線上三等角 筆下尋相似

蘇科版《數(shù)學(xué)》九（下）第56頁例3：

已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，且∠BDE=∠CAD.△ADE與△ABD相似嗎？為什么？

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，由三角形的外角性質(zhì)和已知條件得出∠ADE=∠C，因此∠B=∠ADE，∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD.

解：△ADE與△ABD相似.

∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE，

∠BDE=∠CAD，

∴∠ADE=∠C.

又∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∴∠ADE=∠B.

∵∠DAE=∠BAD，

∴△ADE∽△ABD（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）.

上述例題中，可知點(diǎn)B、D、C在同一直線上，且滿足∠B=∠ADE=∠C，這樣一個(gè)基本圖形，我們稱之為“K型圖”，得△ACD∽△DBE.翻看全國各地中考數(shù)學(xué)試卷，以 “K型圖”為載體的中考試題頻頻出現(xiàn)，精彩紛呈.現(xiàn)歸納幾種常見模型，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

模型一

如圖1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=∠ACE=90°，點(diǎn)B、C、D在同一直線上，則△ABC∽△CDE.

【分析】由∠BCE是△CDE外角，可知∠ACB+∠ACE=∠D+∠E，故可知∠ACB=∠E，根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，可知△ABC∽△CDE.

（1）直接應(yīng)用：

如圖2，正方形ABCD的邊長為1cm，M、N 分別是BC、CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN.當(dāng)BM= cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大.

【分析】利用模型一，易證△ABM∽△MCN.

設(shè)BM=x，則CM=1-x，由相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例得CN=x-x2，所以S四邊形ABCN=[12]（1+x-x2），配方可得，當(dāng)BM=[12]時(shí)，面積最大.

（2）構(gòu)造應(yīng)用：

很多時(shí)候，題目中的圖形并不是模型一直接出現(xiàn)的，但符合“K型圖”特征，那么我們需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出模型一中的基本圖形.

如圖3，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=[4x]（x>0）的圖像上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=-[9x]（x<0）的圖像上，∠AOB=90°，則[OBOA]的值為 .

【分析】通過添加輔助線，構(gòu)造模型一中的基本圖形，易證△ACO∽△ODB，由相似圖形的面積比等于相似比的平方，得[S△ODBS△ACO]=[OBAO]2=[94]，所以[OBAO]=[32].

模型二

如圖4，已知點(diǎn)B、C、D在同一直線上，且∠B=∠1=∠D，則△ABC∽△CDE，證明方法與相似模型一相同.

[圖4]

直接應(yīng)用：

如圖5，△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα=[45].下列結(jié)論：

①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD=6時(shí)，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或[252]；④0

【解析】利用模型二，易證△ABD∽△DCE，故可知正確答案為①②③④.

上述兩種基本模型，可以簡單歸納為：一線三等角，相似兩三角（形）.實(shí)際解題時(shí)，若能把握?qǐng)D形本質(zhì)，排除圖形干擾，在復(fù)雜的圖形中構(gòu)造出“K型圖”，寫出圖中的一對(duì)相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的有關(guān)性質(zhì)列出所需的比例式，則能化難為易，快速解題.

（作者單位：江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）