蒙蒂·霍爾問題的認識及思考

☉江蘇省東臺市實驗中學崔恒劉

蒙蒂·霍爾問題的認識及思考

☉江蘇省東臺市實驗中學崔恒劉

概率學中，有一個經(jīng)典的案例，叫“蒙蒂·霍爾問題”，又稱為“車羊問題”或“三門問題”，源自美國的一個電視游戲節(jié)目，因為最后的結(jié)論與常人頭腦中的固有認識不一致，引起了人們極大的興趣，大家眾說紛紜，筆者也倍感困惑.通過在初中數(shù)學骨干教師群中與網(wǎng)友的交流，靜心思考，終于想明白了其中的道理，列夫·托爾斯泰說：“知識，只有當它靠積極的思維得來，而不是憑記憶得來的時候，才是真正的知識.”在此與同行們分享筆者的思考理解經(jīng)歷.

一、蒙蒂·霍爾問題

有三扇門，其中一扇門后面是一輛轎車，另兩扇門后面各有一只羊.給你一次猜的機會.猜中羊可以牽走羊，猜中轎車可以開走轎車.當然大家都希望能開走轎車.現(xiàn)在假如你猜1號門后面是轎車，然后主持人把無轎車的一扇門（比如2號門）打開.現(xiàn)在再給你一次機會，請問你是否要換3號門？

二、流行觀點

觀點二：假定主持人打開的是2號門，既然2號門后面沒有轎車，那么轎車要么在1號門后面，要么在3號門后面，概率各是，所以不必換.觀點三：轎車在1號門后面的概率是，于是在2號門或3號門后面的概率就是，現(xiàn)在既然2號門后面沒有轎車，所以轎車在3號門后面的概率為，因此應該換.

觀點四：由于你并不知道哪個門后面是轎車，所以你的第一次選擇是隨機的，可能有以下三種出現(xiàn)情況：選中1羊門；選中2羊門；選中有轎車的門.這三種出現(xiàn)的可能性是一樣的.而主持人知道每個門后面的情況，所以你的每一種選擇換門的結(jié)果如下：①你選中1羊門，主持人打開2羊門給你看，你換門選中轎車；②你選中2羊門，主持人打開1羊門給你看，你換門選中轎車；③你選中轎車，主持人打開1羊門或者2羊門給你看，你換門選中剩下的2羊門或者1羊門.這樣，換門選中轎車的概率為，雖然換不一定能選中轎車，但是換后選中的概率大，當然應該選擇換了.

觀點五：通過表格的形式給出所有等可能的結(jié)果.

情況開始選擇的主持人打開的換后的結(jié)果1 1羊門2羊門有轎車的門2 2羊門1羊門有轎車的門3有轎車的門1羊門2羊門4有轎車的門2羊門1羊門

與觀點四的不同之處在“當你選中有轎車的門后，主持人打開1羊門與打開2羊門給你看”看作是兩種等可能的結(jié)果.從表中可以看出：共有四種等可能的情況，其中換后有轎車的兩種，換后無轎車的也是兩種，因此選中“有轎車的門”的概率是=，因此不必換.

專家觀點：據(jù)說哈佛大學的概率學權(quán)威Diaconis教授曾接受電視臺的邀請解說，他在臺上當場邀請觀眾一起進行實驗.他以一張紅桃撲克牌表示轎車，兩張黑桃撲克牌表示羊.按照規(guī)則要求，在臺上和現(xiàn)場的觀眾進行了8次互動實驗，結(jié)果是有6次顯示應當換.Diaconis教授解說：每一次實驗的結(jié)果事先都不知道，但是試驗次數(shù)多了能夠幫助我們做一些判斷，概率的判斷是依靠大量實驗才獲得的.如果這個游戲允許多次重復，那一定是“換”為好.如果只給你一次機會，那是很難說的.

這是一個概率決策問題，結(jié)論只有換與不換兩個，看上去很簡單，卻引起人們極大的興趣，眾說紛紜，足以看出概率問題是有一定難度的.

三、分析理解

能不能獲得轎車是隨機的，如果開始選中的一扇門后面確實是轎車，恭喜你猜對了，此時要是換的話反而得不到轎車.如果開始選中的一扇門后面沒有轎車，此時換就能得到轎車.那么“換與不換”應該以什么為依據(jù)？在這個問題中，應該以得到轎車的概率大為依據(jù)，或者根據(jù)實驗進行判斷，也可用計算機模擬實驗來證實.

觀點一到五在用概率思想方面是一致的，造成不同結(jié)果的原因在于對概率大小的判斷上.在這個問題中，必須要注意的一點是，主持人是知道轎車在哪扇門后的.換的結(jié)果是將轎車換成羊，或?qū)⒀驌Q成轎車.選擇1號門，得到轎車的概率為，得到羊的概率為.如果換3號門，得到羊的概率為，得到轎車的概率為.從概率決策的角度應該換，觀點三、四是正確的.觀點五錯在后兩種情況對選擇人來說應該是一種基本事件，嚴格地講這個應該是條件概率，因為對原題來說，在你先行選擇后，主持人打開了剩下的兩扇中沒有轎車的一扇門.你可這樣來理解：將問題稍作改動，假設不是三扇門而是1000000扇門供你選擇，在你選定一扇門之后，主持人打開余下的藏有山羊的999998扇門后問你“換不換”？這樣問題是不是變得很清楚了，改變主意確實是最好的策略，畢竟，你最初選擇獲得轎車的概率是一百萬分之一，當主持人打開余下的藏有山羊的999998扇門后，你感覺你是極幸運的，在幾乎是天文數(shù)字中選中了轎車，還是來一次新的選擇，換剩下的那扇未打開的門，轎車在剩下的那扇未打開的門后的可能性更大呢？其實這時也就相當于999998扇門的一百萬分之一有轎車的概率都給了“剩下的那扇未打開的門”！其實將大多數(shù)不可能的情況剔除后當然會增加余下的概率.

有了上面的分析特別是這個變式問題，再來看看解釋：“在主持人打開2號門之前，選擇1號門，得到轎車的概率為，得到羊的概率為，也就是說，選擇2號門或3號門得到轎車的概率為，當主持人打開2號門并已證實是羊之后，這就附加了條件.原來是2號門和3號門兩扇門共同具有的概率，現(xiàn)在已經(jīng)排除了2號門有轎車的可能性，這個概率就為3號門所獨有.因此這時選擇3號門有轎車的概率就為，比起1號門的概率，自然果斷選擇換.”能理解嗎？

最后，再看看Diaconis教授的觀點，毫無疑問，是正確的.既然人們在概率大小的判斷上有分歧，那我們就通過重復模擬實驗（現(xiàn)在還可用計算機模擬實驗），借助頻率的大小來判斷最有說服力.用頻率估計概率的原則是大量實驗的頻率是概率的近似值，根據(jù)實驗進行判斷是一個正常的思維過程，實驗次數(shù)則決定判斷的準確性的一種條件.Diaconis教授雖然只進行了8次實驗，但這是在他對結(jié)論已經(jīng)有了明確的認識的基礎上實驗的，Diaconis教授對這個概率問題了然于心，實驗只是他讓普通人認識概率的一種手段，所以8次是否是大量值得懷疑，但是不能用理論結(jié)果來證明這個結(jié)論的錯誤，因為所謂的估計就是已經(jīng)明確了結(jié)論是不準確的，要想準確就要增加試驗次數(shù).這可以用計算機模擬實驗來證實.

四、反思提升

（1）一個數(shù)學問題，如何講解讓學生感到通俗易懂，直白明了，我們教師還是大有作為的.像“蒙蒂·霍爾問題”，老師只要將問題稍作改動，將“三扇門”改為“1000000扇門”，學生理解這個概率決策就容易多了.同一個問題不同的人講會有不同的效果，作為老師，如何講解讓學生有興趣，感覺易懂，還是大有學問的，我們平時要多研究做這方面的有心人.

（2）概率是比較抽象，它是隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量.對于概率的研究，在教學中多結(jié)合實例，讓學生親自經(jīng)歷隨機現(xiàn)象的探索過程，親自動手進行實驗，收集實驗數(shù)據(jù)，分析實驗結(jié)果，并將所得結(jié)果與自己的猜測進行比較.在本案例中，Diaconis教授為了讓大眾澄清錯誤的認識，接受他的結(jié)論，提供的方法就是使大眾親身參與實驗，用實驗的事實結(jié)果修正自己的錯誤認識，自然地接受他的教育.在《課程標準（2011年版）》案例40的說明中也給出了這種實驗推斷背后的科學依據(jù)，也就是雖然不能保證估計得完全一致，但能保證在一定試驗次數(shù)下，估計值與實際情況相差不大的可能性是很大的.因此，在教學中，教師要注重創(chuàng)設情境，舍得花時間通過在相同條件下做大量的重復試驗，讓學生在實驗過程中感受建構(gòu)隨機觀念，知道可以用頻率來估計概率，豐富學生對概率意義的理解，讓學生在解決實際問題的過程中逐步理解頻率與概率，形成概率觀念.同學們雖然有一些生活經(jīng)驗，這些經(jīng)驗也是同學們學習概率的基礎，但其中往往有一些是錯誤的，逐步消除錯誤的經(jīng)驗，建立正確的概率直覺是概率教學的一個重要目標.

（3）古典概型也叫傳統(tǒng)概率，其定義是由法國數(shù)學家拉普拉斯（Laplace）提出的.如果一個隨機試驗所包含的基本事件是有限的，且每個基本事件發(fā)生的可能性均相等，則這個隨機試驗叫作拉普拉斯試驗，這種條件下的概率模型就叫作古典概型.一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，只有同時具備了這兩個特征的概型才是古典概型.在第三學段，課標中概率部分的要求是需要通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果.特別地，學生將從對可能性的定性描述，到刻畫簡單隨機事件發(fā)生的概率，即定義事件｛x=k｝發(fā)生的概率為P（x=k）=，這個定義被稱為概率的古典定義.這里需要注意的是Diaconis教授通過實驗解決問題，給我們的啟示：我們學習概率，目的不是會算幾個事件發(fā)生的概率，因此，我們在教學中不能簡單地將其教成會運用概率的古典定義計算事件的概率，學習課標，感受到第三學段概率課程中更重要的目標是體會概率的意義和作用，而不僅僅是計算一些事件發(fā)生的概率，因此，我們在教學中不能將這部分內(nèi)容簡單處理成單純的計算內(nèi)容，而要更關(guān)注在實際問題中學生對概率意義的理解.當然在第三學段的教學中，我們是經(jīng)常利用樹狀圖列舉事件的所有可能性，并借此樹狀圖算出概率.這里值得注意的是，在第三學段的很多問題中，樹狀圖列舉的每個結(jié)果，它們的可能性必須是相同的，這是利用樹狀圖解決概率題的前提.

1.何慶青.概率小故事兩則［J］.中學生數(shù)學（初中版），2013（8）.

2.史寧中.數(shù)學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.H