用均值不等式求最值應(yīng)注意的問題

華騰飛

(安徽省靈璧縣黃灣中學(xué)，234213)

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○學(xué)習(xí)指導(dǎo)○

用均值不等式求最值應(yīng)注意的問題

華騰飛

(安徽省靈璧縣黃灣中學(xué)，234213)

運(yùn)用均值不等式求最值是中學(xué)數(shù)學(xué)求最值的基本方法之一,但有些同學(xué)在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)經(jīng)常出錯(cuò),究其原因是沒有弄清以下幾點(diǎn):一是表達(dá)式中含變量的項(xiàng)均為正;二是表達(dá)式中含變量的項(xiàng)之和(積)是定值;三是表達(dá)式中含變量的項(xiàng)可以相等．茲例說如下，供參考.

一、注意化正

如果含變量的項(xiàng)是負(fù)的,可通過添加負(fù)號(hào),將其轉(zhuǎn)化為正,以便于利用均值不等式及不等式的性質(zhì)求解．

解∵x < 0, ∴-x> 0,

解∵x> 0,

二、注意乘“1”

在求條件最值時(shí),要敏銳地洞察到已知條件中的“1”與要求解的式子中的“1”的聯(lián)系,并進(jìn)而靈活地進(jìn)行代換,簡(jiǎn)捷地使問題獲解．

解因?yàn)閤、y、z>0且x+y+z=1,所以

≥14+4+6+12=36，

三、注意配系數(shù)

用均值不等式求最值時(shí),常將所求式的某些因子同乘以或同除以某一正數(shù),使含變量的各因子之和為定值且能夠相等．

例6已知0

解∵x>0, 1-x> 0,

四、注意添項(xiàng)

利用均值不等式求和的最小值時(shí)須積為定值,為此可進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶眄?xiàng)處理,進(jìn)而簡(jiǎn)捷求解．

五、注意拆項(xiàng)

在求最值時(shí),為了創(chuàng)造條件利用均值不等式,有時(shí)需要將一些項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?拆為多項(xiàng)之和或分解為多個(gè)因子之積,從而達(dá)到湊積或和為定值的目的．但為了使等號(hào)成立,要注意遵循“平均分拆”的原則．

例8已知xy> 0,且x2y=2,求xy+x2的最小值．

解因?yàn)閤y> 0,且x2y=2,所以

解由題意，知ax> 0, 1-ax> 0,

六、注意平方

當(dāng)函數(shù)恒為正值時(shí),有時(shí)平方目標(biāo)函數(shù),可達(dá)到湊和為定值的目的．

解∵u≥0,

∴u2=4(a+b+c)+3

≤7+(4a+4b+2)+(4a+4c+2)

+(4b+4c+2)

=13+8(a+b+c)=21，

七、注意換元

通過換元改變式子的結(jié)構(gòu),使問題變得更加明顯,從而發(fā)現(xiàn)利用均值不等式的方法．

解因?yàn)閤>-1,所以x+1> 0．令t=x+1,則

八、注意引參

有些最值問題無論是乘“1”、配系數(shù),還是添項(xiàng)、拆項(xiàng)或平方均不能奏效,此時(shí)可考慮引入?yún)?shù),把問題轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的討論,使參數(shù)在用均值不等式解題中起到一個(gè)橋梁的作用．

例13求函數(shù)y=x (x+3)(5-x) (0

分析因?yàn)閤+(x+3)+(x+5)不是常數(shù),用均值不等式無能為力；若調(diào)整3個(gè)因式的系數(shù),使它們均為正且和為定值,又要使它們相等時(shí)的x存在,系數(shù)難確定．從整體考慮,對(duì)其一般化,用待定系數(shù)法處理．

解設(shè)mny=mx·(x+3)·n (5-x)(其中正數(shù)m、n為待定系數(shù))．令

mx+(x+3)+n (5-x)

=(m+1-n)x+(3+5n)

為常數(shù)，則

m+1-n=0.

①

若滿足mx=x+3=n (5-x)> 0的x存在,則

②

2×3y=2x(x+3)×3 (5-x)

當(dāng)且僅當(dāng)2x=x+3=3(5-x),即當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào),故ymax=36．