從“形聚”到“神似”：大題命制的一種追求——2016年鹽城卷第28題思路突破與命題反思

☉江蘇省張家港市塘橋初級中學王東

從“形聚”到“神似”：大題命制的一種追求——2016年鹽城卷第28題思路突破與命題反思

☉江蘇省張家港市塘橋初級中學王東

承載著中考區(qū)分選拔功能的壓軸題往往倍受大家關注.有些考題呈現(xiàn)簡約、漸次生長、前后關聯(lián)、上下呼應等特征，給練習者、欣賞者以美的享受.然而也有些綜合題把幾個無甚關聯(lián)的小問題勉強拼湊成一道大題，讓練習者感覺是在練習一大堆不相關的題目.本文關注一道中考壓軸題，嘗試給出思路突破和解后反思，并改編變式，提供研討.

一、考題及思路突破

考題（2016年江蘇鹽城中考數(shù)學卷第28題）如圖1，已知一次函數(shù)y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C.

（1）求b，c的值.

圖1

圖2

（2）如圖1，D為AC的中點，點E在線段BD上，且BE= 2ED，連接CE并延長交拋物線于點M，求點M的坐標.線CE與拋物線解析式，可得M點坐標為（-，）.是一個含60°角的特殊直角三角形，G（0，3），AG=6.以AG為邊向左側作等邊△AGQ，可求出Q點坐標為（-6，3）.有了這些解讀之后，可以進入后續(xù)問題的

（3）首先解讀一些初始條件，比如，將直線AB旋轉后得到直線AG的位置，應該是與x軸成60°角，即△AOG求解了.

①根據(jù)兩個等邊三角形的條件，加上∠GAO=60°的識別，容易證明△ARQ≌△APG，從而得到PG=RQ；

②認真觀察圖2，發(fā)現(xiàn)由上一問中△ARQ≌△APG，有PG=QR，要想PA+PC+PG取得最小值，就是PR+PC+QR取得最小值，只要四點C、P、R、Q共線即可，即最小值就是連接QC，求線段QC的長，這兩個端點的坐標都是明確的，構造圖3，很快可求得QC=2

圖3

圖4

（3）將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉15°后交y軸于點G，連接CG.如圖2，P為△ACG內(nèi)一點，連接PA，PC，PG，分別以AP、AG為邊在它們的左側作等邊△APR、等邊△AGQ，連接QR.

①求證：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出當PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標.

1.思路突破

（1）由一次函數(shù)解析式可確定A、B點的坐標，再將其代入拋物線解析式就能確定b、c的值，即b=-2，c=3.

（2）由上一問求出的拋物線解析式，可以求出C點坐標為（1，0），容易解讀點D的坐標為（-1，0），再由BE= 2ED，可求出點E的坐標為（-，1）；于是根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線CE的解析式為y=-x+，進而聯(lián)立直

到此進展都很順利，真正的挑戰(zhàn)是點P的位置，即如何求點P的坐標.

我們很快會確認點P應該在線段CP上，但是具體位置呢？如果有“費馬點”的模式積累的話，可以構造圖4解決，以AC為邊向下作等邊△ACN，連接CQ，GN交于P點，該點為△ACG的費馬點，滿足AP+CP+GP最小，這樣可以求出直線CQ的解析式為，直線GN的解析式為，再聯(lián)立方程組解出點P的坐標為

然而，上述解法的難點在于“以AC為邊向下作等邊△ACN”，這種構造如果缺少對三角形費馬點的深刻理解，短時間是難以獲得思路的，而且費馬點也并非是初中階段的教學要求.讓我們另尋突破點P坐標的思路.

考慮到△APR是等邊三角形，可以作AH⊥CQ于H點，根據(jù)相似三角形性質（△ACH∽△QCM）或銳角三角函數(shù)（∠ACQ的三角函數(shù)值）可以求出換到Rt△APH中，可求出

由于三個小問之間基本無甚關聯(lián)，特別是第（3）問甚至離開總題干中的拋物線，另起爐灶，命題者“引來”了所謂的費馬點問題，讓難點落在最后一問上.以下再簡述幾處障礙點：

障礙點之一：缺少費馬點結構的認識，難以獲得最值.

如果缺少費馬點的結構，則短時間學生認識到線段CQ就是最小值有些障礙，就是想到連接CQ，也并不一定能認識到這就是三條線段和的最小值.

障礙點之二：構造出圖5之后在不同的三角中切換不暢，導致思路受阻.

圖5

圖5中需要靈活的目光轉換能力，如果不能有效、按序轉換，則往往思路受阻.特別是求解的次序：先求AH→PH→HC→PC→PT→CT.這一路徑如果走偏，則會消耗時間成本.

障礙點之三：運算繁雜，對運算的意味品質有較高的要求.

由于涉及的三角形三邊之間不是學生熟悉的特殊三角形，所以無論是相似路徑，或是銳角三角形函數(shù)路徑，都會陷入較為繁雜的運算.筆者經(jīng)過演算，發(fā)現(xiàn)有些相似的路徑雖然思路是通的，但是構造出來的一元二次方程計算非常繁雜，只得放棄.

二、關于綜合題命題的一些思考

1.綜合題的系列小問盡量“看似并列，實質遞進”

就筆者認真研習全國各地中考試卷，特別是北京、上海等省會城市的中考試題最后一問，往往都是在一個題干之下系列生長出來的題組，往往“看似并列，實質遞進”，即看上去幾個小問之間并列式設計，互相條件不能混用，但是前問的解法、思路卻對后問的思考探究起著暗示、鋪墊的作用.而上文中考題的三個小問，特別是第（3）問與前面兩個小問基本缺少關聯(lián)，甚至讓題干也“提前枯萎”，似有遺憾和不足.

2.綜合題的命題導向重在“考查思維，淡化運算”

由于目前各地中考題的題量偏大，答題時間偏緊，如果在最后一道大題仍然有較大的運算量，特別是繁雜運算時，往往會影響試題考查的重要追求，即數(shù)學試題應該重在考查數(shù)學思維，而淡化運算.像上面的解法中，涉及很多分數(shù)、無理數(shù)系數(shù)的函數(shù)表達式，或線段的長都帶分數(shù)、無理數(shù)，且三角形三邊關系也不是學生熟悉的常見特殊三角形，使得學生盡管知道問題的思路，但是由于運算量繁雜而思路受阻，讓一些放棄最后大題的學生與認真思考的學生得分相近，使得該題的信度、效度都大打折扣.

3.綜合題中蘊含的問題結構盡量不涉及高中內(nèi)容

作為中考畢業(yè)、升學合一的考試，首先應該嚴守數(shù)學課程標準，不得“超標”，或者不得打擦邊球.最后一問隱含著費馬點模型，讓很多應試復習中通過題海戰(zhàn)術或補充過費馬點的學校與考生就能一眼洞察問題結構，造成命題背景上的不公平，這是值得命題者思考的.想起，前幾天有些地區(qū)的最后一道隱含著高中階段的拋物線的準線、焦點問題，帶來了相應地區(qū)在中考應試復習時以準線、焦點為專題的復習課研討，實在是“上有所好，下必趨之”.

三、變式研討

與教學一樣，命題也是一項充滿遺憾的藝術.知易行難，以下本著個人命題研究的興趣，給出筆者的一種變式改編題，提供批評.

變式改編題如圖6，已知一次函數(shù)y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C.點M是拋物線在第二象限上的一點，直線MC，AB相交于點N.

（1）求b，c的值；

（2）當N恰為線段AB的中點時，求點M的坐標；

（3）連接AM，BM，當△ABM的面積取得最大值時，求線段MN的長.

圖6

1.何明.由博返約，追求簡潔——一道“雙曲線”綜合題的命題過程［J］.中學數(shù)學（下），2015（11）.

2.劉東升.“并列”式問題與“遞進”式求解——由一則解題教學案例說起［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2012（8）.

3.夏盛亮.引導回歸教材，倡導開放取向——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學數(shù)學（下），2014（1）.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數(shù)學教學，2003（1，2，3）.H