關(guān)注學(xué)習(xí)過程，突出函數(shù)核心
——一類以一次、二次函數(shù)為背景的中考?jí)狠S題賞析

☉江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)王海松高峰

關(guān)注學(xué)習(xí)過程，突出函數(shù)核心
——一類以一次、二次函數(shù)為背景的中考?jí)狠S題賞析

☉江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)王海松高峰

近年來，將一次或二次函數(shù)的圖像與幾何圖形結(jié)合來編制中考?jí)狠S題一直是常見的題型，這種題型的實(shí)質(zhì)是把函數(shù)圖像作為與坐標(biāo)有關(guān)的幾何對(duì)象，并以此為背景，研究圖形的屬性，與幾何內(nèi)容綜合在一起，表面上以函數(shù)為背景，實(shí)質(zhì)上還是幾何知識(shí)的運(yùn)用.而函數(shù)作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，其價(jià)值在于反映現(xiàn)實(shí)世界中某些事物的變化規(guī)律，是研究其他數(shù)學(xué)問題的工具，函數(shù)圖像也只是研究函數(shù)的工具.下面幾例突破了以函數(shù)為幌子的傳統(tǒng)的命題格式，它們關(guān)注學(xué)習(xí)過程，突出函數(shù)的核心內(nèi)容，給我們命題和教學(xué)都帶來很大的啟示.

一、例題分析

1.以一次函數(shù)為背景

例1（2015·泰州）已知一次函數(shù)y=2x-4的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在該函數(shù)的圖像上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2.

（1）當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求d1+d2的值；

（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當(dāng)d1+d2=3時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若在線段AB上存在無數(shù)個(gè)P點(diǎn)，使d1+ad2=4（a為常數(shù)），求a的值.

解析：（1）求出A與B的坐標(biāo)得OA、OB，求出P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)d1+d2的值，即：

對(duì)于一次函數(shù)y=2x-4，令x=0，得到y(tǒng)=-4；令y=0，得到x=2.所以A（2，0）、B（0，-4）.因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，所以P（1，-2），則d1+d2=3.

（2）根據(jù)題意確定出d1+d2的范圍d1+d2≥2.設(shè)P（m，2m-4），表示出d1+d2=|m|+|2m-4|，分類討論m的范圍，根據(jù)d1+d2=3求出m的值，即可確定出P的坐標(biāo)，即：

當(dāng)0≤m≤2時(shí)，d1+d2=m+4-2m=4-m=3，解得m=1，此時(shí)P1（1，2）；

當(dāng)m＞2時(shí)，d1+d2=m+2m-4=3，解得

當(dāng)m＜0時(shí)，不存在.

（3）設(shè)P（m，2m-4），表示出d1=|2m-4|，d2=|m|.由P在線段上求出m的范圍，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義表示出d1與d2，代入d1+ad2=4，根據(jù)存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P求出a的值即可，即：

P在線段AB上，所以0≤m≤2，所以d1=4-2m，d2=m，所以由d1+ad2=4，得4-2m+am=4，即（a-2）m=0，因?yàn)橛袩o數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以a=2.

評(píng)注：解決問題時(shí)，首先是實(shí)現(xiàn)三個(gè)轉(zhuǎn)換，坐標(biāo)與距離的轉(zhuǎn)換，距離與代數(shù)式的轉(zhuǎn)換，函數(shù)關(guān)系式與方程的轉(zhuǎn)換，這些充分體現(xiàn)了函數(shù)與代數(shù)之間的密切聯(lián)系，突出數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，這都是函數(shù)中的核心知識(shí)和思想方法.其次是運(yùn)動(dòng)變化，本題雖無運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)上卻體現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，不能局限于給出的圖形，要將圖看“活”，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去看.其實(shí)在第（2）問，我們可以借助直觀感受，用筆尖在一次函數(shù)圖像上“走一下”，就能對(duì)范圍有個(gè)感受.利用圖像對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究是研究函數(shù)問題的一個(gè)重要方法，這就提示我們一定要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)研究問題的方法，需要我們注重學(xué)習(xí)的過程.

2.以二次函數(shù)為背景

例2（2015·天津）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b、c為

常數(shù)）.

（1）當(dāng)b=2、c=-3時(shí)，求二次函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)c=5時(shí)，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；

（3）當(dāng)c=b2時(shí)，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式.

解析：（1）把b=2、c=-3代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最小值，即當(dāng)b=2、c=-3時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x2+ 2x-3=（x+1）2-4，所以當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值-4.

（2）根據(jù)當(dāng)c=5時(shí)，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，得到x2+bx+5=1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式，即：

當(dāng)c=5時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x2+bx+5，由題意得x2+bx+5=1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則Δ=b2-16=0，解得b1= 4，b2=-4，所以二次函數(shù)的解析式為y=x2+4x+5或y=x2-4x+5.

（3）當(dāng)c=b2時(shí)，寫出解析式，分三種情況進(jìn)行討論即可，即：

當(dāng)c=b2時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y-x2+bx+b2，圖像開口向上，對(duì)稱軸為直線

b+3的情況下，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x=b時(shí)，y=b2+b· b+b2=3b2為最小值，則3b2=21，解得

評(píng)注：本題考查的都是二次函數(shù)的核心內(nèi)容，二次函數(shù)的最值、增減性、對(duì)稱性及與一元二次方程之間的聯(lián)系.解決第（2）問時(shí)，需自覺根據(jù)已知函數(shù)值將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用一元二次方程的根的判別式解決問題；第（3）問，需要學(xué)生自覺結(jié)合圖像，利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想直觀地研究函數(shù)的增減性，從而確定最值.如果在平時(shí)的教學(xué)中，學(xué)生沒有深刻經(jīng)歷如何利用圖像去研究二次函數(shù)的最值、增減性、對(duì)稱性等過程，那么要完成本題是有困難的.

3.以一次函數(shù)和二次函數(shù)綜合為背景

例3（2015·廣州）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y1= ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），與y軸交于點(diǎn)C，且O、C兩點(diǎn)間的距離為3，x1x2<0，|x1|+|x2|=4，點(diǎn)A、C在直線y2=-3x+t上.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)y1隨x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍.

（3）將拋物線y1向左平移n（n>0）個(gè)單位，記平移后y隨x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個(gè)單位，當(dāng)平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)，求2n2-5n的最小值.

解析：（1）因?yàn)镺C=3，C在y軸上，因此C（0，3）或C（0，-3）.

（2）①當(dāng)C（0，3）時(shí)，代入y2=-3x+t中得到t=3，此時(shí)y2=-3x+3?A（1，0）.由x1x2<0，|x1|+|x2|=4，可得x2=-3，因此B（-3，0）.此時(shí)可得：y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，因此可得：當(dāng)y1隨x的增大而增大時(shí)，x≤-1.

②當(dāng)C（0，-3）時(shí)，代入y2=-3x+t中得到t=-3，此時(shí)y2=-3x-3?A（-1，0）.由x1x2<0，|x1|+|x2|=4，可得x2=3，因此B（3，0）.此時(shí)可得y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，因此可得：當(dāng)y1隨x的增大而增大時(shí)，x≥1.

綜上所述，可得：當(dāng)C（0，3）時(shí)，x≤-1；當(dāng)C（0，-3）時(shí)，x≥1.

（3）①當(dāng)C（0，3）時(shí)，y1=-（x+1）2+4，左移n（n>0）個(gè)單位后，可得y1′=-（x+1+n）2+4，此時(shí)y2′=-3x+3-n，此時(shí)要使得直線與P有公共點(diǎn)，則頂點(diǎn)（-1-n，4）在直線y2′=-3x+ 3-n上方，即滿足4≥y2′=-3（-1-n）+3-n=6+2n?n≤-1，應(yīng)舍去.

②當(dāng)C（0，-3）時(shí)，y1=（x-1）2-4，左移n（n>0）個(gè)單位后，可得y1′=（x-1+n）2-4，此時(shí)y2′=-3x-3-n.要使得直線與P有公共點(diǎn)，頂點(diǎn)（1-n，-4）在直線y2′=-3x-3-n下方，即-4≤y2′=-3（1-n）-3-n，解得n≥1.

綜合可得n≥1.2n2-5n=當(dāng)且僅當(dāng)n=

評(píng)注：本題通過以平移為載體，把函數(shù)本身內(nèi)在之變化與圖形的外在之變化有機(jī)結(jié)合，在圖形與解析式的變化中尋找靜態(tài)的關(guān)系式，這是把函數(shù)圖像的幾何特征作為研究函數(shù)變化規(guī)律和對(duì)應(yīng)關(guān)系的直觀工具，而非把幾何特征作為研究的核心.本題沒有配圖，你不畫圖，寸

步難行；你一畫圖，迎刃而解.利用圖形思考、探究，有利于找到適合自己的解題方式.如第（1）問，可在作圖的過程中，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的坐標(biāo)有兩種情形.第（2）問由作圖的過程，就可找到一個(gè)簡(jiǎn)單的解題流程：定出點(diǎn)A、B；寫出拋物線的對(duì)稱軸；由點(diǎn)C的位置確定所求.第（3）問先從特殊入手，畫出n=0、1、2、3時(shí)的圖形，觀察平移后拋物線的對(duì)稱軸和平移后直線的交點(diǎn)的位置關(guān)系，進(jìn)而得到區(qū)域P的范圍，從猜想出n的取值范圍，也可根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)的位置特征，挖掘其中的數(shù)量關(guān)系，利用方程或不等式來確定n的取值范圍.先通過研究把握?qǐng)D像的變化、位置等特征，然后充分挖掘這些變化和位置中代表性特征的信息，利用這些信息直接解決問題或轉(zhuǎn)化為其他的知識(shí)解決問題.這些思想和方法，都需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生去自主研究，充分經(jīng)歷研究的過程才能獲得問題的解決，而非記住幾個(gè)結(jié)論就能達(dá)到目的的.

二、教學(xué)反思

1.明確函數(shù)的核心內(nèi)容

《課標(biāo)（2011年版）》對(duì)函數(shù)的教學(xué)要求主要體現(xiàn)聯(lián)系與變化這一本質(zhì)屬性，重點(diǎn)體現(xiàn)函數(shù)的模型思想、變化與對(duì)應(yīng)思想、函數(shù)圖像與性質(zhì)研究過程的分類討論和數(shù)形結(jié)合思想.對(duì)函數(shù)圖像特征的研究，其目的在于讓學(xué)生直觀體會(huì)函數(shù)的變化與聯(lián)系，函數(shù)圖像是獲得函數(shù)變化規(guī)律和對(duì)應(yīng)關(guān)系的直觀工具，而非研究的核心目標(biāo).函數(shù)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其中最重要的知識(shí)當(dāng)然是函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，最重要的思想是模型思想、變化和對(duì)應(yīng)思想.也就是說，函數(shù)內(nèi)容要著重考查函數(shù)的概念和函數(shù)的圖像、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)；考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型，利用圖像與性質(zhì)研究運(yùn)動(dòng)變化過程、解決實(shí)際問題的能力；即使考查圖像，也是為了從圖像上獲得變量的變化規(guī)律和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2.學(xué)會(huì)研究函數(shù)的基本套路

我們要通過某些函數(shù)模型的示范，逐步建立研究函數(shù)的一般范式——研究函數(shù)應(yīng)研究什么、怎么研究.函數(shù)內(nèi)容的基本學(xué)習(xí)套路是：函數(shù)的定義、函數(shù)圖像、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用，那么當(dāng)我們學(xué)習(xí)一種特殊函數(shù)后，怎樣再來學(xué)習(xí)第二種特殊函數(shù)？聽課調(diào)研中，較多的情況是特殊函數(shù)一種一種介紹，每學(xué)一種函數(shù)都是“另起爐灶”，學(xué)生只知道各函數(shù)的解析式之間有區(qū)別，所做的題目也不一樣，根本不知道該如何學(xué)習(xí)函數(shù).如果教師在學(xué)完“一次函數(shù)”后，能夠幫助學(xué)生梳理學(xué)習(xí)路徑，這樣，當(dāng)他在繼續(xù)學(xué)習(xí)新的特殊函數(shù)時(shí)，就可以運(yùn)用以前學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)來進(jìn)行學(xué)習(xí)，把學(xué)習(xí)新函數(shù)的過程變成對(duì)一類函數(shù)的研究過程，這樣就能構(gòu)建邏輯連貫、前后一致的教學(xué).

3.經(jīng)歷研究過程，提升思維能力

教育的根本目標(biāo)是育人，從具體的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的角度，作為“人的發(fā)展”，體現(xiàn)為發(fā)展人的認(rèn)識(shí)能力.思維能力是能力的核心，發(fā)展學(xué)生的思維能力應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).具體到初中函數(shù)的教學(xué)，有必要思考：學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)的學(xué)習(xí)，取得哪些知識(shí)收獲，獲得怎樣的能力的發(fā)展.首先，要深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，更加系統(tǒng)地掌握研究函數(shù)的方法，進(jìn)一步理解系統(tǒng)研究數(shù)學(xué)對(duì)象的套路；其次，要著力提高學(xué)生形式化的思維水平，特別突出從概念出發(fā)思考問題的思維方法；再次，進(jìn)一步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，例如，全面地、聯(lián)系地、辯證地看問題；最后，用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法解決問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和意識(shí).

要實(shí)現(xiàn)上述育人的目標(biāo)，必須要讓學(xué)生經(jīng)歷真正的具有思考的學(xué)習(xí)過程.比如，如何描畫一次函數(shù)圖像.許多教師只是讓學(xué)生按照列表、描點(diǎn)、連線的步驟畫圖，這樣只講“如何畫不講為什么這樣畫”，雖然學(xué)生也“經(jīng)歷”畫圖的過程，但這是“描摹”的過程，不是啟發(fā)思考的過程，屬于偽過程.真正過程可以如下進(jìn)行：先引導(dǎo)學(xué)生寫出符合一次函數(shù)解析式的有序數(shù)對(duì)，學(xué)生在寫的過程中可能是隨意而無序的，然后引導(dǎo)學(xué)生思考取哪些值、個(gè)數(shù)多少比較合適，讓學(xué)生感受為了使得描點(diǎn)更加有序，建議列表、按照從小到大的順序取代表值，這樣在邊描點(diǎn)的過程中就邊感受這些點(diǎn)從小到大連線可能得到的圖形，最后通過觀察得出圖像是一條直線.但此處在學(xué)生得到圖像是直線以后，并不能止步，應(yīng)該繼續(xù)追問：以符合解析式的其他有序數(shù)對(duì)為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在直線上？雖然我們不要求學(xué)生推理論證，但在這樣的追問中，學(xué)生能夠感受到完備性，接著，反過來追問：直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是否都符合解析式？讓學(xué)生感受存在性，由此得到一次函數(shù)的圖像是一條直線.

所以學(xué)生只有經(jīng)歷能自主思考的過程，才能獲得真正的能力提升，否則只是獲得結(jié)論，很難獲得思維能力的提升.

1.陳德前.重結(jié)果，輕過程，合情推理不合理［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（10）.

2.高振山.函數(shù)圖形搭臺(tái)，代數(shù)推理唱戲［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（8）.Z