Level Set方法在Z切石英各向異性濕法刻蝕模擬中的應(yīng)用

東南大學(xué)，江蘇南京 211189

一、引言

石英各向異性濕法刻蝕可以用來加工一些特殊結(jié)構(gòu)，如陣列結(jié)構(gòu)、音叉[1]等，在傳感器中應(yīng)用廣泛。但也正是由于各向異性的存在，使得石英濕法刻蝕微結(jié)構(gòu)設(shè)計對理論和經(jīng)驗要求較高。從工程應(yīng)用的角度，希望找到一種有效的方法準(zhǔn)確模擬石英在加工不同時間段的三維形貌，輔助掩膜設(shè)計，充分開發(fā)各向異性濕法刻蝕微加工工藝的潛能[2]。

在進行石英各向異性濕法刻蝕形貌數(shù)值模擬時，所要追蹤模擬的刻蝕界面曲面本身是高維的，同時又因為各向異性的存在，在石英表面法向存在不同的刻蝕速度。這種演變過程與Level Set所描述的曲面變化特點極其吻合?？梢詫evel Set方法應(yīng)用到石英各向異性濕法刻蝕模擬中，實現(xiàn)其工程應(yīng)用價值。

二、Level Set方法

1、Level Set函數(shù)構(gòu)建

Level Set(LS)方法是Osher 和 Sethian[3]提出的一種隱式追蹤運動界面的方法。該方法的主要思想是將需要追蹤的運動曲線（曲面）嵌入到高一維的函數(shù)中，將其表示為該函數(shù)的零等值線（面），這樣避免了對追蹤曲線（面）的參數(shù)化表示，在復(fù)雜運動界面追蹤和數(shù)值模擬中優(yōu)勢明顯。

以曲線為例，有許多方法可以實現(xiàn)曲線的追蹤，最簡單的方法是將曲線直接表示為函數(shù)y=f(x,t)。但很多情況下卻做不到，如閉合曲線。如圖1(a)所示，圓形封閉曲線上一個x會對應(yīng)多個y值。這時可以根據(jù)LS的思想，將圓形曲線嵌入到高一維的函數(shù)中，將圓形曲線表示為該函數(shù)的零等值線，如圖1(b)所示。

LS方法還可以很容易的表示曲線或曲面的拓撲變化，如斷裂、融合，這在MEMS加工工藝，如刻蝕、沉積中經(jīng)常出現(xiàn)。

2、曲面控制方程

式中，VN—晶面刻蝕速率；

LS函數(shù)需要有足夠的光滑性，并且在零等值面附近法向單調(diào)，可以將LS函數(shù)表示為相對于石英刻蝕界面的符號距離函數(shù)，即滿足。

3、LS方程求解

方程（1）是依賴于時間的一階雙曲型偏微分方程，且是Hamilton-Jacobi方程

的一種具體形式。由于石英各向異性濕法刻蝕的特殊性，Hamilton函數(shù)是非凸函數(shù)[4]，采用Lax-Friedrichs(LF)格式[5]進行方程的數(shù)值求解。（1）式的LF數(shù)值求解形式可以寫成下式：

式中，αx,αy,αz—耗散系數(shù)，可表示為：

式中，u,v,w—石英晶面刻蝕速率VN在x,y,z三個方向的分量。

根據(jù)（2）（3），即可完成對（1）式的數(shù)值求解。通過不斷更新LS函數(shù)，追蹤石英刻蝕界面，實現(xiàn)石英刻蝕形貌的實時模擬。

4、LS函數(shù)重新初始化

為保證石英刻蝕模擬有較高的精度和穩(wěn)定性，LS函數(shù)必須保持為符號距離函數(shù)。但數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明方程（1）的解并不是符號距離函數(shù)[6]。因此，需要每隔一段時間對LS函數(shù)進行重新初始化[7]。

LS函數(shù)重新初始化有兩點要求：

（1）零等值線的位置不變；

（2）初始化后的函數(shù)為符號距離函數(shù)[7]。

常用的重新初始化方法有直接法、程差方程顯示法[8]、偏微分方程隱式迭代法[9]。其中顯示方法在零等值面的提取階段存在數(shù)值近似，缺點明顯。因此，選用偏微分方程隱式迭代法進行LS函數(shù)重新初始化。

偏微分方程隱迭代法重構(gòu)符號距離函數(shù)由Sussman[9]等提出，一般構(gòu)造如下Hamilton-Jacobi類偏微方程：

式中，τ—時間；

—初始化前的LS函數(shù)；

—初始化后得到的LS函數(shù)。

舉例說明重新初始化的作用。設(shè)橢圓曲線方程如下：

橢圓曲線沿著法向向外擴散。為了追蹤曲線的運動，將橢圓曲線嵌入到高一維的LS函數(shù)中，如式（7）所示，橢圓曲線為其零等值線：

函數(shù)（7）的等值線圖如圖2所示。從圖2等值線的分布情況可知初始的LS函數(shù)并不是關(guān)于零等值線的符號距離函數(shù)。

根據(jù)式（4）（5）對初始構(gòu)建的LS函數(shù)進行初始化。初始化迭代50, 200, 300步后的函數(shù)等值線圖如圖3所示。

比較迭代200步和300步的等值線圖，可以發(fā)現(xiàn)迭代200步后方程已經(jīng)收斂，此時的LS函數(shù)為關(guān)于零等值線的符號距離函數(shù)。觀察迭代50步的等值線圖可知，在迭代步數(shù)較少時，零等值線附近數(shù)據(jù)點最先滿足符號距離函數(shù)的要求。石英刻蝕模擬時可以利用這一點，提高計算效率。初始化前后LS函數(shù)梯度的模值如圖4所示。初始化后除了原點附近的少數(shù)幾個點外，其他各點處的梯度模值都近似為1達到了初始化的目的。石英刻蝕模擬初始化過程與之類似，只是將曲線轉(zhuǎn)變?yōu)榱饲妗?/p>

三、石英濕法刻蝕模擬

為了借助LS方法準(zhǔn)確模擬石英三維刻蝕形貌，首先須獲得完整的石英濕法刻蝕全速率圖，即VN。Cheng D[11]采用石英半球濕法刻蝕的實驗的方法獲得了α-石英在80℃飽和氟化氫銨（HF:NH4F=3:2）中的刻蝕全速率圖。借助LS方法進行有掩膜石英晶片刻蝕形貌模擬，算法流程如圖5所示。根據(jù)石英襯底大小、厚度，定義初始LS函數(shù)，并構(gòu)建函數(shù)演化方程；LS函數(shù)在石英刻蝕速度場中演化；通過追蹤LS函數(shù)零等值面的位置，確定刻蝕形貌。算法重點在于石英刻蝕速率的對應(yīng)以及根據(jù)掩膜位置進行LS函數(shù)的重新初始化。

依據(jù)圖5所示流程圖，在MATLAB軟件中開發(fā)了石英濕法刻蝕形貌模擬程序。不同掩膜形狀Z切石英刻蝕形貌SEM圖和模擬結(jié)果如圖6所示。

槽寬為150μm矩形凹槽刻蝕80min刻蝕形貌如圖6(a)所示，側(cè)壁三個主要特征晶面與（0001）面的夾角分別為45°、32°、55°。依據(jù)開發(fā)出的算法程序模擬得到的側(cè)壁特征晶面，傾角分別為43°、35°、55°，可見模擬結(jié)果能很好地反應(yīng)實際特征晶面，這在工程應(yīng)用中十分重要。

邊長為20μm的三角形凸臺實驗與模擬結(jié)果對比如圖6(b)所示。模擬結(jié)果較好地反應(yīng)了實際刻蝕時凸角處特征晶面的演化，體現(xiàn)出了LS方法處理復(fù)雜運動界面的能力。

圖6(c)為直徑200μm圓形凹槽刻蝕80min實驗?zāi)M結(jié)果圖，實驗得到的三個交匯面與（0001）面的夾角為35°，模擬值為32°。

從實驗圖與模擬圖的對比可以看出，開發(fā)的模擬程序已經(jīng)可以較為準(zhǔn)確地模擬出石英實際刻蝕形貌。在掩膜設(shè)計和刻蝕時間參數(shù)設(shè)置時可以用該模擬程序模擬結(jié)果作為參考，減少實驗成本。

四、結(jié)論

詳細介紹了LS方法在石英濕法刻蝕模擬中的應(yīng)用，包括構(gòu)建初始LS函數(shù)、控制方程、數(shù)值解法以及重新初始化。借助開發(fā)的石英濕法刻蝕模擬程序，對Z切石英刻蝕形貌進行了模擬。通過和實驗結(jié)果的對比，表明開發(fā)的算法程序是穩(wěn)定有效的，具有工程應(yīng)用價值。