高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課微專題的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思
——以“多變量函數(shù)的值域與最值”一課為例

謝洪榮

(江蘇省南京外國語學(xué)校仙林分校，210023)

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○教學(xué)研究○

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課微專題的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思
——以“多變量函數(shù)的值域與最值”一課為例

謝洪榮

(江蘇省南京外國語學(xué)校仙林分校，210023)

高三復(fù)習(xí)課基本上有三輪.第一輪主要是對基礎(chǔ)知識(shí)及考點(diǎn)的全面梳理；第二輪主要是對高考中的重要知識(shí)點(diǎn)和方法進(jìn)行專題復(fù)習(xí)；那么，到了第三輪,許多學(xué)校都是通過綜合練習(xí)與回歸課本,使學(xué)生熟悉應(yīng)試得分的策略,提高應(yīng)試的能力、技巧.今年,南京市教研室在三輪復(fù)習(xí)中新增了一種做法,就是開展微專題教學(xué).所謂微專題,就是聚焦一個(gè)具體考點(diǎn)(重點(diǎn)、熱點(diǎn)或難點(diǎn)),以專題的形式組織教學(xué)活動(dòng),一個(gè)微專題一般安排1-2節(jié)課.下面就以“多變量函數(shù)的值域與最值”為例,談?wù)勅绾芜M(jìn)行微專題的教學(xué)設(shè)計(jì)以及在教學(xué)過程中應(yīng)該注意的問題.

一、教與學(xué)的基本認(rèn)識(shí)

1. 教學(xué)目標(biāo)

(1)能通過換元或消元的方法對多個(gè)變量進(jìn)行減元,求解多變量函數(shù)最值與范圍問題;

(2)能運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)對多個(gè)變量進(jìn)行減元,求解多變量函數(shù)最值與范圍問題;

(3)能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,求解多變量函數(shù)最值與范圍問題.

2. 教學(xué)重點(diǎn)

求解多變量函數(shù)問題的基本思路與常用方法.

3. 學(xué)情分析

進(jìn)入高三最后階段的復(fù)習(xí),學(xué)生對用導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法、線性規(guī)劃法求函數(shù)的值域與最值已比較熟練.對于簡單的多變量函數(shù)問題,一輪復(fù)習(xí)時(shí)在相應(yīng)的章節(jié)也有所涉及,但比較分散,且一輪復(fù)習(xí)的特點(diǎn)是從知識(shí)到方法,再到知識(shí)與方法的直接運(yùn)用,理解還不夠深刻；而二輪復(fù)習(xí)主要是專題復(fù)習(xí),其特點(diǎn)是從問題到模式的識(shí)別,再到建立模型解決問題,重在化歸及知識(shí)與方法的整合.不過二輪結(jié)束后,依然有不少同學(xué)對多變量函數(shù)問題存在盲點(diǎn)和疑點(diǎn),因此，我們認(rèn)為用微專題的形式來展開教學(xué)是比較合適的.

學(xué)生在研究多變量函數(shù)問題時(shí),可能遇到的困難是如何觀察式子的結(jié)構(gòu)探尋減少變量個(gè)數(shù)的方法.因此，本專題的教學(xué)難點(diǎn)設(shè)定為:將多變量函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為雙變量函數(shù)或單變量函數(shù)問題.

4. 教學(xué)策略分析

(1)通過學(xué)習(xí)研究,建立相應(yīng)的模型

引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件的結(jié)構(gòu).若已知條件是二元一次不等式組,則將目標(biāo)化為二元函數(shù),再選用幾何意義或選用用基本不等式求解;若已知條件是等式或一個(gè)不等式,則考慮將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù),再運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)或利用導(dǎo)數(shù)求解.

(2)通過學(xué)習(xí)研究,找到降元的方法

引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件的結(jié)構(gòu),若已知條件是等式,則考慮代入消元;若已知條件為二元一次不等式組,則考慮將目標(biāo)先作比再換元.

(3)通過學(xué)習(xí)研究,總結(jié)解題規(guī)律

通過對基本問題的研究,學(xué)生能總結(jié)出一般的解題思路和解題方法,能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,提升解決問題的能力.

二、教學(xué)過程

1. 基本問題

目標(biāo)達(dá)成分析會(huì)用代入消元轉(zhuǎn)化為雙變量函數(shù),運(yùn)用基本不等式求最值.

目標(biāo)達(dá)成分析會(huì)用分離變量后作比換元化為單變量函數(shù),運(yùn)用基本不等式求解.

答案：2.

目標(biāo)達(dá)成分析將已知條件表示為分段函數(shù),結(jié)合圖形得出方程為f(x)=m(m∈R)有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3與變量m的關(guān)系,其中x2x3=m,且m=x1(2x1-1).會(huì)將目標(biāo)化為關(guān)于x1的單變量函數(shù),再求出定義域進(jìn)行求解.

2. 方法總結(jié)

處理多變量(通常為兩個(gè)或三個(gè))函數(shù)最值或取值范圍問題的基本思路是減元,常見方法有:

方法1若條件為一個(gè)等式或一個(gè)不等式可代入消元,當(dāng)問題轉(zhuǎn)化為雙變量函數(shù)時(shí),可考慮用基本不等式求解.

方法2若條件為不等式組可作比換元,當(dāng)問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)時(shí),運(yùn)用幾何意義求解,或進(jìn)一步用導(dǎo)數(shù)求解;當(dāng)問題轉(zhuǎn)化為雙變量函數(shù)時(shí),結(jié)合二元不等式組表示的平面區(qū)域,運(yùn)用幾何意義求解.

方法3利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù),確定定義域后再求解.

3. 綜合應(yīng)用

例1(2011年重慶高考題)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,則c的最大值為______.

思路分析設(shè)2a=x,2b=y,2c=z,通過換元將已知條件中的指數(shù)方程化為整式方程,由后一個(gè)條件解出z關(guān)于x,y的表達(dá)式.令xy=t,通過換元將z化為關(guān)于t的單變量函數(shù),并利用基本不等式由前一個(gè)條件求出xy的取值范圍進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其最值.

問題設(shè)計(jì)

(1)本題是屬于多變量類型的問題嗎?

(2)已知條件是什么結(jié)構(gòu)?

(3)已知條件能化成更簡單的形式嗎?

(4)怎樣進(jìn)行消元?

(5)目標(biāo)能化成單變量函數(shù)嗎?

(6)能求出函數(shù)的定義域嗎?

思路分析已知條件中含有三個(gè)變量,通過作比換元，轉(zhuǎn)化為二元不等式組.目標(biāo)轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的直線的斜率的范圍問題,可行域?yàn)榍吶切?斜率的最小值為過原點(diǎn)作求曲線段的切線的斜率,最大值為過兩直線的交點(diǎn)與原點(diǎn)的直線的斜率.

問題設(shè)計(jì)

(1)本題是屬于多變量類型的問題嗎?

(2)已知條件是什么結(jié)構(gòu)?

(3)已知條件能轉(zhuǎn)化成二元不等式組嗎?

(4)可行域表示什么圖形?

(5)目標(biāo)具有怎樣的幾何意義?

(6)臨界位置在哪里?

答案：[e,7].

4. 反饋鞏固

(1)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2+2xy-1=0,則x2+y2的最小值是______.

答案：10.

答案：3.

三、 教學(xué)反思

1. 微專題要瞄準(zhǔn)一個(gè)點(diǎn)

高三最后階段的復(fù)習(xí)主要是針對學(xué)生掌握的薄弱環(huán)節(jié)或者高考熱點(diǎn)問題,每節(jié)課應(yīng)聚焦一個(gè)問題的解決,目標(biāo)明確,重點(diǎn)突出,刪繁就簡,直擊要害.

2. 微專題要形成解一類問題的基本思路與方法

通過微專題的研究,在教師的引導(dǎo)下,通過基本問題的解決,學(xué)生能歸納出解題方法,更重要的是要形成解題思路,會(huì)根據(jù)條件和目標(biāo)的要求進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化,建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?做到有章可循,有法可依,方法有效.在此基礎(chǔ)上,通過對典型問題的探究,學(xué)生能根據(jù)自己的體會(huì)去嘗試解決問題,形成能力.通過相應(yīng)的反饋鞏固練習(xí),固化學(xué)生的思維.

3. 微專題可嘗試多樣化的組織形式

微專題教學(xué)可以由老師講授為主,也可以組織學(xué)生開展自主合作探究學(xué)習(xí).我們則更多地采取了后一種方式,實(shí)踐證明效果很好.具體做法是:(1)學(xué)生按照一定方式組成研究小組;(2)教師根據(jù)學(xué)情調(diào)查提供若干微專題供學(xué)生選擇;(3)教師圍繞每一個(gè)微專題準(zhǔn)備一定的素材提供給學(xué)生參考;(4)學(xué)生圍繞自己小組的專題，研究教師所提供的材料,并進(jìn)一步收集整理相關(guān)材料,提煉解法,總結(jié)規(guī)律,形成講稿,期間教師適時(shí)給予一定的幫助與指導(dǎo);(5)各小組根據(jù)抽簽順序依次在班上進(jìn)行展示交流.這種方式不僅使專題研究更加具有針對性,更因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)過自主研究,合作探究,公開展示的過程,使他們對于這類問題的解題思路與方法的領(lǐng)悟更加深刻.