從2016年全國中考題看規(guī)律類問題從何入手

☉江蘇省海安縣墩頭鎮(zhèn)吉慶初中邰群燕

從2016年全國中考題看規(guī)律類問題從何入手

☉江蘇省海安縣墩頭鎮(zhèn)吉慶初中邰群燕

新一輪課程改革提出了課程“核心素養(yǎng)”的概念，而“把數(shù)學(xué)的概念、思想、方法、思維運(yùn)用于客觀事物是提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的有效途徑”.從中考試題的評價(jià)功能來看，規(guī)律類問題呈現(xiàn)明顯的上升趨勢，從數(shù)學(xué)知識與能力的綜合考查層面顯得豐富多彩.但是，從教學(xué)資源開發(fā)的角度來看，如果從此類問題的基礎(chǔ)上綜合探究，就可以找到解決此類問題的有效途徑和突破方向.筆者認(rèn)為，規(guī)律類問題的探究過程有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)頭腦思考、處理實(shí)際問題的意識和能力，有助于學(xué)生從中感悟數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值.從這個(gè)角度來看，此類問題的異軍突起也就不奇怪了，這正是使得數(shù)學(xué)探究活動體現(xiàn)了學(xué)科素養(yǎng)的融合，能讓學(xué)生從中感悟“大自然是數(shù)學(xué)化的”，“數(shù)學(xué)是仰望宇宙的透鏡”，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展.下面筆者就從2016年中考題切入，具體談一下規(guī)律類問題的解題突破方向和如何入手解決.

一、注意觀察，找到規(guī)律，實(shí)現(xiàn)直接突破

例1（2016年四川）如圖1，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個(gè)小三角形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到7個(gè)小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到10個(gè)小三角形，稱為第三次操作；…根據(jù)以上操作，若要得到100個(gè)小三角形，則需要操作的次數(shù)是（）.

A.25B.33C.34D.50

解析：由題意可知，第一次操作后，三角形共有4個(gè)；第二次操作后，三角形共有4+3=7（個(gè)）；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10（個(gè)）；…由此可得第n次操作后，三角形共有4+3（n-1）=3n+1（個(gè)）.當(dāng)3n+1=100時(shí)，解得n= 33，故答案選B.

圖1

變式：（2016年湖南）“數(shù)學(xué)是將科學(xué)現(xiàn)象升華到科學(xué)本質(zhì)認(rèn)識的重要工具”，比如在化學(xué)中，甲烷的化學(xué)式CH4，乙烷的化學(xué)式是C2H6，丙烷的化學(xué)式是C3H8，…，設(shè)碳原子的數(shù)目為n（n為正整數(shù)），則它們的化學(xué)式都可以用下列哪個(gè)式子來表示（）.

A.CnH2n+2B.CnH2nC.CnH2n-2D.CnHn+3

解析：設(shè)碳原子的數(shù)目為n（n為正整數(shù)）時(shí)，氫原子的數(shù)目為an，觀察可知：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2× 3+2，…，即可得an=2n+2.所以碳原子的數(shù)目為n（n為正整數(shù)）時(shí)，它的化學(xué)式為CnH2n+2.故答案選A.

二、數(shù)列尋找通項(xiàng)，排列找到方法

例2（2016年山東濱州）觀察下列式子：1×3+1=22；7×9+1=82；25×27+1=262；79×81+1=802；…可猜想第2016個(gè)式子為_______.

解析：觀察等式兩邊的數(shù)的特點(diǎn)，第n個(gè)等式可以表示為（3n-2）×3n+1=（3n-1）2，用n表示其規(guī)律，當(dāng)n=2016時(shí)，（32016-2）×32016+1=（32016-1）2.

變式1：（2016年山東棗莊）一列數(shù)a1，a2，a3，…滿足條件（n≥2，且n為整數(shù)），則a2016=_____.

變式2：（2016年湖北）觀察下列等式：

按上述規(guī)律，回答以下問題：

（1）請寫出第個(gè)等式an=______；

（2）a1+a2+a3+…+an=______.

中考與課標(biāo)是相結(jié)合的，課標(biāo)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的思維與發(fā)展.在解決數(shù)列類問題的時(shí)候，教師也應(yīng)該多關(guān)注這種“無形”的變化過程中的“有形”結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在動手排列的過程中能夠有所收獲.

三、幾何類問題尋找?guī)缀翁卣鳎驖u進(jìn)解決

例3（2016年山東）用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成如圖2所示的圖形，則第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（）.

圖2

A.2n+1B.n2-1C.n2+2nD.5n-2

解析：這一問題，通過幾何圖形的觀察，很容易得到平方減1的結(jié)論.

變式：（2016年湖南）如圖3所示，各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，最后一個(gè)三角形中y與n之間的關(guān)系是（）.

圖3

A.y=2n+1B.y=2n+n C.y=2n+1+nD.y=2n+n+1

四、數(shù)學(xué)史類問題需要多閱讀，從史料中尋找答案

例4（2016年北京）百子回歸圖是由1，2，3…，100無重復(fù)排列而成的正方形數(shù)表，它是一部數(shù)化的澳門簡史，如：中央四位“19 99 12 20”標(biāo)示澳門回歸日期，最后一行中間兩位“23 50”標(biāo)示澳門面積，……，同時(shí)它也是十階幻方，其每行10個(gè)數(shù)之和、每列10個(gè)數(shù)之和、每條對角線10個(gè)數(shù)之和均相等，則這個(gè)和為_____.

解析：1～100的總和為（1+100）×100÷2=5050，一共有10行，且每行10個(gè)數(shù)之和均相等，所以每行10個(gè)數(shù)之和為5050÷10=505，故答案為505.

變式1：（2016年北京）下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程：已知直線l和l外一點(diǎn)P（如圖4）.求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P.

作法：如圖5.（1）在直線l上任取兩點(diǎn)A，B；（2）分別以點(diǎn)A，B為圓心，AP，BP長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)Q；（3）作直線PQ.所以直線PQ就是所求的垂線，如圖6.請回答：該作圖的依據(jù)是_________________________.

圖4

圖5

圖6

解析：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上（A、B都在線段PQ的垂直平分線上）.

變式2：（2016年山東德州）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x和y=-x的圖像分別為直線l1，l2，過點(diǎn)（1，0）作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A3，過點(diǎn)A3作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A4，…，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2017的坐標(biāo)為______.

圖7

解析：觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A1（1，2），A2（-2，2），A3（-2，-4），A4（4，-4），A5（4，8），…，所以A2n+1（（-2）n，2×（-2）n）（n為自然數(shù)）.因?yàn)?017=1008×2+1，所以A2017的坐標(biāo)為（（-2）1008，2（-2）1008）=（21008，21009）.故答案為（21008，21009）.

中考數(shù)學(xué)融入數(shù)學(xué)史的考查方式靈活多樣，有時(shí)候是講故事，而更多的時(shí)候采取數(shù)學(xué)史料的方式進(jìn)行考查.為了更好地解決此類問題，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的歷史史跡，對自己感興趣的歷史事件和人物，寫一些歷史研究的小論文，進(jìn)行交流和傳播.這樣做的目的是幫助學(xué)生弄清楚數(shù)學(xué)的概念、數(shù)學(xué)思想的發(fā)展過程，使學(xué)生對數(shù)學(xué)面貌有整體的把握和了解，這也是中考考查的真正價(jià)值所在.

五、結(jié)束語

除以上一些基本解決問題的方法以外，面對規(guī)律類問題還需要明確以下三點(diǎn)：（1）知其然，也知其所以然.也就是從宏觀上認(rèn)識初中數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展，對數(shù)學(xué)概念、思想方法知其然也知其所以然；（2）接地氣，讓數(shù)學(xué)活起來.如果細(xì)究規(guī)律類問題我們很容易發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)活動往往鑲嵌在歷史或者生活實(shí)際之中，都是“有用”的知識，這樣的知識才是真正有趣的；（3）助思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考.中考問題的出線與命制，一個(gè)首要的任務(wù)就是考查學(xué)生的思維活動和數(shù)學(xué)能力，因此讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的原始思考及來龍去脈，在真實(shí)的思考中獲得對數(shù)學(xué)的真正理解成為了一種最完美的考查方式.H