化繁為簡淺談求解抽象函數(shù)問題

江西省豐城中學(xué)　張　璐

化繁為簡淺談求解抽象函數(shù)問題

江西省豐城中學(xué)張璐

抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了其他一些條件（如：定義域、經(jīng)過的特殊的點(diǎn)、解析遞推式、部分圖像特征等），它是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是與大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)銜接點(diǎn).

模型化思考抽象函數(shù)數(shù)學(xué)

一、以線性函數(shù)為模型的抽象函數(shù)

體現(xiàn)為對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-b①，一次函數(shù)y=ax+b便是滿足函數(shù)恒等式①的最常見的模型.

例1．已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）.

⑴求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；

⑵如果x>0，f（x）<0，判斷f（x）的單調(diào)性.

分析：一次函數(shù)滿足題設(shè)中抽象函數(shù)的條件，這次模型化思考，無疑為我們指明了努力的方向.

⑴證明：函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，

∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（0）=f（0）+f（0），從而f（0）=0，

∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，

即f（-x）=-f（x），

∴f（x）為奇函數(shù).

⑵解：設(shè)x1，x2∈R，且x1

f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1），

∵x10，∴f（x2-x1）<0，

∴f（x2）

二、以二次函數(shù)為模型的抽象函數(shù)

二次函數(shù)在形上的對(duì)稱性所產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系的恒等式：f（a-x）=f（a+x）②，是這類命題的基礎(chǔ).而②式也恰好反映了抽象函數(shù)關(guān)于x=a對(duì)稱.

例2． 已知函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為減函數(shù)，且 f（1-x）=f（3+x），試解關(guān)于x的不等式：f（2x-1）

分析：恒等式②表明了函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，此時(shí)，不必借助于滿足條件的一個(gè)具體函數(shù)y=（x-2）2，也能發(fā)現(xiàn)f（x）在（-∞，2]上為增函數(shù).

解：∵ f（1-x）=f（3+x），

∴f（2+x）=f（2-x），

即y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

∵函數(shù)f（x）在[2，+∞)上為減函數(shù)，

∴函數(shù)f（x）在(-∞，2]上為增函數(shù).

平方得3x2-14x+8>0，

三、以指數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)

體現(xiàn)為對(duì)x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+ y）③，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知y=ax（a>0，a≠1）是滿足恒等式③的重要函數(shù)之一.

例3.設(shè)f（x）是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意x，y∈R，都有f（x）f（y） =f（x+y）成立，若，an=f（n）（n為正整數(shù)），則求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的范圍.

解：∵x，y∈R，都有（fx）（fy）=（fx+y）且（fx）恒不為零，可知（fx）=ax，

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列