高中數(shù)學專題復(fù)習課的教學探討——以高中數(shù)列求和的常用方法復(fù)習教學為例

熊厚堅

（三明市第二中學，福建 三明 365000）

高中數(shù)學專題復(fù)習課的教學探討——以高中數(shù)列求和的常用方法復(fù)習教學為例

熊厚堅

（三明市第二中學，福建 三明 365000）

數(shù)學復(fù)習課的教學是學生數(shù)學學習能力提升過程中至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié)，是扎實數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能的重要途徑。文章結(jié)合教學過程中對復(fù)習教學的認識和實踐作初步的探討。

數(shù)學復(fù)習；教學情境；問題引領(lǐng)；精例題選；時歸納

數(shù)學專題復(fù)習課的教學是高中數(shù)學中至關(guān)重要的一項內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識和基本技能教學的核心?；仡欁约哼@十幾年的教學歷程，教學風格基本上是充分利用課堂40分鐘，高密度、大容量、快節(jié)奏的教學方式。隨著生源質(zhì)量的不斷變化，感覺到原有的傳統(tǒng)教學風格已不能再適應(yīng)新的考試改革，特別是2016年高考福建省重新回歸使用全國卷，在試題難度與試題命制的風格上有較大不同，學生的考試成績與期望值相差甚遠。一直以來復(fù)習課上，教師都采用對復(fù)習內(nèi)容進行知識羅列、講解例題、練習鞏固、課堂小結(jié)的模式，雖然看起來好像也有啟發(fā)、引導(dǎo)，但實質(zhì)上還是教師講、學生聽、記筆記的被動式教學方法，缺少學生主動探究、主動參與的過程體驗。因此，引發(fā)筆者思考的是，要去學習，要去改變教學策略，改進方法，要讓學生從單向接受性、被動性的學習模式轉(zhuǎn)化為自主性、主動性的學習模式。真正感受到課堂上的師生互動,生生互動交流分享的和諧氛圍。經(jīng)過教學實踐嘗試，筆者認為，應(yīng)從以下四個方面著手，激發(fā)學生主動地參與復(fù)習意識，提高不同層次學生的學習效率。

一、巧設(shè)課堂教學情境，點燃學生興趣

過去總認為不是新授課，教學情境可有可無。其實，復(fù)習課中課堂情境非常重要，每堂課都是一開始就知識的梳理，學生非常厭煩，沒有興趣，學習的效率也就可想而知了。因此設(shè)計合理情境，串起課堂的主線，保證教學的新穎性、有效性，能讓學生自然深入地進行學習狀態(tài)。筆者所任教的兩個班，一個班采用直接進入復(fù)習主題，另一個班采用設(shè)置教學情境導(dǎo)入主題，明顯感覺到學生學習的熱情完全不一樣。筆者在上《數(shù)列求和》這節(jié)復(fù)習課時，從溫習兩個小故事開始：

故事1：數(shù)學家高斯十歲時，僅用幾秒鐘算出從1一直加到100。

故事2：國王要重賞國際象棋發(fā)明者西塔，西塔只要在他的棋盤上賞一些麥子就行了，在棋盤的第1個格子里放1粒，在第2個格子里放2粒，在第3個格子里放4粒，在第4個格子里放8粒，依此類推。

兩個故事體現(xiàn)的數(shù)學知識，那就是數(shù)列的前n項和，今天這節(jié)課我們就一起來系統(tǒng)地復(fù)習數(shù)列求和。首先一起回顧哪些數(shù)列的前n項和公式我們是已經(jīng)知道的：（全體學生一起回答）

（等學生回答完后，展示課件內(nèi)容），還有呢？

2.等比數(shù)列前n項和公式：（提問學生，師生一起回答，媒體展示）

教師加以強調(diào)：這個公式提醒學生當公比q是參變量時，特別要對q的值進行討論，分q等于1和不等于1。

在課堂中施以教學情境，讓學生對知識感到新鮮，從而產(chǎn)生強烈的學習探索欲望。但是情境的創(chuàng)設(shè)也應(yīng)根據(jù)情況具體問題具體分析，并不是處處都需要，有時過多引入現(xiàn)實情境反而會使教學內(nèi)容產(chǎn)生邏輯混亂。在創(chuàng)設(shè)情境的選擇上，以能否承載數(shù)學知識與教學內(nèi)容緊密相聯(lián)作為標準，否則將導(dǎo)致舍本逐末、畫蛇添足。

二、用問題串起知識主線，引領(lǐng)學生完善理解

一節(jié)內(nèi)容開始復(fù)習時，總要對知識要點進行梳理，它好像是一部戲的開場鑼鼓。以前總是教師一個人來敲打，效果大打折扣?，F(xiàn)在嘗試讓學生大家一起合奏，把知識要點設(shè)計成問題串，層層遞進，串起整節(jié)課的知識主線，從而讓學生完善理解。筆者在《數(shù)列求和》這節(jié)復(fù)習課中通過設(shè)置下面的問題串來幫助理清知識脈絡(luò)。

思考1：等差數(shù)列的前n項公式是如何推導(dǎo)？

提問學生，根據(jù)學生回答情況糾正，引出這是一種常見的求和法，這種方法稱之為倒序相加法，再一起看例1

例1:求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°

引導(dǎo)學生觀察這個問題，思考如何解決？首先從正弦的角度數(shù)變化規(guī)律看是從1°到89°而不是1°到88°或1°到90°，這1°和89°有何關(guān)系？2°和88°呢？……兩個角互為余角，大家自然聯(lián)想到誘導(dǎo)公式你又會得到什么結(jié)論？（板書，α+β=90°，則sinα=cosβ）題目又是以平方和的形式呈現(xiàn)給我們，同角的正弦與余弦又存在什么關(guān)系？這樣對本題應(yīng)如何下手？

提問學生，根據(jù)學生回答情況糾正，讓學生發(fā)現(xiàn)這個問題可采用倒序相加法。展示課件解答過程。

同學們發(fā)現(xiàn)頭尾有規(guī)律，利用了組合數(shù)公式，對采用倒序相加法求和創(chuàng)造了極好的條件，于是，又有如下的解法。（展示課件解答過程）

思考2：等比數(shù)列的前n項和公式是如何推導(dǎo)？

提問學生：學生邊講邊引導(dǎo)，并展示課件中推導(dǎo)過程。這種方法稱為錯位相減法，可以解決一類求和問題。

例2：求Sn=a+3a2+5a3+…+（2n+1）an（a≠0）

請學生齊聲回答，這個問題用什么方法解決？提示學生并分析剛才推導(dǎo)過程中數(shù)列的特征，數(shù)列的每一項可以視為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積，可用錯項相消法。師生一起回顧書寫過程。

這時應(yīng)該如何操作？（在上式兩邊乘上1/2后錯位相減）

但，若把上式中的×改為+，則問題變?yōu)?/p>

此時，還能實施錯項相消法嗎？于是，通過觀察結(jié)合已學的等差與等比數(shù)列的特征進行分析，可將此數(shù)列分組，一組用等差數(shù)列求和法，一組用等比數(shù)列求和法，即：分組求和法來達到問題解決目的。

1.分組求和法

同學們觀察上面這個數(shù)列有什么特征？如何來求？提問學生：學生邊回答老師邊補充完整。師生總結(jié)發(fā)現(xiàn)Sn是一個等差數(shù)列交替間隔一個等比數(shù)列求和的形式，本質(zhì)是數(shù)列的前n項和，顯然我們只要通過加法交換律對此數(shù)列各項進行重組這個和式，轉(zhuǎn)化成了大家熟悉的等差、等比數(shù)列的求和。這種求和的方法我們稱之為分組求和法。

2.并項求和法

請同學們看例4

引導(dǎo)學生相鄰兩項組合發(fā)現(xiàn)有規(guī)律，可以用平方差公式，接著板書，整理后發(fā)現(xiàn)，原式會等于－（1+2+ 3+…+100），這正是我們熟悉的求和，結(jié)果等于－5050.在這個問題當中，通過合并相鄰的兩項，轉(zhuǎn)化為熟悉的結(jié)構(gòu)，達到了求和的目的。

3.裂項相消法

數(shù)學就是那樣的微妙，大家應(yīng)該還記得，如果一個數(shù)列，我們?nèi)绻軐⑺譃檎搩身?，在求和中與上面一樣，同樣出現(xiàn)正負交替，但它們卻會在求和中相互抵消，最終剩下有限幾項，這種求和方法我們又可稱為什么？裂項相消法。一起看例5

例5:（1）在數(shù)列｛an｝中，，，求數(shù)列｛bn｝的前n項的和.

第2小題，請一位同學到黑板上板書。學生做完后，講評。首先看裂項，提醒學生前面還要乘以，因為括號里通分后與原式比多乘了2，接著提醒到底哪些項可以消去，提示還有一種寫法

前后各有兩項不能消去

注意:使用裂項相消時，應(yīng)注意消去了哪些項，保留了哪些項，保留的項具有前后對稱的特點。

通過以上一系列環(huán)環(huán)相扣的問題的思考，將數(shù)列求和常見的五種方法扎實的聯(lián)系起來，并有序地延展下去，讓知識不斷地深化發(fā)展。

三、用合適例題鞏固知識，引導(dǎo)學生積極思考

合適的例題能為學生分析問題、解決問題提供原型和模式，促進學習遷移。所以，筆者在本節(jié)課的設(shè)計中，每一個問題都設(shè)置對應(yīng)例題加以鞏固，這在復(fù)習中往往具有特殊效果，在第二大點中，筆者已經(jīng)對例題的設(shè)置進行了闡述，這里不再列舉。例題不能僅僅是追求解答結(jié)果，更重要的是通過題目促進學生掌握一類問題、一類方法。所以，題目類型要精選，要覆蓋復(fù)習的所有內(nèi)容，綜合性要比較強，還要注意題型的變式、遷移。這樣能使學生學得更加主動，理解更加深刻，靈活性與創(chuàng)造性得到有效的培養(yǎng)。

四、用簡短語句歸納小結(jié)，拓展學生知識視野

在每個例題解答之后，教師與學生一起回顧復(fù)習過程，總結(jié)問題解決過程運用的數(shù)學思想方法、基本策略，切實提高學生的數(shù)學思維能力。本節(jié)課中，筆者對每個方法后面都進行適時的小結(jié)與歸納，如：倒序相加法的特點是數(shù)列中首末兩端的項為等 “距離”的兩項，求和時可把求和式中各項從第1項至最后一項順寫與各項從最后1項至第1項用倒寫的兩個式子相加，就得到一個常數(shù)列的和的2倍，或者構(gòu)建出常項的因式，這類求這個數(shù)列的前n項和問題可用倒序相加法，它是等差數(shù)列的前n項和求法標志性特征。

總之，課堂教學研究沒有止境，在課堂上要充分以學生為主,關(guān)注如何調(diào)動學生的積極性,給學生參與課堂營造氛圍；給學生自主探究時間與空間；給學生相互交流、展示、用數(shù)學語言表達數(shù)學問題解決方法、規(guī)律,通過師生交流合作，讓學生能輕松愉快地進入學習、思考狀態(tài)，更好地掌握數(shù)學知識，不斷提高數(shù)學素養(yǎng)。

［1］李明照.“問題探究式”教學在高中數(shù)學課堂的實踐與思考［J］.數(shù)學教學研究，2005（8）.

［2］袁竟成.一堂關(guān)于直線和圓的建構(gòu)式習題課［J］.數(shù)學教學，2004（3）.

［3］伊海.數(shù)學教學與生活相結(jié)合的嘗試和感受［J］.福建基礎(chǔ)教育研究，2013（2）.

G633.6

A

1673-9884（2016）08-0041-03

2016-07-17

熊厚堅（1983-），男，福建寧化人，三明市第二中學一級教師。