由博返約，追求簡潔
——一堂“一題一課”復習課的思考

☉浙江省樂清市大荊鎮(zhèn)第一中學 俞衛(wèi)勝

由博返約，追求簡潔
——一堂“一題一課”復習課的思考

☉浙江省樂清市大荊鎮(zhèn)第一中學 俞衛(wèi)勝

隨著新課程的進一步深入，教師的教學理念、教學方式發(fā)生了很大的變化，課堂也從改革初始的嘗試變得日益成熟，特別是復習課教學，從追求課堂的大容量教學轉(zhuǎn)向簡約，復習模型從“題海戰(zhàn)術”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙活}一課”.近幾年，樂清市教研室組織的優(yōu)質(zhì)課，在團體賽題評比中，特別是數(shù)學學科，浙江省特級教師吳立建老師特別提倡“一題一課”的復習課教學模式.2015年11月，我校3名教師參加了這次團體賽題評比，課題是“2015年溫州中考第8題”，就此題進行“一題一課”復習課教學.我全程參與了設計和磨課，現(xiàn)從“原題呈現(xiàn)，激發(fā)學生的學習興趣；自主編題，完善學生的思維方式；關注學情，促成課堂的動態(tài)生成；拓展訓練，提升學生的思維品質(zhì)；重視提煉，滲透數(shù)學的思想方法”這五方面整理成文，與同行一起交流.

一、原題呈現(xiàn)，激發(fā)學生的學習興趣

問題是思維的起點，問題能激活學生潛在的學習需求.課伊始，創(chuàng)設一個簡單、開放的問題情境，從多角度、多渠道思考問題，能滿足不同層次學生的需要.有一道中考第8題選擇題，難度不是很大，但靈活性比較強，解題策略多樣化.直接呈現(xiàn)題目，能很好地調(diào)動學生的學習積極性，為本節(jié)課進一步深入探究此題奠定了良好的基礎.

比如：出示原題. 8.（2015·溫州）如圖1，點A的坐標是（2，0），△ABO是等邊三角形，點B在第一象限.若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點B，則k的值是（）.

圖1

（生看題2分鐘后）

生1：由A（2，0），得OA=2.由△ABO是等邊三角形，得∠BOA=60°，過點B作BC⊥OA交OA于點C.因為△ABO是等邊三角形，所以BC平分OA，OC=1.根據(jù)勾股定理，得，所以點B的坐標為（1代入

師（欣賞的眼神）：你不但會做，而且說得這么好！再來看看，他在做的時候經(jīng)歷了哪些過程，用到了哪些知識和方法？

師：還有不同做法嗎？

生2（漲紅了臉）：我用三角函數(shù)可以嗎？

師（充滿期待的眼神）：你說說看.

生2：由已知得OB=2，∠BOA=60°，利用解直角三角形便可知點B怎么來的？

生（眾）：1由等腰三角形三線合一得到.即可求出k.

師：剛才兩位同學用不同方法求出線段OC、BC的長度，求點的坐標要注意符號，由點的坐標得到k的值，用到了什么方法？

生（齊答）：待定系數(shù)法.

生3（膽怯地嘀咕著）：已知△ABO是等邊三角形，且邊長為2，便可知道這樣可以嗎？

這個環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設一個輕松、和諧的氛圍，學生從不同角度思考問題，體現(xiàn)了解題策略的多樣化、開放性.學生根據(jù)自己的情況選擇最優(yōu)解法，體現(xiàn)了優(yōu)化的數(shù)學思想.這種低起點、多渠道的開始，能滿足不同思維層次學生的需要，從而激發(fā)學生進一步探究的欲望.在不知不覺中復習了反比例函數(shù)中求k的兩種方法.

二、自主編題，完善學生的思維方式

在教育改革不斷深入的今天，通過自主編題開啟學生自我思考之門，變被動做題為主動編題，變被動接受知識為主動獲取知識，從而進一步自覺學習和感悟數(shù)學，真正成為數(shù)學學習的主人，是對所學知識的靈活運用，是創(chuàng)新思維的提煉和升華，是新課堂所追求的至高境界.作為新時代的教師，只有長期堅持對學生的培養(yǎng)和訓練，才會使他們變成思維活躍、勤于觀察、善于思考、敢于發(fā)言、勇于創(chuàng)新的人，也只有這樣，我們的學生才會更自信，更樂于探究，我們的數(shù)學課堂才更富魅力！

比如：

師：針對此題的條件和結(jié)論，類似地，你能編道題目嗎？分4小組合作探討.

（過了2分鐘后）

師（洋溢著笑容）：小組2同學把部分條件和結(jié)論進行了互換，這是編題的一個方法.你們的逆向思維能力很不錯，為我們編題開了一個頭.

（話音剛落，教室里響起了陣陣掌聲）

生（小組1代表）：剛才小組2給了我們組一點啟發(fā)，我們組是這樣編的，其他條件不變，若求△ABO的面積.

師：這個問題很有內(nèi)涵.還有嗎？

（此時教室一片寂靜）

師：對于△ABO，你有什么想法？

生（小組4代表，興奮）：我發(fā)現(xiàn)條件中△ABO是等邊三角形很特殊，若將其改編成Rt△ABO，已知∠OBA= 90°，且OA=3，AB=4，此時求k的值.

師：問題太好了，點A、B動起來，使△ABO變成另一類特殊的三角形.你的編題視角很有創(chuàng)意.

（其他同學為小組4的創(chuàng)意之舉投射出敬佩之光）

師（把目光掃向小組3）：你們這組有什么好想法嗎？

（教師鼓勵的眼神，充滿了期待）

生（小組3代表）：本來我們沒想法的，看到小組4的編題角度，我們在想：圖中雙曲線的一個分支在第一象限，若改編成第四象限，其他條件不變，求k的值，不知是否可以？

師（洋溢著笑容）：各組的編題太經(jīng)典了，從互換部分條件和結(jié)論，探究新結(jié)論，改變圖形形狀，改變圖形位置等這幾個角度進行改編.

愛因斯坦曾說過：“提出問題比解決問題更重要.”教師讓學生自主編題，實質(zhì)上是讓學生提出問題的過程.在編題的過程中，對學生來說，一方面，要對所學的知識深入理解并靈活運用；另一方面，要求學生有敏銳的眼光、勤于思考的習慣和創(chuàng)新的精神，并能通過現(xiàn)象看出問題的本質(zhì)，有助于培養(yǎng)思維的獨立性和創(chuàng)造性.學生編題的過程，不僅是一個解題的過程，更是從一個簡單的問題出發(fā)，逐步演繹深化、探究創(chuàng)新的過程，對防止題海戰(zhàn)術、提高課堂效率也大有裨益.

三、關注學情，促成課堂的動態(tài)生成

動態(tài)生成的前提是關注學情，孔子曰：因材施教！其實質(zhì)就是關注學情！新課程標準強調(diào)：教師要能轉(zhuǎn)變教育觀念、教學方法，讓學生感受和體驗數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展和應用過程［1］.教師在教學活動中要保持一種開放的心態(tài)，讓問題的探究更加自然、流暢，并積極鼓勵學生充分發(fā)揮自己的優(yōu)勢，彌補自己的不足.喚醒學生的創(chuàng)新意識和主體意識，更好地激發(fā)學生的學習熱情，促進新教學資源的生成.

比如：

師：剛才小組4改變△ABO的形狀改編題目，給了我很大的啟發(fā)，實質(zhì)上這個△ABO中，可將A、B分別在x軸正半軸、曲線上化靜為動.若使點A繼續(xù)動起來，動到曲線上，針對這個圖形，我們準備研究什么呢？

生4：△ABO的形狀.

生5：從剛才的編題中，我受到了啟發(fā)，可以探究△ABO的面積.

（大家都紛紛表示這個探究很有意義）

師：若要研究面積，你要給我條件??？

生6：B（1，2）、A（2，1）.

師：找個（2，3）行嗎？

生7：不行.

師：為什么不行？誰來說？

生8：前面已經(jīng)確定k是2，所以縱坐標是1.

師（追問）：如圖2，你說這些點的坐標有何關系？

生8：x1y1=x2y2=x3y3=k.

師：這就是k的代數(shù)意義，坐標之積不變性.

圖2

圖3

師：看到x1y1，聯(lián)想到什么圖形的面積？

生9：矩形.

師：如圖3，這兩個矩形面積怎么樣？

生10：相等.

師：也就是說S矩形=k？

師（小結(jié)）：因k可正可負，而面積是正的，即S矩形=|k|，這就是k的幾何意義，面積不變性.今天，對于k的值，從代數(shù)、幾何兩個意義進行了探究.

師：想想看，這個△AOB的面積怎么求？分4個小組交流討論.

（在同學們的獨立思考和合作交流下，每小組匯報圖4到圖7）

圖4割補法（補法）

圖5割補法（補法）

圖6割補法（割法）

圖7等積變形

教師給學生創(chuàng)設一種平等、和諧的課堂氛圍，給學生提供思考、發(fā)言的機會.課堂上生成了很多有價值的資源，真正讓教師的預設與學生的生成和諧統(tǒng)一.案例中探究△AOB的面積，給定點A、B的坐標，都是學生自然生成的資源，讓問題的探究更加自然，渾然一體.而教師的一個追問（找個（2，3）行嗎？）讓人拍案叫絕，這樣的自然生成無形中提煉了“k”的代數(shù)意義.在求S△AOB時，通過小組合作交流的方式，營造一種輕松、和諧的氛圍，在教師的鼓勵和引導下，精彩紛呈的解法接踵而來.

四、拓展訓練，提升學生的思維品質(zhì)

數(shù)學復習課注重進行知識的拓展，這才是數(shù)學復習課有效教學的根本目標，拓寬解題思路，幫助學生培養(yǎng)思維的發(fā)散性，努力提升學生的思維品質(zhì)，最終使學生掌握試題的精髓，抓住數(shù)學的本質(zhì).對學生數(shù)學素養(yǎng)的提升產(chǎn)生積極的影響.

比如：

師：剛才已知A、B的坐標探究了△AOB的面積，現(xiàn)在給你這兩個點的橫坐標關系及其面積，你能求出k的值嗎？請試一試.

圖8

（教師巡視并與學生交流，2分鐘后）

生11：設B點的橫坐標為x，縱坐標為y.若能求出xy就解決了.

師：你的想法很不錯，若設B（x，y），那么A點的坐標是什么？

生12（遲疑了一下）：由點B和點A的橫坐標之比為1∶ 2，得A的橫坐標為2x.此時

師：挺好的.這個k怎么解？哪位同學上來試試？

生13上臺板書：

師：剛才做題的時候哪個地方覺得有困難？請你說一下.

生11：A、B的坐標沒有準確的值.

師：那今后做這樣的題目有什么經(jīng)驗？生13：設元.

生14：我也可以這樣做.

（正當老師準備收尾的時候，突然有一學生突發(fā)奇想）

生15：我隱隱約約覺得點A、B的坐標存在莫名的關系.這里已知兩點橫坐標之比，若沒有這個已知條件，k還能求嗎？

師：非常欣賞生15的質(zhì)疑精神，這將是創(chuàng)新的開始.不妨變成“A為中點”這個條件，請嘗試解決.

圖9

此時，學生又陷入了沉思，展開了更為激烈的思維過程.

下課了…

復習課教學中，要有一道具有挑戰(zhàn)性的拓展題提升課堂，引導學生運用所學過的知識、方法綜合解決問題.此題在原有的基礎上增加了難度，從原來已知點的坐標到兩點橫坐標的顯性關系，再到兩個點的隱性關系，對學生來說，是一種思維不斷提升的過程，具有一定的挑戰(zhàn)性.當學生解決問題后，教師的追問（剛才做題的時候哪個地方覺得有困難？），進一步讓學生在不斷的反思中“悟”出真知，從而提高數(shù)學意識，完善思維過程，優(yōu)化思維品質(zhì).同時課中，面對學生的突發(fā)奇想，教師并非無力招架，而是順勢將問題推向高潮.

五、注重提煉、滲透數(shù)學的思想方法

在復習課教學中，教師要及時引導學生進行提煉，提煉數(shù)學知識、思想方法、解題策略，挖掘動態(tài)問題中不變的量，同時要滲透各種數(shù)學思想方法.通過提煉、滲透，讓學生能夠從中理解知識點的內(nèi)涵和外延，從反思過程中汲取經(jīng)驗教訓，鞏固和擴大解題成果，進一步提升學生思維的深刻性.

比如，上課時老師在提煉、滲透環(huán)節(jié)做到五個方面.

①反比例函數(shù)中求“k”的值，從兩方面（點的坐標，面積）進行學法指導：

特殊三角形→線段長度→點的坐標→待定系數(shù)法確定k的值

②從代數(shù)和幾何兩大高度提煉出“k”的意義.

③已知點A（2，1）、B（1，2），求△ABO的面積，對面積的不同求法，注重了一題多解，通過比較、歸納，得出將三角形轉(zhuǎn)化為直角梯形來求的優(yōu)越性.滲透了解決問題策略的優(yōu)化，并提煉出這類三角形面積的求法公式.

④挖掘動態(tài)問題中不變的量.

一個點動時：

k的代數(shù)意義：x1y1=x2y2=x3y3=k；

k的幾何意義：如圖10，S矩形=2S△=|k|.

兩個點動時：

圖10

（數(shù)量上的不變，如圖11）

圖11

若A、B在雙曲線一個分支上運動時，S△OBE=S梯形AECD（或S矩形BFGE=S矩形AECD），（位置上的不變，如圖12）AB∥DE始終保持不變.

圖12

⑤注重了數(shù)形結(jié)合思想、待定系數(shù)法、割補法、等積變形等思想方法的滲透.

初中數(shù)學復習課，教師應從一道題目（一般是課本例、習題和中考試題）出發(fā)，開放性地設計問題，鼓勵學生從多角度解決問題，并嘗試讓學生自主編題，提出問題，為后續(xù)進一步挖掘題目作鋪墊.同時關注學情，動態(tài)生成，讓課堂更加自然、流暢.在這樣一條復習主線下，提煉解題策略，挖掘數(shù)學不變的量，滲透數(shù)學思想方法.真正讓數(shù)學復習課成為學生的主陣地，走出“題海戰(zhàn)術”，追求“簡潔”卻不簡單的課堂，體現(xiàn)“一題一課”的價值，真正凸顯“以生為本”的教學理念.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.顧泠沅，主編.初中數(shù)學教學研究［M］.上海：上海教育出版社，2012.

3.吳立建.數(shù)學課堂中應重視引導學生提出問題［J］.數(shù)學通報，2013（7）.

4.趙萍萍.“一題一課”復習課走向簡約的嘗試——以2014年廣東省中考第23題教學為例［J］.中學數(shù)學（下），2015（2）.Z