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    借力課本習題 拓展基本圖形

    2016-12-01 19:45:37許歡
    初中生世界·九年級 2016年11期
    關(guān)鍵詞:過點等腰三角直角三角形

    許歡

    蘇科版《數(shù)學》九年級下冊第57頁的練習3:如圖,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足為E.圖中有哪些三角形與△ABC相似?為什么?

    矩形被一條對角線分得的兩個三角形全等,而直角三角形斜邊上的高把原直角三角形分成兩個直角三角形,這兩個三角形都和原三角形相似.所以圖中△ADC、△ADE、△CDE與△ABC都相似.

    上題中出現(xiàn)了一個基本圖形(見下面圖1).其實在研究數(shù)學問題中,若能捕獲到一些基本圖形,則會縮短我們的思維路徑,提升解題效率.

    在相似三角形的學習中出現(xiàn)并整理過多種基本圖形,這里以“垂直型”為例:如圖1 “雙垂直共角共邊型”(也稱“射影定理型”) ;如圖2“雙垂直共角型”;如圖3 “三垂直型”.

    在2016年蘇州市中考試卷中就有類似考題能用這些基本圖型來解答.

    例1 如圖4,在平面直角坐標系中,已知點A、B的坐標分別為(8,0)、(0,[23]),C是AB的中點,過點C作y軸的垂線,垂足為D,動點P從點D出發(fā),沿DC向點C勻速運動,過點P作x軸的垂線,垂足為E,連接BP、EC.當BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時,點P的坐標為 .

    【解析】如圖4,當BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時,即BP⊥EC,垂足為點F時,出現(xiàn)“雙垂直共角共邊型”,得△CPF∽△CEP,另外在BF、DC相交所形成的“8字型”中,有一對對頂角相等,一對直角相等,可得△CPF∽△BPD,進而有△CEP∽△BPD,可以列出有關(guān)DP、PE的比例式,再根據(jù)“坐標及平行線分線段成比例”即可得答案.求得點P的坐標為(1,[3]).

    例2 如圖5,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點P從點B出發(fā),沿對角線BD向點D勻速運動,速度為4cm/s,過點P作PQ⊥BD交BC于點Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點N落在射線PD上,點O從點D出發(fā),沿DC向點C勻速運動,速度為3m/s,以O(shè)為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點P與點O同時出發(fā),設(shè)它們的運動時間為t(單位:s)[0

    (1)如圖5,連接DQ,當DQ平分∠BDC時,t的值為 ;

    (2)如圖6,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值.

    【解析】(1)由正方形PQMN,可得QP⊥BD,結(jié)合△BCD,出現(xiàn)“雙垂直共角型”,可得 △BPQ∽△BCD,從而求出PQ、BQ,再根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得PQ=CQ.

    (2)作ME⊥BC于點E(如圖6).

    △QEM和△BPQ之間出現(xiàn)類似“三垂直型”,即△QEM∽△BPQ,進而可得△QEM∽△BCD,再結(jié)合等腰三角形“三線合一”性質(zhì),即可得到答案.

    略解:(1)1; (2)t=[4049](s).

    掌握一些相似三角形的基本圖形,將它們與其他知識點充分結(jié)合,透過外形看清本質(zhì),一定能夠快速地獲取解決此類問題的思路與方法.

    (作者單位:江蘇省常熟市實驗中學)

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