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    智性數(shù)學(xué)課堂中的“悟點(diǎn)”初探

    2014-09-16 01:16:07高巧萍
    中小學(xué)教學(xué)研究 2014年8期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教學(xué)

    高巧萍

    摘 要:智性是數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn),教師應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”,有針對性地精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容以啟發(fā)學(xué)生思考,激發(fā)學(xué)生求真,潤澤學(xué)生心靈,從而達(dá)到知識(shí)與智慧共生,能力與思想同步提升的美好境界。

    關(guān)鍵詞:智性課堂;數(shù)學(xué)教學(xué);悟點(diǎn)

    所謂“智性”,即人們有意識(shí)地運(yùn)用自身的智慧,客觀、科學(xué)地認(rèn)識(shí)事物、解決問題的一種特性。在眾多學(xué)科中,數(shù)學(xué)在這一點(diǎn)上體現(xiàn)得尤為明顯。所謂“悟點(diǎn)”,是指教學(xué)過程中最能使學(xué)生領(lǐng)悟師者欲授其道之“道”的關(guān)鍵所在,是學(xué)生融入課堂、感悟知識(shí)本真的觸點(diǎn),是教師啟發(fā)點(diǎn)撥之指點(diǎn)。教學(xué)需要智慧,師者要做的就是深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”,找到“悟徑”,進(jìn)行個(gè)性化的智性設(shè)計(jì),抓住教學(xué)時(shí)機(jī),啟迪學(xué)生智慧,構(gòu)建智性課堂,以達(dá)到知識(shí)與智慧共生,能力與思想同步的美好境界。

    下面略舉幾例,以期拋磚引玉。

    一、歷史中悟“源”,活水涓涓

    我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊曾說過:“假如你對一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展,對一個(gè)概念的來龍去脈,對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等許多因素都弄清楚了,我想對數(shù)學(xué)就會(huì)了解得多,對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、更深刻,還會(huì)對數(shù)學(xué)的未來起一定的指導(dǎo)作用。”

    如在勾股定理的欣賞教學(xué)中,在引導(dǎo)學(xué)生從歷史、人文等角度對勾股定理進(jìn)行欣賞后,可再從研究的角度對學(xué)生的心靈進(jìn)行撞擊。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載,我國早在11世紀(jì)就已知道邊長為3、4、5的三角形是直角三角形,3、4、5也稱為勾股數(shù)組,這時(shí)可問學(xué)生還有哪些勾股數(shù)組呢?引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到其實(shí)就是尋找不定方程x2+y2=z2的正整數(shù)解。(當(dāng)然解決過程并不容易,激發(fā)出學(xué)生的問題意識(shí)即可)《九章算術(shù)》中曾提到5、12、13,6、8、10,8、15、17,7、24、25,20、21、29等都是勾股數(shù)組。對于勾股數(shù)組的研究,自然會(huì)引起這樣的一個(gè)問題:當(dāng)正整數(shù)指數(shù)n>2時(shí),有沒有正整數(shù)x、y、z滿足方程xn+yn=zn?(這個(gè)問題若能引導(dǎo)學(xué)生提出,那簡直太精彩了!)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬認(rèn)為沒有,這就是著名的“費(fèi)馬大定理”。費(fèi)馬曾在丟番都的著作《算術(shù)》拉丁文譯本的空白處提出這個(gè)問題,可惜地方太小,未能寫下他美妙的證明。在此后的三百多年間,無數(shù)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者想要給出證明,但都不夠完美。法國科學(xué)院和德國哥廷根皇家科學(xué)會(huì)幾次重金懸賞向全世界征集答案,期限100年。這極大地刺激了人們解決費(fèi)馬問題的決心。為了攻克這一難題,數(shù)以萬計(jì)的學(xué)者引進(jìn)新概念、新方法、新理論,大大擴(kuò)寬了數(shù)學(xué)領(lǐng)域,加速了數(shù)學(xué)的發(fā)展。傳說希爾伯特知道解決問題的辦法,但他不肯宣布,有人問他為什么不公布答案以贏取豐厚的獎(jiǎng)金,他說:“干嘛要?dú)⑺酪恢粫?huì)下金蛋的鵝呢?”1995年5月,英國數(shù)學(xué)家懷爾斯在權(quán)威刊物《數(shù)學(xué)年刊》上以整期的篇幅發(fā)表了證明,被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一。

    通過歷史故事學(xué)生可以體悟到,播下一個(gè)問題,就會(huì)長成一片知識(shí)森林?;赝麣v史源頭,科學(xué)之泉長流不息。

    二、概念中悟“本”,根深葉茂

    正確理解概念是掌握知識(shí)的前提,是解題的關(guān)鍵,是培養(yǎng)學(xué)生思維的必要條件。概念是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映。要正確理解某一概念,就必須抓住概念的本質(zhì),把本質(zhì)屬性向?qū)W生講清楚。讓學(xué)生在本質(zhì)屬性所反映的全體對象這一“悟點(diǎn)”上去悟,切忌死記硬背,胡搬亂套。

    比如在對二倍角公式的分析中,應(yīng)讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“二倍”并不是特指“2α”與“α”這樣的形式,諸如“4α”與“2α”、“α”與“[α2]”等也都是二倍的關(guān)系,同樣適用二倍角公式。再如在《函數(shù)的單調(diào)性》第1課時(shí)的教學(xué)部分,應(yīng)讓學(xué)生緊緊抓住單調(diào)性的形式化定義所蘊(yùn)涵的關(guān)鍵本質(zhì),在概念形成后,拋出問題:①若函數(shù)f(x)滿足f(-2)

    三、解題中悟“識(shí)”,觀念先行

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),題山題海,若不能解決一個(gè)觀念意識(shí)問題,做再多題也枉然。

    所謂解題未動(dòng),觀念先行,就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法、觀念的重要性。清袁枚在《隨園詩話》中指出:“學(xué)如弓弩,才如箭鏃,識(shí)以領(lǐng)之,方能中鵠?!薄皩W(xué)”即知識(shí),“才”即智能,“識(shí)”即觀念,袁枚形象地指出了這三者之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)觀念是什么?是指人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認(rèn)識(shí)。當(dāng)然,這不是一朝一夕所能形成的,需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過一定時(shí)期的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷而慢慢積累。因此教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)高屋建瓴,有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想、方法和觀念,比如簡化意識(shí)、分類意識(shí)、整體意識(shí)、運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)、數(shù)形結(jié)合意識(shí)、化歸意識(shí)、審美意識(shí)等。

    在函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)部分,有這樣一個(gè)典型問題:已知關(guān)于x的不等式[x]>ax+[23]的解集為{x|b

    可以看出,A,B兩點(diǎn)間的部分滿足要求。由題意可知點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo)分別是b和4,可設(shè)點(diǎn)A(4,y1),點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程y=[x],因而點(diǎn)A(4,2),又點(diǎn)A也在直線上,因而坐標(biāo)也滿足方程y=ax+[23],可得a=[13]。再解方程[x]=[13]x+[23]得兩根1和4,因此b=1。

    通過此題,學(xué)生領(lǐng)悟到利用數(shù)學(xué)思想可以使問題化難為易。經(jīng)過一段時(shí)間有意識(shí)的不同思想方法的經(jīng)常性訓(xùn)練,可達(dá)到使學(xué)生從模仿到自覺運(yùn)用的教學(xué)目標(biāo)。

    四、變式中悟“法”,變不離宗

    《中國教育百科全書》說:“變式——掌握概念的方法之一。從各個(gè)不同的角度抓住事物的主要特殊屬性,概括出事物一般屬性的思維方式?!弊兪浇虒W(xué)種類雖多,最常用的還是“非本質(zhì)屬性變式”,即保持問題的本質(zhì)方面不變,只在非本質(zhì)方面做出變化,雖萬變而不離其宗。一線教師使用較多的有“多題一法”,也就是包含不同知識(shí)點(diǎn)的問題使用同一解題方法去解決。這里我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住變式中的“法”去悟,這里的“法”僅指具體的解題方法,而不是一般的數(shù)學(xué)思想方法。

    例如我們可以設(shè)置這樣的題組:

    (1)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),方程x2+(t-1)x+4=0無實(shí)數(shù)根?

    (2)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)f(x)=x2+(t-1)x+4的圖像與x軸沒有交點(diǎn)?

    (3)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),關(guān)于x的不等式x2+(t-1)x+4≤0的解集是空集?

    (4)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),拋物線f(x)=x2+4與直線f(x)=-(t-1)x不相交?

    (5)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+(t-1)x+4不能表示為兩個(gè)一次因式的積?

    一個(gè)問題,如果孤立、靜止地去看它,再好也只解決了一個(gè)問題而已。上面這五個(gè)問題涉及二次方程、二次函數(shù)、二次不等式、解析幾何以及二次三項(xiàng)式的因式分解方面的問題,如果用“判別式”把它們貫穿在一起,作為一個(gè)解題組進(jìn)行教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生去悟,去透過問題表面形式的差異,就可看到它們之間本質(zhì)的聯(lián)系。這樣不僅可以高效利用教材資源,減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān),而且可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1]張念宏.中國教育百科全書[M].北京:海洋出版社,1991.

    [2]單墫.數(shù)學(xué):人的教育不可缺的內(nèi)容[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué),2000(10).

    (責(zé)任編輯:張華偉)

    摘 要:智性是數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn),教師應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”,有針對性地精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容以啟發(fā)學(xué)生思考,激發(fā)學(xué)生求真,潤澤學(xué)生心靈,從而達(dá)到知識(shí)與智慧共生,能力與思想同步提升的美好境界。

    關(guān)鍵詞:智性課堂;數(shù)學(xué)教學(xué);悟點(diǎn)

    所謂“智性”,即人們有意識(shí)地運(yùn)用自身的智慧,客觀、科學(xué)地認(rèn)識(shí)事物、解決問題的一種特性。在眾多學(xué)科中,數(shù)學(xué)在這一點(diǎn)上體現(xiàn)得尤為明顯。所謂“悟點(diǎn)”,是指教學(xué)過程中最能使學(xué)生領(lǐng)悟師者欲授其道之“道”的關(guān)鍵所在,是學(xué)生融入課堂、感悟知識(shí)本真的觸點(diǎn),是教師啟發(fā)點(diǎn)撥之指點(diǎn)。教學(xué)需要智慧,師者要做的就是深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”,找到“悟徑”,進(jìn)行個(gè)性化的智性設(shè)計(jì),抓住教學(xué)時(shí)機(jī),啟迪學(xué)生智慧,構(gòu)建智性課堂,以達(dá)到知識(shí)與智慧共生,能力與思想同步的美好境界。

    下面略舉幾例,以期拋磚引玉。

    一、歷史中悟“源”,活水涓涓

    我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊曾說過:“假如你對一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展,對一個(gè)概念的來龍去脈,對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等許多因素都弄清楚了,我想對數(shù)學(xué)就會(huì)了解得多,對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、更深刻,還會(huì)對數(shù)學(xué)的未來起一定的指導(dǎo)作用?!?/p>

    如在勾股定理的欣賞教學(xué)中,在引導(dǎo)學(xué)生從歷史、人文等角度對勾股定理進(jìn)行欣賞后,可再從研究的角度對學(xué)生的心靈進(jìn)行撞擊。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載,我國早在11世紀(jì)就已知道邊長為3、4、5的三角形是直角三角形,3、4、5也稱為勾股數(shù)組,這時(shí)可問學(xué)生還有哪些勾股數(shù)組呢?引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到其實(shí)就是尋找不定方程x2+y2=z2的正整數(shù)解。(當(dāng)然解決過程并不容易,激發(fā)出學(xué)生的問題意識(shí)即可)《九章算術(shù)》中曾提到5、12、13,6、8、10,8、15、17,7、24、25,20、21、29等都是勾股數(shù)組。對于勾股數(shù)組的研究,自然會(huì)引起這樣的一個(gè)問題:當(dāng)正整數(shù)指數(shù)n>2時(shí),有沒有正整數(shù)x、y、z滿足方程xn+yn=zn?(這個(gè)問題若能引導(dǎo)學(xué)生提出,那簡直太精彩了!)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬認(rèn)為沒有,這就是著名的“費(fèi)馬大定理”。費(fèi)馬曾在丟番都的著作《算術(shù)》拉丁文譯本的空白處提出這個(gè)問題,可惜地方太小,未能寫下他美妙的證明。在此后的三百多年間,無數(shù)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者想要給出證明,但都不夠完美。法國科學(xué)院和德國哥廷根皇家科學(xué)會(huì)幾次重金懸賞向全世界征集答案,期限100年。這極大地刺激了人們解決費(fèi)馬問題的決心。為了攻克這一難題,數(shù)以萬計(jì)的學(xué)者引進(jìn)新概念、新方法、新理論,大大擴(kuò)寬了數(shù)學(xué)領(lǐng)域,加速了數(shù)學(xué)的發(fā)展。傳說希爾伯特知道解決問題的辦法,但他不肯宣布,有人問他為什么不公布答案以贏取豐厚的獎(jiǎng)金,他說:“干嘛要?dú)⑺酪恢粫?huì)下金蛋的鵝呢?”1995年5月,英國數(shù)學(xué)家懷爾斯在權(quán)威刊物《數(shù)學(xué)年刊》上以整期的篇幅發(fā)表了證明,被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一。

    通過歷史故事學(xué)生可以體悟到,播下一個(gè)問題,就會(huì)長成一片知識(shí)森林。回望歷史源頭,科學(xué)之泉長流不息。

    二、概念中悟“本”,根深葉茂

    正確理解概念是掌握知識(shí)的前提,是解題的關(guān)鍵,是培養(yǎng)學(xué)生思維的必要條件。概念是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映。要正確理解某一概念,就必須抓住概念的本質(zhì),把本質(zhì)屬性向?qū)W生講清楚。讓學(xué)生在本質(zhì)屬性所反映的全體對象這一“悟點(diǎn)”上去悟,切忌死記硬背,胡搬亂套。

    比如在對二倍角公式的分析中,應(yīng)讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“二倍”并不是特指“2α”與“α”這樣的形式,諸如“4α”與“2α”、“α”與“[α2]”等也都是二倍的關(guān)系,同樣適用二倍角公式。再如在《函數(shù)的單調(diào)性》第1課時(shí)的教學(xué)部分,應(yīng)讓學(xué)生緊緊抓住單調(diào)性的形式化定義所蘊(yùn)涵的關(guān)鍵本質(zhì),在概念形成后,拋出問題:①若函數(shù)f(x)滿足f(-2)

    三、解題中悟“識(shí)”,觀念先行

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),題山題海,若不能解決一個(gè)觀念意識(shí)問題,做再多題也枉然。

    所謂解題未動(dòng),觀念先行,就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法、觀念的重要性。清袁枚在《隨園詩話》中指出:“學(xué)如弓弩,才如箭鏃,識(shí)以領(lǐng)之,方能中鵠。”“學(xué)”即知識(shí),“才”即智能,“識(shí)”即觀念,袁枚形象地指出了這三者之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)觀念是什么?是指人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認(rèn)識(shí)。當(dāng)然,這不是一朝一夕所能形成的,需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過一定時(shí)期的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷而慢慢積累。因此教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)高屋建瓴,有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想、方法和觀念,比如簡化意識(shí)、分類意識(shí)、整體意識(shí)、運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)、數(shù)形結(jié)合意識(shí)、化歸意識(shí)、審美意識(shí)等。

    在函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)部分,有這樣一個(gè)典型問題:已知關(guān)于x的不等式[x]>ax+[23]的解集為{x|b

    可以看出,A,B兩點(diǎn)間的部分滿足要求。由題意可知點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo)分別是b和4,可設(shè)點(diǎn)A(4,y1),點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程y=[x],因而點(diǎn)A(4,2),又點(diǎn)A也在直線上,因而坐標(biāo)也滿足方程y=ax+[23],可得a=[13]。再解方程[x]=[13]x+[23]得兩根1和4,因此b=1。

    通過此題,學(xué)生領(lǐng)悟到利用數(shù)學(xué)思想可以使問題化難為易。經(jīng)過一段時(shí)間有意識(shí)的不同思想方法的經(jīng)常性訓(xùn)練,可達(dá)到使學(xué)生從模仿到自覺運(yùn)用的教學(xué)目標(biāo)。

    四、變式中悟“法”,變不離宗

    《中國教育百科全書》說:“變式——掌握概念的方法之一。從各個(gè)不同的角度抓住事物的主要特殊屬性,概括出事物一般屬性的思維方式?!弊兪浇虒W(xué)種類雖多,最常用的還是“非本質(zhì)屬性變式”,即保持問題的本質(zhì)方面不變,只在非本質(zhì)方面做出變化,雖萬變而不離其宗。一線教師使用較多的有“多題一法”,也就是包含不同知識(shí)點(diǎn)的問題使用同一解題方法去解決。這里我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住變式中的“法”去悟,這里的“法”僅指具體的解題方法,而不是一般的數(shù)學(xué)思想方法。

    例如我們可以設(shè)置這樣的題組:

    (1)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),方程x2+(t-1)x+4=0無實(shí)數(shù)根?

    (2)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)f(x)=x2+(t-1)x+4的圖像與x軸沒有交點(diǎn)?

    (3)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),關(guān)于x的不等式x2+(t-1)x+4≤0的解集是空集?

    (4)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),拋物線f(x)=x2+4與直線f(x)=-(t-1)x不相交?

    (5)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+(t-1)x+4不能表示為兩個(gè)一次因式的積?

    一個(gè)問題,如果孤立、靜止地去看它,再好也只解決了一個(gè)問題而已。上面這五個(gè)問題涉及二次方程、二次函數(shù)、二次不等式、解析幾何以及二次三項(xiàng)式的因式分解方面的問題,如果用“判別式”把它們貫穿在一起,作為一個(gè)解題組進(jìn)行教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生去悟,去透過問題表面形式的差異,就可看到它們之間本質(zhì)的聯(lián)系。這樣不僅可以高效利用教材資源,減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān),而且可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1]張念宏.中國教育百科全書[M].北京:海洋出版社,1991.

    [2]單墫.數(shù)學(xué):人的教育不可缺的內(nèi)容[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué),2000(10).

    (責(zé)任編輯:張華偉)

    摘 要:智性是數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn),教師應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”,有針對性地精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容以啟發(fā)學(xué)生思考,激發(fā)學(xué)生求真,潤澤學(xué)生心靈,從而達(dá)到知識(shí)與智慧共生,能力與思想同步提升的美好境界。

    關(guān)鍵詞:智性課堂;數(shù)學(xué)教學(xué);悟點(diǎn)

    所謂“智性”,即人們有意識(shí)地運(yùn)用自身的智慧,客觀、科學(xué)地認(rèn)識(shí)事物、解決問題的一種特性。在眾多學(xué)科中,數(shù)學(xué)在這一點(diǎn)上體現(xiàn)得尤為明顯。所謂“悟點(diǎn)”,是指教學(xué)過程中最能使學(xué)生領(lǐng)悟師者欲授其道之“道”的關(guān)鍵所在,是學(xué)生融入課堂、感悟知識(shí)本真的觸點(diǎn),是教師啟發(fā)點(diǎn)撥之指點(diǎn)。教學(xué)需要智慧,師者要做的就是深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”,找到“悟徑”,進(jìn)行個(gè)性化的智性設(shè)計(jì),抓住教學(xué)時(shí)機(jī),啟迪學(xué)生智慧,構(gòu)建智性課堂,以達(dá)到知識(shí)與智慧共生,能力與思想同步的美好境界。

    下面略舉幾例,以期拋磚引玉。

    一、歷史中悟“源”,活水涓涓

    我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊曾說過:“假如你對一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展,對一個(gè)概念的來龍去脈,對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等許多因素都弄清楚了,我想對數(shù)學(xué)就會(huì)了解得多,對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、更深刻,還會(huì)對數(shù)學(xué)的未來起一定的指導(dǎo)作用?!?/p>

    如在勾股定理的欣賞教學(xué)中,在引導(dǎo)學(xué)生從歷史、人文等角度對勾股定理進(jìn)行欣賞后,可再從研究的角度對學(xué)生的心靈進(jìn)行撞擊。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載,我國早在11世紀(jì)就已知道邊長為3、4、5的三角形是直角三角形,3、4、5也稱為勾股數(shù)組,這時(shí)可問學(xué)生還有哪些勾股數(shù)組呢?引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到其實(shí)就是尋找不定方程x2+y2=z2的正整數(shù)解。(當(dāng)然解決過程并不容易,激發(fā)出學(xué)生的問題意識(shí)即可)《九章算術(shù)》中曾提到5、12、13,6、8、10,8、15、17,7、24、25,20、21、29等都是勾股數(shù)組。對于勾股數(shù)組的研究,自然會(huì)引起這樣的一個(gè)問題:當(dāng)正整數(shù)指數(shù)n>2時(shí),有沒有正整數(shù)x、y、z滿足方程xn+yn=zn?(這個(gè)問題若能引導(dǎo)學(xué)生提出,那簡直太精彩了!)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬認(rèn)為沒有,這就是著名的“費(fèi)馬大定理”。費(fèi)馬曾在丟番都的著作《算術(shù)》拉丁文譯本的空白處提出這個(gè)問題,可惜地方太小,未能寫下他美妙的證明。在此后的三百多年間,無數(shù)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者想要給出證明,但都不夠完美。法國科學(xué)院和德國哥廷根皇家科學(xué)會(huì)幾次重金懸賞向全世界征集答案,期限100年。這極大地刺激了人們解決費(fèi)馬問題的決心。為了攻克這一難題,數(shù)以萬計(jì)的學(xué)者引進(jìn)新概念、新方法、新理論,大大擴(kuò)寬了數(shù)學(xué)領(lǐng)域,加速了數(shù)學(xué)的發(fā)展。傳說希爾伯特知道解決問題的辦法,但他不肯宣布,有人問他為什么不公布答案以贏取豐厚的獎(jiǎng)金,他說:“干嘛要?dú)⑺酪恢粫?huì)下金蛋的鵝呢?”1995年5月,英國數(shù)學(xué)家懷爾斯在權(quán)威刊物《數(shù)學(xué)年刊》上以整期的篇幅發(fā)表了證明,被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一。

    通過歷史故事學(xué)生可以體悟到,播下一個(gè)問題,就會(huì)長成一片知識(shí)森林?;赝麣v史源頭,科學(xué)之泉長流不息。

    二、概念中悟“本”,根深葉茂

    正確理解概念是掌握知識(shí)的前提,是解題的關(guān)鍵,是培養(yǎng)學(xué)生思維的必要條件。概念是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映。要正確理解某一概念,就必須抓住概念的本質(zhì),把本質(zhì)屬性向?qū)W生講清楚。讓學(xué)生在本質(zhì)屬性所反映的全體對象這一“悟點(diǎn)”上去悟,切忌死記硬背,胡搬亂套。

    比如在對二倍角公式的分析中,應(yīng)讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“二倍”并不是特指“2α”與“α”這樣的形式,諸如“4α”與“2α”、“α”與“[α2]”等也都是二倍的關(guān)系,同樣適用二倍角公式。再如在《函數(shù)的單調(diào)性》第1課時(shí)的教學(xué)部分,應(yīng)讓學(xué)生緊緊抓住單調(diào)性的形式化定義所蘊(yùn)涵的關(guān)鍵本質(zhì),在概念形成后,拋出問題:①若函數(shù)f(x)滿足f(-2)

    三、解題中悟“識(shí)”,觀念先行

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),題山題海,若不能解決一個(gè)觀念意識(shí)問題,做再多題也枉然。

    所謂解題未動(dòng),觀念先行,就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法、觀念的重要性。清袁枚在《隨園詩話》中指出:“學(xué)如弓弩,才如箭鏃,識(shí)以領(lǐng)之,方能中鵠?!薄皩W(xué)”即知識(shí),“才”即智能,“識(shí)”即觀念,袁枚形象地指出了這三者之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)觀念是什么?是指人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認(rèn)識(shí)。當(dāng)然,這不是一朝一夕所能形成的,需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過一定時(shí)期的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷而慢慢積累。因此教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)高屋建瓴,有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想、方法和觀念,比如簡化意識(shí)、分類意識(shí)、整體意識(shí)、運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)、數(shù)形結(jié)合意識(shí)、化歸意識(shí)、審美意識(shí)等。

    在函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)部分,有這樣一個(gè)典型問題:已知關(guān)于x的不等式[x]>ax+[23]的解集為{x|b

    可以看出,A,B兩點(diǎn)間的部分滿足要求。由題意可知點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo)分別是b和4,可設(shè)點(diǎn)A(4,y1),點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程y=[x],因而點(diǎn)A(4,2),又點(diǎn)A也在直線上,因而坐標(biāo)也滿足方程y=ax+[23],可得a=[13]。再解方程[x]=[13]x+[23]得兩根1和4,因此b=1。

    通過此題,學(xué)生領(lǐng)悟到利用數(shù)學(xué)思想可以使問題化難為易。經(jīng)過一段時(shí)間有意識(shí)的不同思想方法的經(jīng)常性訓(xùn)練,可達(dá)到使學(xué)生從模仿到自覺運(yùn)用的教學(xué)目標(biāo)。

    四、變式中悟“法”,變不離宗

    《中國教育百科全書》說:“變式——掌握概念的方法之一。從各個(gè)不同的角度抓住事物的主要特殊屬性,概括出事物一般屬性的思維方式?!弊兪浇虒W(xué)種類雖多,最常用的還是“非本質(zhì)屬性變式”,即保持問題的本質(zhì)方面不變,只在非本質(zhì)方面做出變化,雖萬變而不離其宗。一線教師使用較多的有“多題一法”,也就是包含不同知識(shí)點(diǎn)的問題使用同一解題方法去解決。這里我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住變式中的“法”去悟,這里的“法”僅指具體的解題方法,而不是一般的數(shù)學(xué)思想方法。

    例如我們可以設(shè)置這樣的題組:

    (1)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),方程x2+(t-1)x+4=0無實(shí)數(shù)根?

    (2)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)f(x)=x2+(t-1)x+4的圖像與x軸沒有交點(diǎn)?

    (3)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),關(guān)于x的不等式x2+(t-1)x+4≤0的解集是空集?

    (4)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),拋物線f(x)=x2+4與直線f(x)=-(t-1)x不相交?

    (5)當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí),關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+(t-1)x+4不能表示為兩個(gè)一次因式的積?

    一個(gè)問題,如果孤立、靜止地去看它,再好也只解決了一個(gè)問題而已。上面這五個(gè)問題涉及二次方程、二次函數(shù)、二次不等式、解析幾何以及二次三項(xiàng)式的因式分解方面的問題,如果用“判別式”把它們貫穿在一起,作為一個(gè)解題組進(jìn)行教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生去悟,去透過問題表面形式的差異,就可看到它們之間本質(zhì)的聯(lián)系。這樣不僅可以高效利用教材資源,減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān),而且可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1]張念宏.中國教育百科全書[M].北京:海洋出版社,1991.

    [2]單墫.數(shù)學(xué):人的教育不可缺的內(nèi)容[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué),2000(10).

    (責(zé)任編輯:張華偉)

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