小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)用幾何直觀教學(xué)策略探究

陳炳建

（閩侯縣青口學(xué)區(qū)，福建 閩侯 350119）

小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)用幾何直觀教學(xué)策略探究

陳炳建

（閩侯縣青口學(xué)區(qū)，福建 閩侯 350119）

文章試圖通過正確認(rèn)識(shí)幾何直觀的內(nèi)涵與功能，提出借助幾何直觀理解“數(shù)”的概念、分析數(shù)量關(guān)系、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、解決實(shí)際問題等四方面策略來闡述如何科學(xué)運(yùn)用幾何直觀。

小學(xué)數(shù)學(xué)；幾何直觀；數(shù)形結(jié)合；意義；策略

小學(xué)階段的幾何直觀是兒童大腦對(duì)客觀事物的直觀感知引發(fā)想象的心理活動(dòng)過程。主要借助熟悉的幾何圖形本質(zhì)特征來理解數(shù)與數(shù)量關(guān)系，其實(shí)也就是借助圖形說“事”。幾何直觀貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著聯(lián)系知識(shí)脈絡(luò)、理解數(shù)量關(guān)系、提供解答方法、推動(dòng)數(shù)學(xué)思考的作用。通過幾何直觀可加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。然而，盡管“幾何直觀”的優(yōu)越性與重要性已被廣大一線教師所接受，但在具體操作中卻存在諸多偏差。主要表現(xiàn)在：一是理解泛化。將所有直觀教學(xué)全歸結(jié)為幾何直觀，沒有真正理解幾何直觀的本真內(nèi)涵。即只重“直觀”，輕視“幾何”。二是操作表面化。認(rèn)為圖形越直觀越好，而在關(guān)鍵問題上沒有利用圖形幫助學(xué)生對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行抽象。即只是直觀，忘了抽象。三是功能片面化。教學(xué)中目標(biāo)只停留在片面解讀教材中幾何直觀圖，單純利用圖形描述問題，忽略了圖形分析解決問題的功能。即只為解讀，忽視分析。為此，隨著課程改革向理性化推進(jìn)，筆者試圖從培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)出發(fā)，辨析幾何直觀及其相關(guān)概念，反思應(yīng)用幾何直觀教學(xué)的實(shí)踐體會(huì)，挖掘幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價(jià)值，以期拋磚引玉。

一、厘清幾何直觀概念本質(zhì)，正確認(rèn)識(shí)幾何直觀數(shù)學(xué)意義

數(shù)學(xué)家認(rèn)為直觀是對(duì)概念、證明的直接把握為起點(diǎn)；哲學(xué)家認(rèn)為直觀是關(guān)注事物本質(zhì)為起點(diǎn)，心理學(xué)家認(rèn)為直觀是從關(guān)注感覺為起點(diǎn)。小學(xué)階段的直觀是指通過學(xué)生對(duì)客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)，即學(xué)生在生活實(shí)踐中對(duì)客觀事物的直接的、生動(dòng)的、具體的反映。如對(duì)顏色的辨認(rèn)，對(duì)聲音的判斷、對(duì)圖形的感知、對(duì)文字的描繪等可以直接刺激感官誘發(fā)思維的東西都可以構(gòu)成直觀。直觀具有多樣性，相同的事物可以用不同的方法記錄、表示與刻畫。直觀具有相對(duì)性，有不同的層面的表現(xiàn)。當(dāng)以語言解釋一個(gè)詞有困難時(shí)，我們用具體的動(dòng)作演示讓人更易理解；當(dāng)描摹眼前的景色有困難時(shí)我們用拍照片方式讓人直接感知；抽象的道理難以領(lǐng)悟，我們通過講故事讓人明白；復(fù)雜的邏輯關(guān)系難以梳理，我們畫了一個(gè)關(guān)系圖便一目了然；復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系難以一眼看出，我們通過圖形來表征；所有這些都是直觀。由此看來并非所有的直觀都可冠以“幾何直觀”帽子。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！保?］

這段話涵蓋三層意思，第一層意思是對(duì)幾何直觀的主要表現(xiàn)形式作了精要說明；第二層意思概述幾何直觀的優(yōu)勢；第三層意思進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)幾何直觀的功能和作用。與其他核心詞類似，回避了幾何直觀的明確界定?？梢哉f，這段話是目前理解幾何直觀的最重要依據(jù)。

課標(biāo)的闡述對(duì)幾何直觀的理解覆蓋了三個(gè)層面。其一對(duì)幾何直觀的兩種表現(xiàn)作出了精煉的概述，幾何直觀的描述和分析的過程就是凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程。其二對(duì)幾何直觀的學(xué)習(xí)策咯也作出了解釋，它通過主要的線索將數(shù)學(xué)問題中內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系、邏輯關(guān)系清晰的展示出來，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中感受深入淺出的境界。其三對(duì)幾何直觀的功能和作用作出了進(jìn)一步的強(qiáng)調(diào)，幾何直觀是目前數(shù)學(xué)思考的重要拐杖更是后續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)展的必備素養(yǎng)，它是一種思維習(xí)慣更是享用一生的智慧財(cái)富。通過認(rèn)真研讀課標(biāo)內(nèi)涵，領(lǐng)悟課標(biāo)精神實(shí)質(zhì)，筆者對(duì)幾何直觀的現(xiàn)實(shí)意義有了更加具體的認(rèn)識(shí)。［2］

首先，小學(xué)階段的幾何直觀不僅是學(xué)習(xí)的工具更是素養(yǎng)的培養(yǎng)。作為學(xué)習(xí)工具主要體現(xiàn)在利用圖形幫助理解關(guān)系，幫助分析解決問題；作為素養(yǎng)培養(yǎng)就是通過工具的使用培養(yǎng)能力、品質(zhì)與習(xí)慣。與“圖形與幾何”中發(fā)展“空間觀念”截然不同。再則，雖然直觀緣于直接觀感，但直接未必就是直觀，它受到兒童的思維經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平高低的制約。由于小學(xué)階段學(xué)生思維的形象性特點(diǎn)與數(shù)學(xué)學(xué)科思維的抽象性特點(diǎn)是學(xué)習(xí)的一大矛盾，幾何直觀教學(xué)十分必要。此外，幾何直觀是一個(gè)長期、動(dòng)態(tài)的變化過程。它經(jīng)歷了整個(gè)學(xué)習(xí)的過程，不同階段所收獲的幾何直觀能力是不同的。從2011版課標(biāo)對(duì)幾何直觀的定位呈現(xiàn)出漸進(jìn)的軌跡來看，第一階段初步感知空間觀念模型；第二階段建立空間觀念，感受空間模型的作用；第三階段發(fā)展空間觀念，應(yīng)用空間模型解決問題。基于以上觀點(diǎn)，針對(duì)當(dāng)前教學(xué)現(xiàn)狀，筆者開展了一系列探索性實(shí)踐，旨在尋求有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的途徑。

二、優(yōu)化幾何直觀應(yīng)用策略，有效提升幾何直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng)

（一）借助幾何直觀理解“數(shù)”的概念

“數(shù)”的概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，而“數(shù)”本身抽象枯燥的特點(diǎn)影響了學(xué)習(xí)效果，借助幾何直觀可以讓“數(shù)”變得形象、趣味。在小學(xué)階段“數(shù)的認(rèn)識(shí)”主要是“數(shù)”借助于“形”幫助理解，也就是數(shù)形結(jié)合。合理用好數(shù)形結(jié)合的幾何直觀教學(xué)策略不僅可以幫助我們更好了解兩者之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，更能夠簡潔完成“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)化，便于促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解、數(shù)學(xué)問題的解決。數(shù)形結(jié)合作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的思想方法，課標(biāo)針在不同的學(xué)段提出了不同的目標(biāo)要求。

第一學(xué)段幾何直觀主要任務(wù)是初步感知空間觀念的模型，夯實(shí)幾何直觀基礎(chǔ)。“數(shù)”的認(rèn)識(shí)教學(xué)，必須創(chuàng)設(shè)多個(gè)具體情境讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)物表征——圖形表征——符號(hào)表征的過程。通過擺小棒、圓片，畫圖形、數(shù)線，撥計(jì)數(shù)器等活動(dòng)幫助學(xué)生從具體的實(shí)物過渡到抽象的數(shù)字。在動(dòng)手操作中建立起與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，衍生到會(huì)看圖理解數(shù)量的多少進(jìn)而發(fā)展到會(huì)用數(shù)表示數(shù)量的大小。

第二學(xué)段幾何直觀主要任務(wù)發(fā)展為初步形成空間觀念，感受幾何直觀的作用。這個(gè)階段數(shù)線隨著知識(shí)的積累和發(fā)展逐漸演變就成了數(shù)軸。在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候就借助了數(shù)軸來理解分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位、以及這些分?jǐn)?shù)單位的變化情況。0刻度到1刻度可以表示“單位1”，在這“單位1”內(nèi)平均分后兩個(gè)刻度之間的量可以用分?jǐn)?shù)來表示，軸上每一個(gè)刻度都可以表示一個(gè)分?jǐn)?shù)單位。在認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)時(shí)候也借助了數(shù)軸來理解正負(fù)數(shù)的內(nèi)涵，直觀了解正負(fù)數(shù)的變化規(guī)律。

案例中借助鮮明的“形”去理解凝練的“數(shù)”，“數(shù)”原始概念在“形”的幫助下顯得清晰、明了。通過圖和線段理解“數(shù)”有效體現(xiàn)了幾何直觀的作用。

（二）借助幾何直觀理解數(shù)量關(guān)系

學(xué)生通過幾何直觀啟迪思路，將思維集中在借助圖形表達(dá)思路，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題形象化，從中可以明晰數(shù)量關(guān)系。

1.借助操作，感知數(shù)量關(guān)系

要讓學(xué)生真正領(lǐng)悟幾何直觀的意義與操作方法，就必須鼓勵(lì)學(xué)生充分參與活動(dòng)，教師協(xié)助培養(yǎng)他們經(jīng)歷從擺一擺發(fā)展到畫一畫解決的過程。數(shù)學(xué)具體的操作活動(dòng)和背后的數(shù)學(xué)知識(shí)密切聯(lián)系在一起，這個(gè)過程教學(xué)組織者要重在引導(dǎo)學(xué)生將自己對(duì)問題的理解通過幾何直觀展示出來，敢于將對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解用語言表述出來。因此，要善于把握和利用好操作活動(dòng)，借助活動(dòng)充分感知，借助活動(dòng)提煉本質(zhì)，借助活動(dòng)推進(jìn)思維。

如教學(xué)“三角形的兩邊之和大于第三邊”：

A、取出3、4、5、7厘米長的任意3根小棒看看能擺出哪些三角形，請(qǐng)動(dòng)手?jǐn)[一擺（獨(dú)立探究，動(dòng)手感知）。

B、匯報(bào)驗(yàn)證，并將能擺出和不能擺出三角形的三條邊數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。

C、小組討論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（三角形的兩邊之和大于第三邊）。

資源給出的是抽象的“數(shù)”，教師則將“數(shù)”轉(zhuǎn)化成線段讓學(xué)生去擺，就是這樣的直觀操作活動(dòng)引發(fā)了學(xué)生的思考：原來認(rèn)識(shí)的三角形每條邊都是可測量的，而今天這些可測量的線段卻不能完全可以拼成三角形究竟問題出在哪呢？這個(gè)質(zhì)疑的過程就是新舊知識(shí)的矛盾沖突。借助矛盾引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類觀察，質(zhì)疑討論從而發(fā)現(xiàn)了三角形兩邊之和必須要大于第三邊。在動(dòng)手操作中 學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題嘗試著解決問題，就是這樣的直觀操作啟迪了學(xué)生的思維，拓寬了學(xué)生的思路，不僅找到了規(guī)律更是理解了規(guī)律的內(nèi)涵。

（三）借助幾何直觀尋找發(fā)現(xiàn)規(guī)律

運(yùn)用幾何直觀尋求規(guī)律是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。其基本流程是：將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境運(yùn)用幾何直觀使之簡單，通過幾何圖形將情境表達(dá)出來，借助幾何直觀進(jìn)行分析思考，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律模型。應(yīng)用幾何直觀尋找規(guī)律策略，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系由繁瑣的敘述向簡潔的表達(dá)完美過渡，紛亂的思緒向規(guī)律地思考邁進(jìn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)簡約一規(guī)律的魅力。

例如新世紀(jì)版三上“搭配中的學(xué)問”

【數(shù)學(xué)活動(dòng)1】

用A或B分別表示上裝，用①、②、③表示3件下裝，寫出所有答案。

怎樣搭配才能做到不重不漏？（先用A來搭配下裝，有3種方法；再用B來搭配下裝，也有3種方法，所以共有6種不同的搭配方法）

小結(jié)：分類，能確保搭配不重不漏。

【數(shù)學(xué)活動(dòng)2】從學(xué)校經(jīng)過少年宮到動(dòng)物園，一共有幾路可以走。

（畫交叉對(duì)應(yīng)的圖表示從學(xué)校到動(dòng)物園的所有路線）

1.展示學(xué)生作品。

2.反思：通過上述兩個(gè)生活中的搭配活動(dòng)，你能概括 一下什么是搭配嗎？（從兩種不同的事物中各取出一個(gè)構(gòu)成所需事物的方法。）

3.小結(jié)感悟：搭配的本質(zhì)是兩種事物之間的交叉對(duì)應(yīng)。

交叉對(duì)應(yīng)可以轉(zhuǎn)換成矩形模式，說明搭配也是乘法的一種現(xiàn)實(shí)背景。這一依賴于直觀圖示的解釋，不失為一種個(gè)性化的數(shù)學(xué)形式建構(gòu)。

（四）借助幾何直觀解決實(shí)際問題

借助幾何直觀教學(xué)，發(fā)揮符號(hào)與圖形的互補(bǔ)優(yōu)勢，為學(xué)生理解提供適當(dāng)?shù)摹澳_手架”，使之經(jīng)歷幾何圖形、數(shù)學(xué)語言、符號(hào)表征的合情轉(zhuǎn)化，這是解決實(shí)際問題的重要手段。具體做法是選用示意圖、線段圖、平面圖、、集合圖等幫助學(xué)生弄清題意，分析問題，找到解題的方法。

如分?jǐn)?shù)應(yīng)用題：畜牧場共飼養(yǎng)牛羊260頭，如果羊賣去 ，牛賣去20頭，牛羊所剩的頭數(shù)量一樣多，畜牧場飼養(yǎng)羊多少只？

此題如果在“純數(shù)學(xué)”領(lǐng)域里分析數(shù)量關(guān)系十分抽象，解決此類問題學(xué)生往往無從下手。然而，一旦引入線段圖直觀理清其題意，問題便迎刃而解。不但數(shù)量關(guān)系一目了然，還可避開分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常規(guī)解法，創(chuàng)新解題思路。

8小段=260-20=240

又如常見的容斥問題：五年二班上學(xué)期期未考試，語文有35人成績優(yōu)秀，數(shù)學(xué)有26人成績優(yōu)秀，有9人語數(shù)兩科均得成績優(yōu)秀。五年二班共有多少個(gè)同學(xué)？

從圖上可以很直觀的看出9人是重復(fù)了的部分，那么全班的人數(shù)就是35+26-9=42（人）。如果沒用韋恩圖直觀表示數(shù)量關(guān)系，很難理順解題頭緒。

由此看來，借助幾何直觀辨析數(shù)學(xué)概念、分析數(shù)量關(guān)系、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題具有不可替代的重要作用。幾何直觀的作用不僅是讓兒童確信數(shù)學(xué)事實(shí)，還能啟迪兒童獲得自己的意義建構(gòu)，從而促進(jìn)理解。加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)，一要加強(qiáng)空間觀念的建立，夯實(shí)幾何直觀的基礎(chǔ)。二要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用。在研究問題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合考慮，把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，或把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。三要正確處理直觀感知、直觀理解與直觀洞察三者之間的關(guān)系?！爸庇^感知”是建立空間觀念的基礎(chǔ)；“直觀洞察”是空間觀念的發(fā)展與升華。兩者相輔相成，互為因果。而“直觀理解”是架設(shè)“直觀感知”通往“直觀洞察”的橋梁。［3］

總之，幾何直觀作為解決問題策略的工具它可以直觀呈現(xiàn)問題的本質(zhì)，有助于對(duì)數(shù)量關(guān)系的解讀，有助于對(duì)數(shù)學(xué)問題的分析解決；作為素養(yǎng)的提升它能促進(jìn)在應(yīng)用的過程中領(lǐng)悟思想，發(fā)現(xiàn)方法，使之成為核心發(fā)展的能力素養(yǎng)。數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)形本是相依偎，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。”用圖形說話，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)中一方面應(yīng)該充分發(fā)揮幾何直觀的價(jià)值，挖掘教材各領(lǐng)域的資源，優(yōu)化幾何直觀教學(xué)行為，將不同階段不同層次達(dá)成幾何直觀教學(xué)目標(biāo)貫穿于學(xué)習(xí)過程中。另一方面要從小培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，幫助學(xué)生直觀的理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，解決更多的數(shù)學(xué)問題，在實(shí)踐中逐步建立應(yīng)用幾何直觀的自覺意識(shí)，積累幾何直觀的操作經(jīng)驗(yàn)，成為一生受用的學(xué)習(xí)方法。

［1］教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社.2012.

［2］曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之四覽——幾何直觀（上）［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2013（10）.

［3］汪國祥．充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的支架作用”［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2012（3）.

G623.5

A

1673-9884（2016）08-0046-04

2016-06-20

福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度一般課題（FJJK20130102122）

陳炳建（1962-），男，福建閩侯人，閩侯縣青口學(xué)區(qū)高級(jí)教師，特級(jí)教師。