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    畫(huà)好圖 探出路 定相似

    2016-12-01 19:44:12胡華春
    初中生世界·九年級(jí) 2016年11期
    關(guān)鍵詞:外角過(guò)點(diǎn)頂點(diǎn)

    胡華春

    相似三角形在中考中占有十分重要的地位,現(xiàn)就中考中常見(jiàn)的與相似三角形有關(guān)的存在性問(wèn)題和同學(xué)們一起來(lái)研究解題策略與方法.

    問(wèn)題1 (改編自蘇州市2007年中考第29題)平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-1,0)、B(4,0)、D(1,-3)和E(6,7),如圖1.連接AE、BE、BD.在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

    這是典型的不定三角形與定三角形的相似問(wèn)題,因此,我們要嘗試尋找△AEB與△PBD之間是否有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

    △AEB中,由三頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出三條邊長(zhǎng),過(guò)點(diǎn)E做EF⊥x軸于點(diǎn)F,如圖2,AB=5,AE=[72],BE=[53],同時(shí)可得∠EAB=45°.

    △PBD中,不妨先假定一個(gè)點(diǎn)P,如圖2.當(dāng)點(diǎn)P在x軸上點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),可以發(fā)現(xiàn)邊BD 和∠PBD是不變的,其他的邊和角都隨點(diǎn)P的位置的改變而改變.此時(shí),動(dòng)中取靜,先計(jì)算BD和∠PBD,以靜制動(dòng).過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G,可得BD=[32],∠PBD=45°.

    從而∠EAB=∠PBD=45°,△PBD中的定角∠PBD為45°,與△AEB中的∠EAB成為對(duì)應(yīng)角.

    根據(jù)相似三角形的判定方法,已知一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等時(shí),再尋找另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等或者尋找?jiàn)A這組對(duì)應(yīng)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可.要解決點(diǎn)P的坐標(biāo),即要解決與點(diǎn)P有關(guān)的線段的長(zhǎng).因此,選擇夾∠EAB和∠PBD的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例來(lái)使這兩個(gè)三角形相似.但是線段BP的長(zhǎng)度是可以改變的,也就是夾這兩個(gè)角的兩組邊對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定,需要分兩種情況:

    [PBBD]=[ABAE]或[PBBD]=[AEAB].

    代入相關(guān)數(shù)據(jù),可得PB=[157]或[425],從而點(diǎn)P[137,0]或[-225,0].

    當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),∠PBD=135°,顯然△PBD中不可能有45°角,從而與△AEB不可能相似.

    問(wèn)題2 (改編自蘇州市2012年中考第29題)如圖3,平面直角坐標(biāo)系中,A(1,0),B(b,0),C[0,b4],b>2 ,請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似(全等可作相似的特殊情況)?如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    本題是三個(gè)不定三角形之間的兩兩相似問(wèn)題,可以按照問(wèn)題1的步驟去思考,看是否能確定某兩個(gè)三角形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,盡可能找出隱含條件出來(lái).先在第一象限任意取一點(diǎn)Q,連接CQ、OQ、AQ、BQ,如圖4,容易發(fā)現(xiàn)△QCO和△QOA有公共邊,△QOA和△QAB不僅有公共邊,而且有一條邊在同一直線上.∠QAB是△QOA的外角,由三角形的外角大于與之不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角可得,∠QAB>∠OQA,∠QAB>∠QOA.而要△QOA和△QAB相似,必須這兩個(gè)三角形中有對(duì)應(yīng)相等的角,則有∠QAB=∠QAO=90°,從而只需夾這兩個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可.此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1,縱坐標(biāo)就是線段AQ的長(zhǎng).

    由于點(diǎn)Q的位置不確定,△QOA和△QAB中另外的兩對(duì)角的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定,所以[AQAO]=[ABAQ]或[AQAO]=[AQAB],代入數(shù)據(jù),可得AQ2=b-1或b-2,顯然b-2應(yīng)舍去.即當(dāng)△QOA∽△BQA時(shí)符合題意,可得∠OQB=90°,如圖4.

    △QCO和△QOA要相似,則△QCO必為直角三角形,又∠COQ不可能為90°,故∠OCQ=∠QAO=90°或∠CQO=∠QAO=90°.

    當(dāng)∠OCQ=∠QAO=90°時(shí),如圖4,△QCO≌△OAQ,從而AQ=OC=[b4],得[b4][2]=b-1,b=8±[43],顯然,AQ=[2+3].

    當(dāng) ∠CQO=∠QAO=90°時(shí),又∠OQB=90°,得點(diǎn)C、Q、B在一直線上,如圖5.

    此時(shí),圖5中的所有直角三角形均兩兩相似,從而由△COB∽△OAQ得,[OCOA]=[OBAQ],得[b4]=[bAQ],AQ=4.

    所以,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,[2+3])或(1,4)時(shí)滿足題意.

    上述兩個(gè)問(wèn)題的解決關(guān)鍵點(diǎn)是尋找兩個(gè)三角形中的一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等這一隱含條件.而尋找這個(gè)隱含條件的方法就是結(jié)合草圖,計(jì)算相關(guān)圖形中的邊角或運(yùn)用邊角關(guān)系排除不相等的角,從而確定一個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).然后,進(jìn)行分類(lèi)討論,列出與所求相關(guān)的比例式,即可求解.

    (作者單位:江蘇省常熟市海虞中學(xué))

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