緊扣“細(xì)節(jié)”，讓高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)難題不再難

☉江蘇省姜堰中學(xué)　李彥

緊扣“細(xì)節(jié)”，讓高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)難題不再難

☉江蘇省姜堰中學(xué)李彥

隨著新課改的不斷發(fā)展與深化，高中數(shù)學(xué)課本教材中關(guān)于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容在編排結(jié)構(gòu)和內(nèi)容安排上發(fā)生了較大的變化，淡化極限突出導(dǎo)數(shù)是最明顯的變化；導(dǎo)數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要內(nèi)容，同時也是處理函數(shù)難題必不可少的重要“利器”；近年來，導(dǎo)數(shù)是高考中必考內(nèi)容之一；實(shí)踐表明：高考中導(dǎo)數(shù)考查主要涉及導(dǎo)數(shù)的概念與意義、運(yùn)算法則與公式、綜合應(yīng)用等；不少學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)難題存在一定的懼怕心理，在處理實(shí)際問題的過程中，稍有不慎就容易掉入導(dǎo)數(shù)難題所設(shè)置的“陷阱”之中；筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)多年來，一直比較關(guān)注學(xué)生解題能力提升的探究與思考，本文以導(dǎo)數(shù)中的疑難和易錯問題為研究載體，重點(diǎn)闡述通過對問題細(xì)節(jié)的剖析，形成處理難題的有效途徑與方法，希望讀者能夠從中有所領(lǐng)悟，以便在處理導(dǎo)數(shù)問題時能夠做到“得心應(yīng)手、駕輕就熟、游刃有余”.

一、利用導(dǎo)數(shù)處理切線方程問題時，注重題設(shè)信息的細(xì)致分析與思考，謹(jǐn)防“大意失荊州”

函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y= f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處切線的斜率，即曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線斜率為k=f′（x0），則曲線的切線方程為y-y0= k（x-x0）；在處理這類問題的過程中應(yīng)該注意的是：函數(shù)y=f（x）在x=x0處不可求導(dǎo)并不能說明曲線在該點(diǎn)不存在切線；對于已知點(diǎn)P（x0，y0）的特征性質(zhì)的判斷必須準(zhǔn)確無誤；否則容易掉入命題者設(shè)置的“陷阱”之中.

變式1：試求：過點(diǎn)（2，6）的曲線y=f（x）=x3+2（x∈R）的切線的斜率.

錯解：根據(jù)題意可得f′（x）=3x2，則在點(diǎn)（2，6）處的切線的斜率k=f′（2）=12.

分析：由于已知點(diǎn)不在函數(shù)圖像上，并不是該曲線的切點(diǎn)，不能直接用導(dǎo)數(shù)求解斜率.

正解：根據(jù)題意可知點(diǎn)（2，6）不在曲線y=f（x）=x3+2上，令切點(diǎn)坐標(biāo)為P（x0，2），則在點(diǎn)P處切線的斜率為k=f′（x0）=則切線方程為由于點(diǎn)（2，6）在切線上，則6-（+2）=0，解得x0=1或x0=1±，則切線的斜率k=3或k=12±63.

變式2：試求：過點(diǎn)（1，2）的曲線y=f（x）=x3-x+2（x∈R）的切線方程.

錯解：根據(jù)題意可得f′（x）=3x2-1，則在點(diǎn)（1，2）的切線斜率k=f′（1）=2，則切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x.

分析：本題已知點(diǎn)（1，2）在曲線上，但是題設(shè)中沒有明確說明該點(diǎn)是切點(diǎn)，從而導(dǎo)致少解的現(xiàn)象出現(xiàn).

正解：令曲線的切點(diǎn)為P（x0，y0），則y0=x0+2，且切線斜率k=f′（x）=則曲線的切線方程為y-y=（3x2-

000 1）（x-x0），即2-y0=-1）（1-x0），綜合以上可得x0=1或x=-則k=2或k=-，即切線方程為y=2x或y=-1x+04

反思：高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查題型主要集中在切線方程和斜率問題上，這類題目易錯點(diǎn)在于對題目內(nèi)涵的理解，曲線y=f（x）在點(diǎn)P的切線與曲線過點(diǎn)P的切線是兩個相似但不相同的題設(shè)條件，容易讓學(xué)生混淆不清，曲線在切點(diǎn)P的切線只有一條，但是曲線過點(diǎn)P的切線往往超過一條，在處理這類問題時特別要注意判斷所涉及的點(diǎn)是否在曲線上，是不是切點(diǎn)等，只有洞悉題設(shè)中蘊(yùn)藏的“玄機(jī)”，才能夠有效逃避命題者的“陷阱”.

二、利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)性質(zhì)極值和最值問題時，注重解決問題環(huán)節(jié)的辨析與細(xì)化，務(wù)必做到“小心謹(jǐn)慎”

導(dǎo)數(shù)是處理函數(shù)極值和最值問題的重要方法之一，利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)極值和最值問題的研究一直受到高考命題專家的青睞，基本上是每年高考的必考題型之一，處理這類問題的基本策略是：首先，在理解函數(shù)極值概念的基礎(chǔ)之上，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），令f′（x）=0求出實(shí)數(shù)根，此時對應(yīng)的點(diǎn)為“疑似”極值點(diǎn)；其次，對函數(shù)在疑似點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性進(jìn)行分析，從而判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，求出極值；最后，搞清楚極值是一個局部概念，最值是某個區(qū)間的整體性概念，通過計算閉區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值后綜合確定函數(shù)最值.

解析：根據(jù)題意可得列表如下：

x（-∞，-1）-1（-1，0）0，1（）1（）1 222+∞f′（x）+0--0+ f（x）↗極大值↘↘極小值↗

由表知f（x）的極大值是f（-1）=e-1，f（x）的極小值是

變式1：已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+nx+m2在x=1處存在極值且等于10，試求：mn的值.

錯解：由題意得f′（x）=3x2+2mx+n，由于函數(shù)在x=1處存在極值為10，則則mn=-9或mn=-44.

分析：本題錯誤主要來自于學(xué)生對函數(shù)極值概念的理解不夠?qū)е碌模鲆暳藢Α耙伤啤睒O值點(diǎn)的進(jìn)一步判定，只是滿足于求出數(shù)值后安于現(xiàn)狀，沒有注意細(xì)節(jié)的處理，從而導(dǎo)致出現(xiàn)增解的錯誤.

正解：由題意得f′（x）=3x2+2mx+n，由于函數(shù)在x=1處存在極值為10，則

變式2：已知函數(shù)f（x）=x（x-a）2在x=2處存在極大值，試求：常數(shù)a的值.

錯解：根據(jù)題意得f′（x）=（x-a）2+2x（x-a）=（x-a）（3xa），令f′（2）=0，解得a=2或a=6.

分析：由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值等于零并不是該點(diǎn)成為極值點(diǎn)的充要條件，題中求解的根沒有進(jìn)行根的合理性驗證，從而導(dǎo)致多解的錯誤情況發(fā)生.

正解：根據(jù)題意得f′（x）=（x-a）2+2x（x-a）=（x-a）（3xa），令f′（2）=0，解得a=2或a=6；將a=2和a=6分別代入函數(shù)，檢驗得到在x=2處取得極小值和極大值；所以a=6符合題意.

反思：在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值問題的過程中，務(wù)必要注意函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，實(shí)際處理過程中要根據(jù)函數(shù)極值的定義（列表法）進(jìn)行判斷、檢驗；如果忽視這些環(huán)節(jié)的細(xì)化處理，很容易出現(xiàn)錯誤；同時還要注意“極值與最值”的本質(zhì)區(qū)別，切勿“混淆不清”.

總而言之，縱觀歷年來的高考數(shù)學(xué)試題，我們不難發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)數(shù)考查的力度越來越大，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有效工具，側(cè)重于函數(shù)的綜合性質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法的考查，這也提醒我們一線的高中數(shù)學(xué)教師，在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，注重導(dǎo)數(shù)問題考查內(nèi)容和形式的細(xì)節(jié)分析與思考，讓導(dǎo)數(shù)真正體現(xiàn)其工具性的強(qiáng)大功能與無限魅力，讓學(xué)生不再為導(dǎo)數(shù)問題而感到“頭疼”，進(jìn)而提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識處理實(shí)際問題的能力.F