例析直線參數(shù)方程在解題中的應(yīng)用

鄒生書

(湖北省陽新縣高級中學(xué)，435200)

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例析直線參數(shù)方程在解題中的應(yīng)用

鄒生書

(湖北省陽新縣高級中學(xué)，435200)

直線與圓錐曲線的綜合題是高考和數(shù)學(xué)競賽的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)問題.這類問題綜合性強(qiáng)，難度大,重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和探究問題的能力．一般來說解題入口寬,但進(jìn)入容易深入難，析出更難,運(yùn)算量大,費(fèi)時(shí)耗力,若方法不當(dāng)則常常無功而返．對于線段長度的有關(guān)問題,若運(yùn)用直線的參數(shù)方程來處理,則可簡化運(yùn)算提高解題效率.本文以高考題和競賽題為例說明直線參數(shù)方程在解決這類問題中的應(yīng)用．

一、求定點(diǎn)坐標(biāo)

t2sin2θ-4tcos θ-4a=0．

設(shè)t1,t2是P,Q兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù),則t1,t2是方程的兩個(gè)根,由根與系數(shù)關(guān)系，得

二、求參數(shù)取值

=(t1+t2)2-2t1t2

-2a2b2sin2θ-2b4cos2θ)m2

+2a2b2(a2sin2θ+b2cos2θ)].

三、求軌跡方程

又x=t0cos θ,y=2+t0sin θ,可得

10(y-2)2-3x2=18．

四、求面積取值范圍

例4(2016年全國高考題)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)求證|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ的面積的取值范圍.

(3+sin2θ)t2+6cos θ·t-9=0,

Δt=36cos2θ+36(3+sin2θ)=144.

代入圓A的方程并整理，得

p2-4psin θ·t-12=0,

則 Δp=16sin2θ+48=16(3+sin2θ).

于是，四邊形MPNQ的面積為

五、證線段等積式

同理,設(shè)直線PT的傾斜角為β,則有

|PT|2=λ|PA||PB|．

綜上可知,用直線參數(shù)方程處理線段長度和兩線段長度之積等有關(guān)問題是一種行之有效的方法．用直線參數(shù)方程解題,就是利用參數(shù)的幾何意義解題,思路清晰，過程簡潔．參數(shù)方程在解題過程中具有化整為零、深透力強(qiáng)、不需分類討論等特點(diǎn),給人一種“隨風(fēng)潛入夜?jié)櫸锛?xì)無聲”的詩意般的享受．