解后反思明結構，變式改編重反饋
——2016年中考天津卷第25題思路突破與教學思考

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學居紅蘭

解后反思明結構，變式改編重反饋
——2016年中考天津卷第25題思路突破與教學思考

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學居紅蘭

近一段時間，《中學數(shù)學》（下）關于中考壓軸題的研究文章中，有好幾篇涉及拋物線準線、焦點的性質(zhì)，雖然考題沒有明確提出相關概念，但是如果熟悉拋物線準線、焦點性質(zhì)，則往往能夠快速貫通思路，洞察問題結構.筆者在研習各地中考試卷題后，發(fā)現(xiàn)2016年天津中考數(shù)學試題最后一道壓軸題也蘊含了準線、焦點性質(zhì).本文先梳理該題的解題思路，并給出教學思考和變式改編，供研討.

一、考題及思路突破

考題（2016年中考天津，第25題）已知拋物線C：y= x2-2x+1的頂點為P，與y軸的交點為Q，點

（1）求點P、Q的坐標.

（2）將拋物線C向上平移得拋物線C′，點Q平移后的對應點為Q′，且FQ′=OQ′.

①求拋物線C′的解析式；

②由于點A在拋物線C′上，可設點A的坐標為若點P關于直線Q′F的對稱點為K，射線FK與拋物線C′相交于點A，求點A的坐標.

思路突破：

（1）根據(jù)拋物線與y軸交點坐標的特點，可以直接寫出點Q（0，1），本質(zhì)上就是令x=0，求出拋物線與y軸的交點.再把拋物線解析式化為頂點式，y=x2-2x+1=（x-1）2，即頂點P（1，0）.

（2）①設平移后的拋物線C′的解析式為y=x2-2x+m，可得Q′（0，m），其中m＞1，即OQ′=m，結合過F作 FH⊥OQ′，垂足為H，如圖1.

圖1

圖2

易得AN=yA-yN，其中yA＞n，連接FP.結合P（1，0），所以FP⊥x軸，所以FP∥AN，則∠ANF=∠PFN.連接PK，則直線Q′F是線段PK的垂直平分線.則∠PFN=∠AFN，所以∠ANF=∠AFN，則AF=AN.

二、解后反思

上面著重解析了考題的思路，以下再就該題一些易

錯點及問題的深層結構進行解后反思.

1.構圖不準導致思路受阻

無圖問題構圖不準，需要不斷調(diào)整草圖構造，使得精準圖形啟發(fā)思路，比如筆者開展解題教學時，就有學生構造出如下一些嚴重不準的草圖（如圖3和圖4），導致思路受阻不能進展.

圖3

圖4

在圖3中，由于Q′F與Q′O嚴重不等，影響思路；圖4中，點N的位置與落在x軸上的點N位置相去甚遠，影響了求解方向的獲得，使得不少學生解題念頭缺少，方向不明，從而不能順利解題.

2.洞察考題的深層結構：拋物線準線、焦點蘊藏“題”中

有高中拋物線準線、焦點知識儲備（拋物線上的點到準線和焦點距離相等）的人應該知道，該題中第2條拋物線C′的準線、焦點都出現(xiàn)了，即點F為該拋物線的焦點，x軸恰為該拋物線的準線.因為考題通過一系列的包裝，使得準線與焦點躲藏得很深、很隱蔽.從拋物線準線、焦點的高度再“居高臨下”看第（2）問的兩個小問，就能發(fā)現(xiàn)它們都是基于高觀點包裝起來的考題.我們可把圖2簡化為圖5，這樣更容易看清這條拋物線的準線與焦點的性質(zhì)，點A只要在拋物線上，一定有AF=AN.這也就看清了我們在上面花費很多精力探究出N點落在x軸上的原因.也說明數(shù)學上很多偶然或巧合，背后往往有其必然.

圖5

三、教學思考

1.無圖考題細思考，精心構圖獲方向

研究各地中考試題總會有這樣的體會，如果考題涉及函數(shù)圖像或是以函數(shù)圖像為載體的綜合題，又涉及幾何性質(zhì)中，無圖考題不是很多，但很多時候這類考題一旦“上場”，威力、殺傷力極大.主要原因就是學生的構圖能力，根據(jù)題意明辨題目中的條件與結論的能力還有待提升.這里不妨提及民國時期傅仲孫先生自編的“平面幾何教本”，內(nèi)中占比70%以上的無圖幾何題，不僅重視歐氏幾何公理體系、演繹證明的教學，對根據(jù)幾何語言學生能畫出的圖形，都要求畫圖、作圖后再求解.而對比當下的各種版本的幾何教材，那種對學生的“關愛”之心，演變成了圖形都幫助學生畫好了，只要在圖形上分析、演算或證明即可，說得極端一點，長此以往，孩子們的幾何素養(yǎng)卻會因為“我愛你，所以幫助你畫好圖”而走下坡路.

2.解后反思高觀點，洞察結構善積累

羅增儒教授反復指出，解題教學如果缺少解后反思環(huán)節(jié)，則是“入寶山而空返”.反思階段除了對問題開展必要的一題多解、殊途同歸的探究，還需要站到高觀點思考多種解法的合理性、一致性、和諧性，特別是站在階段“制高點”全局性地分析問題的深層結構.如天津考題的結構是拋物線的準線與焦點的問題，如果一眼洞察問題結構，則接下來的很多分析都是水道渠成、自然而然的.根據(jù)教學經(jīng)驗，一些優(yōu)秀學生解題能力之所以快而準，根本原因還是在于他們積累的數(shù)學經(jīng)驗、基本圖形及其性質(zhì)比其他同學要多得多.

3.教學預設重互動，追問生成靠對話

選用這類較難考題開展解題時，追求所謂的“一題一課”是很有意義的.《中學數(shù)學》（初中版）最近兩年有大量的“一題一課”課例，讀來深受教益.這些課例匠心獨運的設計，使得這些課例文章可以成為我們備課的素材，有些甚至都可直接做成PPT加以選用.特別是，這些課例有一個重要特點：在預設師生活動時，十分重視預設學生為主體、教師為主導的互動式問題，使得學生在對話中“生成”很多新的觀點或思想.

四、變式改編

作為本文的結束，本著命題研究的興趣，對天津考題給出一道變式改編題，供分享，也可作為講評天津考題之后的效果檢測.

變式改編：在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y= -x2+2x-1的頂點為P，與y軸的交點為Q，定點

（1）連接FQ，求tan∠FQO的值.

（2）將拋物線y=-x2+2x-1向下平移得到一條新拋物線，設點Q平移后的對應點為Q′，且點Q′到定點F的距離等于點Q′到x軸的距離.

①求Q′的坐標；

②若點P關于直線Q′F的對稱點為M，射線FM與新拋物線相交于點A，求點AF的長.

1.鄭毓信.多元表征與概念教學［J］.小學數(shù)學教育，2011（10）.

2.鐘啟泉.讀懂課堂［M］.上海：華東師范大學出版社，2015.

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數(shù)學教學，2003（1，2，3）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.Z