有效追問讓初中數(shù)學(xué)課堂走向深入

☉江蘇省張家港市暨陽湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校徐輝

有效追問讓初中數(shù)學(xué)課堂走向深入

☉江蘇省張家港市暨陽湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校徐輝

“追問，是對某一內(nèi)容或某一問題，為了使學(xué)生弄懂弄通，往往在一問之后又再次提問，窮追不舍，直到學(xué)生能正確解答為止.”隨著課堂教學(xué)改革的不斷深入，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的形式也在不斷更新，師生活動、生生活動更加豐富多彩，小組合作學(xué)習(xí)得到了充分體現(xiàn).在這樣動態(tài)的課堂教學(xué)中，需要教師根據(jù)問答、討論、展評等學(xué)習(xí)活動的情況，對學(xué)生思維行為作及時的疏導(dǎo)、點(diǎn)撥、評價，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展.研究表明，一次成功的“追問”能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，讓學(xué)生暴露真實(shí)的思維過程，強(qiáng)化對問題的認(rèn)識.教師也能深入細(xì)致地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，正確把握教學(xué)的節(jié)奏，更加合理地推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程.因此，有效的“追問”源于正確的教學(xué)理念、靈活的教學(xué)機(jī)智，是促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)、提升素養(yǎng)、發(fā)展自我的重要教學(xué)指導(dǎo)策略.下面結(jié)合本人在概念教學(xué)與解題教學(xué)中的幾則片段進(jìn)行具體的分析與思考，期望對一線教師的教學(xué)能有所幫助.

一、在概念思辯時順向追問，強(qiáng)化學(xué)生理解概念的清晰度

在初中數(shù)學(xué)教材中，概念教學(xué)每章都有，其重要性不言而語.但是，許多重要的概念都是以描述性的語句出現(xiàn)在教材中，致使概念的嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)不足，使得部分教師對概念教學(xué)的認(rèn)識產(chǎn)生了偏差.同時，概念的高度概括性和抽象性也給教師以“概念課難上”的印象，于是，面對回避不了的概念課，部分教師采用“一讀而過”或“機(jī)械性記憶加大量的鞏固練習(xí)”的方式進(jìn)行應(yīng)付，造成了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解膚淺，更談不上應(yīng)用概念去解決數(shù)學(xué)問題.當(dāng)然，隨著課程改革的不斷深入，廣大教師也意識到了概念教學(xué)的重要性與必要性，逐步懂得了概念教學(xué)的關(guān)鍵是概念的引入和認(rèn)知，只有讓學(xué)生在饒有興趣、注意力較為集中的時候，通過對概念的認(rèn)識、探究、思辯，加上有效追問，讓學(xué)生認(rèn)清概念的發(fā)生、發(fā)展過程，強(qiáng)化學(xué)生理解概念的清晰度，達(dá)到真正掌握概念的本質(zhì)的目的，只有這樣，學(xué)生才能夠正確應(yīng)用概念，合理、迅速地進(jìn)行運(yùn)算、論證等數(shù)學(xué)活動.

教學(xué)片段1——二次根式

……

例1下列哪些式子是二次根式？為什么？

師（追問1）：生1回答得非常好，理由解釋得也很清楚.對于（4）和（5）我們能否改變或增加條件，使得它們是二次根式呢？

生4：a2+2≥0是恒成立的，所以一定是二次根式.

師：生4回答得非常好.我們要判斷一個式子是不是二次根式，一要看它的形式是否滿足“”，二要判斷其被開方數(shù)（式）是不是大于或等于零.

……

思考與評點(diǎn)：數(shù)學(xué)概念兼有“過程”與“對象”的雙重性.概念的形成往往要從過程開始，然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷ο蟮恼J(rèn)識，最后共存于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.因此，明確概念就是從質(zhì)的方面明確概念的內(nèi)涵和從量的方面明確概念的外延.通常情況下，教師設(shè)問以后，學(xué)生作答正確，一個問題就算解決了，但這正確的背后存在兩種可能：一是學(xué)生懂得并且正確理解概念后作出的判斷；二是學(xué)生一知半解或僥幸答對.教師的設(shè)問絕不是僅僅為了讓學(xué)生回答，而是為了啟迪學(xué)生的思維.因此，在學(xué)生回答正確后再追問一句“為什么”是必要的，只有讓學(xué)生答“其所以然”，才能真正了解其對概念的理解把握程度.

二、在例題教學(xué)時適度追問，拓展課本例題的教育功能和發(fā)展功能

初中數(shù)學(xué)教材中，例題的地位主要是由其作用和功能決定的，例題、知識和習(xí)題是教材的重要組成部分.從初中數(shù)學(xué)教材例題來看，其主要的功能是知識功能、示范功能、教育功能和發(fā)展功能.編者希望通過例題的教學(xué)過程，讓學(xué)生進(jìn)一步理解概念、掌握法則、熟悉新知、學(xué)會新知、應(yīng)用新知，將學(xué)科知識系統(tǒng)化并轉(zhuǎn)化為必要的能力與技巧，例題的知識功能和示范功能體現(xiàn)得比較徹底.現(xiàn)階段，國內(nèi)外關(guān)于教材例題功能的研究尚不夠深入，在教材例題應(yīng)用方面的挖掘深度還有待提高.我們平時教學(xué)中所能做的就是在例題教學(xué)時適度追問，拓展課本例題的教育功能和發(fā)展功能，讓課本例題的功能最大化.

教學(xué)片段2——多邊形的內(nèi)角和與外角和（3）

……

師：我們在學(xué)習(xí)“多邊形的內(nèi)角和與外角和（1）”時，曾經(jīng)講過這樣一個例題.

例2如圖1，△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P，∠A=70°，求∠BPC的度數(shù).請大家回憶一下，這個問題是如何解決的？

圖1

圖2

生1：由∠A=70°，可以得∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 110°.由BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，所以∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=55°，從而∠BPC=180°-∠1-∠2=125°.

師：本例的解答過程中，一是充分利用了三角形內(nèi)角和定理，二是巧妙地利用整體思維求得∠1+∠2=55°.

師（追問1）：如果將上述例題中的CE改為∠ACB的外角平分線，那么，∠BPC的度數(shù)又是多少度呢？

變式一如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線BP與∠ACB的外角平分線CP相交于點(diǎn)P，若∠A=70°，求∠BPC的度數(shù).

生2：因?yàn)椤螦CD=∠A+∠ABC，BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACD的平分線，所以∠2=∠ADC=∠A+∠1，即∠2-∠1=∠A，所以∠BPC=∠2-∠1=∠A= 35°.

師：變式一的解答過程分為三個層次.第1層次，在△ABC中，根據(jù)“三角形的一個外角等于其不相鄰的兩個內(nèi)角的和”這一結(jié)論，求得“∠ACD=∠A+∠ABC”；第2層次，根據(jù)BP、CP分別平分∠ABC、∠ACD，求得∠2-∠1=∠A（將∠2-∠1看成一個整體）；第3層次，再次利用“三角形的一個外角等于其不相鄰的兩個內(nèi)角的和”這一結(jié)論，求得∠BPC的度數(shù).

師（追問2）：如果再將“變式一”中的BP也改為∠ABC的外角平分線，那么，∠BPC的度數(shù)是多少？

變式二如圖3，在△ABC中，∠ABC的外角平分線BP與∠ACB的外角平分線CP相交于點(diǎn)P，若∠A=70°，求∠BPC的度數(shù).

生3：因?yàn)锽P是∠ABC的外角平分線，所以2∠1=∠A+∠C.同理：2∠2=∠A+∠B.所以2（∠1+∠2）=2∠A+∠B+∠C=180°+∠A，整理得∠1+∠2=90°+∠A，從而∠BPC=180°-（∠1+∠2）=90°-∠A=55°.

圖3

……

思考與評點(diǎn)：在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生就原來的問題進(jìn)行深入而周密的思考，直到理解變得準(zhǔn)確、全面、細(xì)致、深刻為止，這種追問是很有價值的.從教材原有的例題到變式一，再由變式一到變式二，后一問題是對前一問題的補(bǔ)充和深化，在“新知”教學(xué)中，讓學(xué)生有一種剝筍的感覺，一步一步探得問題的實(shí)質(zhì).在學(xué)生作出正確解答后，教師的分層評析，起到了幫助學(xué)生理清解題思路，全面了解思維過程，熟練掌握解題方法的作用.這樣的追問能使教學(xué)更有深度，能引導(dǎo)學(xué)生通過知識建構(gòu)的過程，將原有零碎、散亂、無序的知識系統(tǒng)化.

三、在學(xué)生思維阻滯時及時追問，幫助學(xué)生搭建思維起點(diǎn)與問題終點(diǎn)之間的雙向通道

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識與基本技能，而且要使學(xué)生具有用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題、解決問題的能力.然而，在平時的教學(xué)活動中，我們經(jīng)常能聽到學(xué)生反映教師講課時，聽得很“明白”，但到自己解題時，圍繞當(dāng)堂內(nèi)容的基礎(chǔ)性問題能自己解決，綜合性比較強(qiáng)、前后知識聯(lián)系比較緊密的問題，常常難以入手，思維受阻.事實(shí)上，有些問題的解答，學(xué)生發(fā)生困難，并不是因?yàn)閱栴}的內(nèi)容深奧、解答太難，而是其思維形式或結(jié)果與具體問題的解決存在著差異，因而，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在著障礙.此時，教師要給學(xué)生提供合作交流的機(jī)會，集思廣益，開拓思路，釋疑解疑.必要時，教師可以增加設(shè)問，設(shè)置一些簡單的問題作為鋪墊，將需要解決的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的問題，進(jìn)而解決問題.

教學(xué)片段3——一次函數(shù)（初三復(fù)習(xí)備考）

……

師：我們知道，利用一次函數(shù)y=kx+b的圖像，可以直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b≥0的解集，請大家思考一下，下面這道題怎么解決？

例3已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像如圖4所示，則關(guān)于x的不等式k（x-4）-2b≥0的解集為（）.

A.x≥-2 B.x≤-2

C.x≤3D.x≥3

圖4

生1：kx+b≥0的解集為x≤3，不等式k（x-4）-2b≥0與kx+b≥0有什么關(guān)系呢？

師（追問1）：好的.生1看到了一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3，0），它能給我們帶來哪些信息呢？

生2：3k+b=0.

師（追問2）：還有嗎？

生3：k＜0，b＞0.

師（追問3）：原不等式k（x-4）-2b≥0中，除自變量x外，還含有兩個字母k和b，這正是你們不能正確解答這個問題的關(guān)鍵所在.如果我們將3k+b=0改寫為b=-3k并且代入原不等式會有什么結(jié)果呢？

生4（稍作思考）：原不等式可化為k（x-4）+6k≥0，因?yàn)閗＜0，不等式的兩邊同除以k，不等式就可化為x-4+6≤0，因此，原不等式的解集為x≤-2，選擇B.

師：生4的解答過程非常清晰、詳細(xì)、有條理.這里值得注意的是k＜0在解決本題時的重要性.如果我們將3k+ b=0改寫為k=-b并且代入原不等式，解答過程有什么差異呢？大家不妨一試.

……

思考與評點(diǎn)：綜觀上述教學(xué)過程，通過一次函數(shù)、不等式知識的簡單應(yīng)用，讓學(xué)生充分領(lǐng)略了搜集信息、分析信息、加工信息、應(yīng)用信息的重要性，充分認(rèn)清了“消元”思想在解決數(shù)學(xué)問題中的地位與作用.研究表明，對知識的加工越精細(xì)，記憶就越牢固.這種加工最重要的是尋找知識與知識之間的聯(lián)系，找到已有知識與當(dāng)前所學(xué)知識的聯(lián)系、此知識與彼知識的聯(lián)系，使之形成網(wǎng)絡(luò).

四、在解題方法變化時追加追問，引導(dǎo)學(xué)生完善知識結(jié)構(gòu)、優(yōu)化解題方法、提升核心素養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”因此，初中數(shù)學(xué)教學(xué)除了要重視概念教學(xué)，切不可忽視解題教學(xué)，要在傳授思想知識的同時，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，切實(shí)提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神.在平時的解題教學(xué)中，我們常常會發(fā)現(xiàn)：對于一個數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知與要求之間的關(guān)系，發(fā)散思維，前后聯(lián)系，多角度深入地思考，可以得到多種不同的解法.

此時，教師應(yīng)當(dāng)通過追加追問做好以下兩方面的工作，一是要引導(dǎo)學(xué)生積極思考，大膽實(shí)踐，從不同的角度去看待同一個問題，靈活運(yùn)用不同的方法（知識）去解決同一個問題；二是要引導(dǎo)學(xué)生深刻反思，通過對不同解法的分析比較，找到不同解法的各自的側(cè)重點(diǎn)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化解題方法.

圖5

教學(xué)片段4——二次函數(shù)（2）（初三復(fù)習(xí)備考）……

例4如圖5，二次函數(shù)y=-x2+ 4x-3的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C.

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）在y軸上求作一點(diǎn)D，使得DA+DC最小，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

（出示問題，教師巡視后）

師：第（1）小題大家都很快解決了，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（3，0）和（2，1）.第（2）小題怎么入手？

（學(xué)生思考、操作后）

生1：作點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1（-1，0），連接，求得的方程為y=x+，它與y軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0）.

師（追問1）：很好，生1利用一次函數(shù)的知識解決了問題.我們能否應(yīng)用幾何知識來求解這個問題呢？（學(xué)生繼續(xù)思考后）

生2：作點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1（-1，0），連接A1C交y軸于點(diǎn)D.過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，那么，△A1OD∽△，所以=，求得OD=，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，）.

師（追問2）：生2利用相似三角形知識求得線段OD的長，進(jìn)而求得點(diǎn)D的坐標(biāo).我們還有其他方法來求線段OD的長嗎？

生3：我們還是利用生2的圖形，可以利用銳角三角函數(shù)來求線段OD的長.

師：很好，我們可以利用不同的知識來解決同一個問題，值得注意的是每一方法都需要構(gòu)造點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1（-1，0）.

……

思考與評點(diǎn)：采用一題多解的形式進(jìn)行教學(xué)，能喚起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在揭示知識的過程中，逐步把學(xué)生引入勝境，啟發(fā)學(xué)生主動分析、思考問題，有助于學(xué)生大膽嘗試，主動愉快地獲取知識，從而訓(xùn)練思維的廣闊性、靈活性、深刻性.而不同的方法的產(chǎn)生、形成、完善，需要師生共同去創(chuàng)造.

對于課堂教學(xué)而言，追問是一種藝術(shù)，通過適時的追問，幫助學(xué)生開拓思路，活躍思維，并在更高層次上繼續(xù)思考，迸發(fā)出創(chuàng)新的火花；追問是一種智慧，追問的價值在于探明學(xué)生的思維狀態(tài)，促進(jìn)思維能力的提升，有經(jīng)驗(yàn)的教師會提供給學(xué)生充分思考和表達(dá)的空間，對學(xué)生習(xí)以為常的答案及時進(jìn)行追問，從而引領(lǐng)和轉(zhuǎn)化學(xué)生解決問題的思維策略；追問是一種手段，新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)確立學(xué)生的主體地位，促進(jìn)學(xué)生積極主動地學(xué)習(xí)，但是學(xué)生的自主探索、自覺體驗(yàn)、主動思考和合作交流難免有膚淺疏漏之處，這就需要教師以組織者的角色進(jìn)行有效的控制和引導(dǎo)，而追問正是一種十分行之有效的調(diào)控手段.有效追問，能讓初中數(shù)學(xué)課堂走向深入.

1.王飛兵.例談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本步驟［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（2）.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)概念的理解與教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2016（3）.H