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    不走尋常路不一樣的精彩——例談避免分類討論的解題策略

    2016-11-25 08:25:07江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)季小明
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年5期
    關(guān)鍵詞:主元偶函數(shù)實(shí)數(shù)

    ☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué) 季小明

    不走尋常路不一樣的精彩——例談避免分類討論的解題策略

    ☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)季小明

    分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)于其中有些問題,因?yàn)榉诸愑懻撜撌鲚^長(zhǎng),討論過程往往十分煩瑣,而且容易討論不完整造成解題失誤.但如果我們把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)注入“生命”的靈動(dòng),注意克服思維定勢(shì),力求簡(jiǎn)化分類討論甚至避免分類討論,以求解法的簡(jiǎn)捷,從而提高解題速度和解題的準(zhǔn)確性.因此,我們提倡在熟悉和掌握分類討論思想的同時(shí),要注意如何避免討論,本文從幾個(gè)方面論述,避免討論的對(duì)策,以供參考.

    一、換個(gè)視角更換主元避免分類討論

    在解答有些題目時(shí),若把x看作主元就必須分類討論,則不妨換個(gè)視角,更換主元,結(jié)果可能會(huì)大不一樣,取得較好的效果.

    例1已知x為非零實(shí)數(shù),且x2-2ax≥0對(duì)任意的a∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

    分析:常規(guī)方法是把x看作主元進(jìn)行分類討論,則比較復(fù)雜,此時(shí)不妨換個(gè)視角,更換主元,把a(bǔ)當(dāng)作主元,則結(jié)果大不一樣.

    解:我們視x2-2ax為關(guān)于a的函數(shù),記f(a)=x2-2ax= -2x·a+x2,則對(duì)任意的a∈[-1,1],關(guān)于a的一次函數(shù)f(a)=x2-2ax=-2x·a+x2的函數(shù)值總大于等于零的充要條件是解得x≤-2或x≥2.

    因此,實(shí)數(shù)x的取值范圍為x≤-2或x≥2.

    點(diǎn)評(píng):此題中,直接視為a的函數(shù),簡(jiǎn)單便捷,避免了討論.

    二、利用數(shù)形結(jié)合避免分類討論

    利用數(shù)形結(jié)合的思想,由函數(shù)圖像的幾何直觀性往往可以避免分類討論.

    例2若關(guān)于x的不等式|x-1|≤ax(a≠0)的解集為閉區(qū)間[m,n],其中m<n,求實(shí)數(shù)m,n∈R的取值范圍.

    分析:對(duì)于此絕對(duì)值不等式,常規(guī)方法是去絕對(duì)值,按x≥1和x<1討論,在每一類中解不等式時(shí)又要對(duì)a進(jìn)行討論,過程極其復(fù)雜.利用數(shù)形結(jié)合的思想,由函數(shù)圖像的幾何直觀性則可以避免分類討論,且過程簡(jiǎn)捷.

    解:分別作出函數(shù)y=|x-1|和y=ax(a≠0)的圖像,如圖1所示.

    由圖像可知,解集為閉區(qū)間[m,n],當(dāng)且僅當(dāng)0<a<1.

    因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍為0<a<1.

    圖1 

    點(diǎn)評(píng):通過轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的圖像,只需觀察圖像,平移圖像,即可直觀得到正確結(jié)果.

    三、利用函數(shù)性質(zhì)避免分類討論

    在解答有些題目時(shí),若結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱特點(diǎn)可以避免分類討論.

    例3已知f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),且在[0,1]上遞增,若f(1+m)<f(2m),求m的取值范圍.

    分析:常規(guī)方法是根據(jù)函數(shù)的定義域,1+m,2m∈[-1,1],但是1+m和2m在[-1,0],[0,1]的哪個(gè)區(qū)間內(nèi),于是就分類討論,這樣非常復(fù)雜.如果注意到偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性,則可知道偶函數(shù)滿足f(x)=f(-x)=f(|x|),從而可以避免分類討論.

    解:由于f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),則由其圖像的對(duì)稱性可知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x)=f(|x|),從而不等式f(1+m)<f(2m)可轉(zhuǎn)化為f(|1+m|)<f(|2m|).又因?yàn)閒(x)在[0,1]上遞增,則有解得-

    點(diǎn)評(píng):只要我們?cè)诮忸}中注意克服思維定勢(shì),處理好“分”與“合”、“局部”與“整體”之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系,充分挖掘求解函數(shù)問題中潛在的特殊性與簡(jiǎn)單性,往往就能夠避免分類討論,這也是分類討論的思想方法中數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的最高層次.

    四、利用分離參數(shù)避免分類討論

    分離參數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題中的重要數(shù)學(xué)方法,利用分離參數(shù)往往能夠避免分類討論,從而使得解題簡(jiǎn)便,并且提高正確率.

    解析:原問題等價(jià)于x2+2ax+a>0在x≥1時(shí)恒成立,即,所以只需a>即可.

    例5設(shè)f(x)是R上的減函數(shù),且不等式f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)對(duì)于x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    解析:原不等式等價(jià)于a2-sinx≥a+1+cos2x對(duì)x∈R恒成立,即a2-a≥1+sin+cos2x,令g(x)=1+sinx+cos2x=

    點(diǎn)評(píng):上述兩例通過分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求最值,避免了對(duì)二次函數(shù)單調(diào)性的討論.

    五、利用正難則反的原則避免分類討論

    當(dāng)所給出的問題直接解決比較復(fù)雜,所討論的方面較多時(shí),就可以考慮從它的反面,即對(duì)立面考慮,最后再取補(bǔ)集.

    例6給出兩個(gè)命題,命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集為?;命題乙:函數(shù)f(x)=(2a2-a)x為增函數(shù).若甲、乙至少有一個(gè)是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    命題乙為真命題時(shí),2a2-a>1?a>1或a<

    因?yàn)榧住⒁抑辽儆幸粋€(gè)是真命題,其反面為:甲、乙都是假命題.所以當(dāng)甲、乙都是假命題時(shí),故甲、乙至少有一個(gè)是真命題時(shí)a的范圍為a>

    點(diǎn)評(píng):有些題目正面分類情況較多,而其反面卻只有一種情況,這時(shí)可從反面入手,避免討論.

    六、運(yùn)用整體思想避免分類討論

    整體思想是指在宏觀上把握問題的實(shí)質(zhì),不要過分在一些細(xì)節(jié)問題上糾纏不清,要注意各條件之間的聯(lián)系,思考問題時(shí)要有大局觀點(diǎn).采用整體思想解題常常會(huì)收到意想不到的效果.

    1.采用整體換元避免分類討論

    分析:常用的方法是分類討論,解題過程冗長(zhǎng).據(jù)題設(shè)條件,不妨把z+看作一個(gè)整體,則可避免討論,大大簡(jiǎn)化解題過程.

    綜上所述,知z=1±3i,z=3±i.

    點(diǎn)評(píng):通過整體換元,尋覓到解題捷徑,優(yōu)化了解題過程,去除了分類討論,讓人拍手叫絕.

    2.采用整體變形避免分類討論

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