排列組合問(wèn)題的八種錯(cuò)誤

黃孝銀++張永友

在解答排列組合問(wèn)題時(shí)，由于題意理解不透、“分類(lèi)”與“分步”混淆不清、元素間的關(guān)系處理不明、方法應(yīng)用把握不準(zhǔn)，就不可避免地出現(xiàn)“重”或“漏”的錯(cuò)誤. 為了幫助同學(xué)們厘清關(guān)系，避免失誤，我們把常見(jiàn)錯(cuò)誤歸結(jié)為八個(gè)類(lèi)型，以供借鑒.

混淆加法計(jì)數(shù)原理與乘法計(jì)數(shù)原理

例1 如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到G處參加志愿者活動(dòng)，則小明到[G]處可以選擇的最短路徑的條數(shù)為_(kāi)____.

[ ]

錯(cuò)解 由題意可知，E[→]F共有6種走法，F(xiàn)[→]G共有3種走法，由加法計(jì)數(shù)原理知，共有6+3=9種走法.

錯(cuò)因 導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是混淆了兩個(gè)基本原理.

正解 由題意可知，從E到F有6種走法，從F到G有3種走法，故共有6[×]3=18種走法.

點(diǎn)撥 兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān). 分類(lèi)用加法，分步用乘法.

分類(lèi)重復(fù)導(dǎo)致錯(cuò)誤

例2 4名運(yùn)動(dòng)員參加4×100接力賽，若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，則不同的出場(chǎng)順序有____種.

錯(cuò)解 4名隊(duì)員共有[A44]種排法，甲跑第一棒有[A33]種，乙跑第四棒有[A33]種，故一共有[A44-A33-A33]=12種.

錯(cuò)因 上解法中，排除甲跑第一棒和乙跑第四棒，但兩次都減去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情況，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤結(jié)論.

正解 不考慮限制條件，4名隊(duì)員的全排列共有[A44=24]種. 甲跑第一棒有[A33=6]種，乙跑第四棒有[A33=6]種，甲跑第一棒且乙跑第四棒有[A22=2]種，故共有[A44-2A33+A22=14]種不同的出場(chǎng)順序.

點(diǎn)撥 此類(lèi)問(wèn)題與兩個(gè)集合的并集的元素個(gè)數(shù)如出一轍，[card（A?B）=card（A）+card（B）-card（A?B）].

分類(lèi)遺漏導(dǎo)致錯(cuò)誤

例3 5件不同產(chǎn)品排成一排，若產(chǎn)品A與B相鄰，且產(chǎn)品A與C不相鄰，則不同的排法有_____種.

錯(cuò)解 記其余兩件產(chǎn)品為D，E. 先將D，E進(jìn)行排列，并形成3個(gè)空位，將A，B看作一個(gè)整體，與C插入3個(gè)空位，故不同的方法共有[A22A23A22=24]種.

錯(cuò)因 錯(cuò)解中只是考慮了將A，B和C插空，其實(shí)ABC或CBA也可看作一個(gè)整體，再與D，E排列，而錯(cuò)解中忽略了這種情況.

正解 記其余2件產(chǎn)品為D，E. 先排D，E，并形成3個(gè)空位. 然后分類(lèi)：（1）將A，B看作一個(gè)整體，與C插入3個(gè)空位中，不同的排法有[A22A22A23=24]種；（2）將ABC或CBA看作一個(gè)整體，再與D，E排列，不同的排法有[A33+A33=12]種. 故不同的排法共有24+12=36種.

點(diǎn)撥 此例提醒我們，分類(lèi)時(shí)要把握好分類(lèi)的原則，必要時(shí)，也可畫(huà)圖來(lái)幫助分析、求解.

平均分組中出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的錯(cuò)誤

例4 某交通崗共有3人，從周一到周日的7天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有 種.

錯(cuò)解 第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下的3天給第三個(gè)人，共有[C27C25C33?A33]=1260種.

錯(cuò)因 此例是部分平均分組問(wèn)題. 錯(cuò)解中的挑選方法可能為第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是兩人交換了選法，所以在全排列的過(guò)程中就重復(fù)計(jì)算了.

正解 [C27C25C33A22×A33=630]種.

點(diǎn)撥 排列與組合的綜合問(wèn)題，要遵循“先組合再排列”即“先取后排”的原則. 注意在取的時(shí)候是不是已經(jīng)排序了，防止重復(fù)排序?qū)е轮貜?fù)計(jì)算.

將相同元素的排列錯(cuò)誤地當(dāng)成不同元素的排列

例5 6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為 種.

錯(cuò)解 先將不坐人的3把椅子排好，有[A33=6]種排法. 再將3人帶著剩余的3把椅子排在4個(gè)空位上，有[A34=24]種排法. 故共有6×24=144種不同的方法.

錯(cuò)因 空椅子之間是沒(méi)有差別的，錯(cuò)解中將空位當(dāng)成不同的元素也進(jìn)行了排列，致使計(jì)數(shù)出現(xiàn)了重復(fù).

正解 先把3把空椅子隔開(kāi)擺好，它們之間和兩端有4個(gè)空位，再把3人帶椅子插放在4個(gè)空位上，故共有[A34=24]種坐法.

點(diǎn)撥 相同元素的排列應(yīng)該用組合數(shù)表示，因?yàn)樗鼈冎g不講順序，而三個(gè)人的坐法是要有順序的.

不明白事理而導(dǎo)致錯(cuò)誤

例6 8個(gè)人進(jìn)行乒乓球單打比賽，水平高的總能勝水平低的，欲選出水平最高的兩人，至少需要比賽的場(chǎng)數(shù)為_(kāi)____. （用數(shù)字作答）

錯(cuò)解 第一輪分成4組比賽，負(fù)者被淘汰，勝者進(jìn)入第二輪，需比賽4場(chǎng). 第二輪分成2組比賽，勝者為水平最高的兩人，需2場(chǎng)比賽. 共需要比賽4+2=6場(chǎng).

錯(cuò)因 上述解法錯(cuò)誤地認(rèn)為，經(jīng)過(guò)這種淘汰賽后，剩下的兩人是水平最高的兩人. 實(shí)際上，第二名有可能在第一輪或第二輪就被第一名淘汰了.

正解 先將8人分成4組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)行第二輪，需要比賽4場(chǎng). 將進(jìn)入第二輪的四人分成2組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入第三輪，需要2場(chǎng)比賽. 進(jìn)入第三輪的2人比賽，勝者為第一名，需一場(chǎng)比賽. 將第一輪、第二輪、第三輪被第一名淘汰的選手共3人決出第一名，需2場(chǎng)比賽. 所以，至少需要4+2+1+2=9場(chǎng)比賽.

點(diǎn)撥 審題要明確事情有沒(méi)有做完，分類(lèi)有沒(méi)有遺漏，解答是否切合實(shí)際，從把握好事理關(guān)來(lái)杜絕錯(cuò)誤.

不會(huì)轉(zhuǎn)化導(dǎo)致解題錯(cuò)誤

例7 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿[x]軸跳動(dòng)，每次向左或向右跳1個(gè)單位，經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3，0）（可重復(fù)過(guò)此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有_____種.

錯(cuò)解 因?yàn)槊恳徊蕉加袃煞N可能，所以共有25=32種方法. 又由于這32種方法中質(zhì)點(diǎn)落在（3，0）與不在（3，0）的可能性相等，故不同的運(yùn)動(dòng)方法共有16種.

錯(cuò)因 質(zhì)點(diǎn)落在（3，0）與不在（3，0）的可能性相同是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有將問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.

正解 設(shè)質(zhì)點(diǎn)向右跳一次為+1，向左跳一次為-1. 由題意知，其和為+3，故需要4個(gè)+1，1個(gè)-1，所以質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有[C15C44=5]種.

點(diǎn)撥 背景比較陌生的問(wèn)題，可以利用轉(zhuǎn)化的方法轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)處理. 本例是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相同元素的排列問(wèn)題.

不能理解題意而導(dǎo)致錯(cuò)誤

例8 定義“規(guī)范01數(shù)列”[an]如下：[an]共有[2m]項(xiàng)，其中[m]項(xiàng)為0，[m]項(xiàng)為1，且對(duì)任意[k≤2m]，[a1，a2，…，ak]中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù). 若[m]=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有___個(gè).

錯(cuò)解 有[28÷2=128]個(gè)

錯(cuò)因 沒(méi)有理解題意而胡亂求解.

正解 由題意知，[a1=0，a8=1，a2，a3，…，a7]中有3個(gè)0、3個(gè)1，且滿(mǎn)足對(duì)任意[k≤8]，都有[a1，a2，…，ak]中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，利用列舉法可得不同的“規(guī)范01數(shù)列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，001110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14個(gè).

點(diǎn)撥 對(duì)某些特殊問(wèn)題，在正確理解題意的基礎(chǔ)上，可以用列舉法來(lái)求解，也可以用框圖或樹(shù)圖法求解.