將建模意識(shí)培養(yǎng)貫穿于知識(shí)發(fā)展過(guò)程中——以“多邊形的內(nèi)角和”為例

☉江蘇如皋高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初中殷瑾

將建模意識(shí)培養(yǎng)貫穿于知識(shí)發(fā)展過(guò)程中——以“多邊形的內(nèi)角和”為例

☉江蘇如皋高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初中殷瑾

數(shù)學(xué)模型是學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，具有較強(qiáng)的建模意識(shí)將有利于學(xué)生從復(fù)雜的問(wèn)題情境中抽取數(shù)量關(guān)系，找尋問(wèn)題解決的路徑.在初中階段，很多教師將培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)作為自己教學(xué)一項(xiàng)重要任務(wù)在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中加以落實(shí)，取得了很好的效果.現(xiàn)結(jié)合“多邊形的內(nèi)角和”的教學(xué)，談?wù)勥@些老師的做法，希望能給您帶來(lái)啟示.

一、新知教學(xué)：從公式到方程

新知教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.初中階段的每一次新知教學(xué)幾乎都會(huì)蘊(yùn)含一些數(shù)學(xué)模型.因而，獲取及應(yīng)用新知的過(guò)程也就成為了培養(yǎng)學(xué)生建模意識(shí)的過(guò)程.

案例1：“多邊形的內(nèi)角和”新知探究.

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)構(gòu)造不同的輔助線將多邊形分成若干個(gè)三角形，進(jìn)而得出多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式：W=180°（n-2）.接下來(lái)，教師提問(wèn)：在這個(gè)公式中有幾個(gè)未知數(shù)？（2個(gè)）如果給你一個(gè)未知數(shù)的值，這個(gè)公式變成什么了？（方程）在學(xué)生給出結(jié)論后，教師投影例題.

例題：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1980°，求它的邊數(shù).

學(xué)生自主解答，然后在小組和全班進(jìn)行交流.最后，教師就怎樣由公式出發(fā)建構(gòu)方程模型進(jìn)行了總結(jié).

簡(jiǎn)析：在多邊形的內(nèi)角和教學(xué)中，師生經(jīng)歷由特殊到一般的認(rèn)知?dú)v程后，獲得了內(nèi)角和公式，這個(gè)公式實(shí)際上是一個(gè)函數(shù)模型.教師針對(duì)公式的追問(wèn)：“這個(gè)公式中有幾個(gè)未知數(shù)”，將函數(shù)思想滲透其中；“如果給你一個(gè)未知數(shù)的值，這個(gè)公式變成什么了”，讓學(xué)生初步感知到了“兩個(gè)未知數(shù)”向“一個(gè)未知數(shù)”轉(zhuǎn)化帶來(lái)的豐碩成果——方程，這是學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，新的問(wèn)題，熟悉的模型，這是認(rèn)知的自然回歸.接下來(lái)的自主訓(xùn)練和互動(dòng)交流，將方程模型的應(yīng)用變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中，充分感知了“由公式到方程”的轉(zhuǎn)化歷程，獲得了體驗(yàn)，積累了經(jīng)驗(yàn)，同樣也提升了分析和解決問(wèn)題的能力.

二、對(duì)比練習(xí)：從個(gè)性到共性

對(duì)比練習(xí)，是指教師將一些蘊(yùn)含相同或相近數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題放在一起，在集中解答交流中培養(yǎng)學(xué)生利用同一數(shù)學(xué)模型分析和解決問(wèn)題能力的過(guò)程.對(duì)比練習(xí)，一般不超過(guò)三題為宜，出現(xiàn)時(shí)機(jī)在學(xué)生獲取新知后最佳.

圖1

案例2：“多邊形的內(nèi)角和”鞏固練習(xí).

在學(xué)生獲得多邊形內(nèi)角和公式并進(jìn)行簡(jiǎn)單鞏固后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算推理得出“多邊形的外角和為360°”的結(jié)論.在接下來(lái)的鞏固練習(xí)中，教師呈現(xiàn)了如下題組.

（1）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是30°，則它是___________邊形.

（2）如圖1，一塊實(shí)驗(yàn)田的形狀是三角形（設(shè)其為△ABC），管理員從BC邊上的一點(diǎn)D出發(fā)，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D處，則管理員從出發(fā)到回到原處在途中身體（）.

A.轉(zhuǎn)過(guò)90°B.轉(zhuǎn)過(guò)180° C.轉(zhuǎn)過(guò)270°D.轉(zhuǎn)過(guò)360°

（3）一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)向前走5cm，向左轉(zhuǎn)45°，繼續(xù)走5cm，再左轉(zhuǎn)45°，它以同樣的走法第一次走回A點(diǎn)時(shí)，共走了________cm.

學(xué)生自主解答，教師巡視指導(dǎo). 5分鐘后，教師讓學(xué)生展示了自己的結(jié)果及獲得結(jié)果的過(guò)程，在不斷強(qiáng)化對(duì)“多邊形的外角和為360°”這一結(jié)論認(rèn)知的同時(shí)，將三個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程中都涉及的圖形模型展示在黑板上，如圖2.

圖2

簡(jiǎn)析：教學(xué)“多邊形的外角和等于360°”，我們不能僅僅把它當(dāng)作一個(gè)文本結(jié)論，還要關(guān)注與這一文本高度關(guān)聯(lián)的圖形模型，這是學(xué)生化解很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本模型.所以教師在學(xué)生獲得文本結(jié)論后，通過(guò)三個(gè)題目的練習(xí)與交流，凸顯了圖形模型的作用和價(jià)值：題（1）只需用文本結(jié)論即可求解，題（2）在建構(gòu)外角的情況下用“多邊形的外角和為360°”，題（3）在將信息轉(zhuǎn)化成外角和后同樣需要借助圖形來(lái)理解“多邊形的外角和為360°”.這三個(gè)簡(jiǎn)單的看似有所區(qū)別的模型，實(shí)則其指向是一致的，都指向了圖形，這與教者最終歸納出具有共性特征的模型是完全一致的.

三、綜合訓(xùn)練：從單一到關(guān)聯(lián)

建模意識(shí)的培養(yǎng)，我們要關(guān)注單一數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，同時(shí)，還應(yīng)關(guān)注不同模型之間的轉(zhuǎn)化和關(guān)聯(lián).一方面，可以為學(xué)生提供不同的分析和解決問(wèn)題的路徑，另一方面，能夠不斷提升學(xué)生的建模能力，將知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化.

案例3：“多邊形的內(nèi)角和”訓(xùn)練提升.

新知教學(xué)及例題講評(píng)結(jié)束后，教師安排了如下綜合訓(xùn)練.

（1）若一個(gè)多邊形內(nèi)角和等于其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形是_______邊形.

（2）若一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角，其余各內(nèi)角之和是2570°，則這個(gè)角是______.

學(xué)生自主解答，5分鐘后，教師組織學(xué)生進(jìn)行小組交流和全班交流.

對(duì)于題（1），教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度給出解題思路：根據(jù)“內(nèi)角和是外角和的3倍”，得出內(nèi)角和為1080°，進(jìn)而用方程求解；根據(jù)“內(nèi)角和是外角和的3倍”和“一個(gè)內(nèi)角和其相鄰的外角互補(bǔ)”得出這個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為135°，列方程135n=180（n-2）求出邊數(shù)；根據(jù)“內(nèi)角和是外角和的3倍”和“一個(gè)內(nèi)角和其相鄰的外角互補(bǔ)”得出多邊形的每一個(gè)外角為45°，利用外角和直接求得邊數(shù).

對(duì)于題（2），由于絕大多數(shù)學(xué)生是通過(guò)算術(shù)的方法估算邊數(shù)的，所以教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)列不等式組求解.

簡(jiǎn)析：在學(xué)生獲得“四基”過(guò)程中，教師有一個(gè)重要的任務(wù)是幫助學(xué)生建構(gòu)有效的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)其知識(shí)的系統(tǒng)化.在“訓(xùn)練提升”環(huán)節(jié)，教師將一些本課的或與本課知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型隱藏到兩道數(shù)學(xué)題中，以解答和交流直觀展示其生成和應(yīng)用過(guò)程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)和能力.

數(shù)學(xué)模型，來(lái)自于學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程之中，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上也是數(shù)學(xué)知識(shí)生成和發(fā)展的過(guò)程.所以培養(yǎng)建模意識(shí)應(yīng)與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展進(jìn)程緊密契合.作為一線教師，我們所要做的就是：在知識(shí)生成過(guò)程中，讓學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型；在知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用過(guò)程中，提煉共性特征，呈現(xiàn)應(yīng)用范圍較大的數(shù)學(xué)模型；在綜合訓(xùn)練中，將數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)起來(lái)，促進(jìn)模型的網(wǎng)絡(luò)化.總之，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型化解數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)并不是一時(shí)半會(huì)就能養(yǎng)成的，這需要教師能時(shí)刻關(guān)注模型的建構(gòu)與應(yīng)用，將它們安放在學(xué)生的視野中，以有效的練習(xí)與交流促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.Z