．

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

答案：B.

變式2(2013年湖南高考題)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是( )

答案：A.

4.隱含動點軌跡的向量問題

例4(2012年安徽高考題)若平面向量a,b滿足:|2a-b|≤3，則a·b的最小值是______.

解法1由已知|2a-b|≤3,平方得

4|a|2+|b|2-4a·b≤9.

又4|a|2+|b|2≥4|a||b|

≥-4a·b,

評注本題題干以不等式形式給出,簡約但不簡單.解法1利用了不等式(i)|a|2+|b|2≥2|a||b|和(ii)-|a||b|≤a·b≤|a||b|,看似簡潔但又深感突兀,尤其對使用不等式(ii)左側(cè)進行變形深感困惑．思考之后筆者想到用向量的幾何意義來解釋,發(fā)現(xiàn)該題尤為有趣且意味深長,即得解法2.問題中隱藏著動點的軌跡、均值不等式等“寶藏”，讓筆者深感意外的同時又深感必然,想必這就是高考好題和趣題．

答案：選D.

5.構(gòu)造函數(shù)研究動點的向量問題

評注本題跟例4解法2一樣,先固定一個變量,再尋求此情況下相關(guān)量的最值,這種多變量問題中控制變量求邊際最值的方法值得注意．本題用函數(shù)的觀點審視了解法1中放縮的“合理性”,解法2用運動變化的觀點建立函數(shù)關(guān)系是解決變化問題的很好方法.

(A)∠ABC=90° (B)∠BAC=90°

(C)AB=AC (D)AC=BC

答案：選D.

故當n=15時,Sn取得最小值,S15=-225.