一道導(dǎo)數(shù)題的探究歷程與感悟

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)鑒湖中學(xué)　張愛萍

一道導(dǎo)數(shù)題的探究歷程與感悟

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)鑒湖中學(xué)張愛萍

在解題中我們經(jīng)常會面對一些思維困境，這些困境產(chǎn)生的原因，可能是題目的本質(zhì)不能準(zhǔn)確識別或解題策略的選擇不恰當(dāng)或題目條件運(yùn)用的不充分，因此在解題中要善于及時變換思考問題的角度，大膽地挖掘條件的特定含義，對問題進(jìn)行重新的審視與分析.這些就是解決數(shù)學(xué)難題較為有效的途徑.

一、問題展示

在很多時候，不少學(xué)生會糾結(jié)于如何提高自己的解題能力.筆者一直認(rèn)為提高解題能力，需要解題經(jīng)驗(yàn)的積累，運(yùn)算能力的提高，思維能力的開發(fā)，以及一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.盡管如此，我們在遇到難題的時候，也會經(jīng)常出現(xiàn)百思不解，破題無門，望題興嘆的狀況.最近筆者遇過一道導(dǎo)數(shù)題，現(xiàn)將筆者的感悟與讀者分享.

問題已知m∈R，f（x）=2x3+3x2+6（m－m2）x.

（1）當(dāng)m=1，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

二、疑云重重

這道試題第二問可以獲取的信息有：多元恒成立問題，函數(shù)f（x）應(yīng)該有兩個極值點(diǎn)，圖像過原點(diǎn)，在區(qū)間［k，0］上恒成立，求最小值k（m）可能要判斷f（x0）=20時x0的值，面對這些信息，我們的思維可能要陷入困惑：

（2）常規(guī)的想法是可能要把（m－1）2（1－4m）的最大值求出來，使得［（m－1）2（1－4m）］max≤f（x），是不是要構(gòu)造函數(shù)g（x）=（m－1）2（1－4m）求最大值？

（3）兩個極值點(diǎn)x1，x2和區(qū)間［k，0］是什么關(guān)系？需要分類討論嗎？

（4）y=20究竟有多高？會比區(qū)間［k，0］內(nèi)的極大值高還是低？

三、撥云見日

波利亞認(rèn)為：“對自己提出問題是解決問題的開始，當(dāng)你有目的地向自己提出問題時，它就變成你自己的問題了.”其實(shí)對于每個初遇該題的人，都會或多或少地考慮上面的問題.然后隨著思考的深入，便會出現(xiàn)兩種結(jié)局，要么是為越想越復(fù)雜而煩惱，最終徹底放棄；要么是隨著對謎底的層層解開，山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村，而最終豁然開朗.

1.解題不能僅靠空想，步步為營思路銜接

解數(shù)學(xué)題最忌諱的是“只是想想，就是不寫”.教學(xué)中經(jīng)常遇到這樣的學(xué)生，只要聽到教師說我們應(yīng)該怎么思考，結(jié)果該同學(xué)就會迫不及待地問：“老師，那下一步呢？”這時教師會很嚴(yán)厲地訓(xùn)斥一番：“你能不能先把這一步寫出來？寫出來再看下一步，也許你自己就會知道該向哪個方向去思考了.”比如，上面的考題，同學(xué)們就應(yīng)該先把函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)搞清楚以后，再想下面的事情：

f′（x）=6x2+6x+6（m－m2）=0，即x2+x+m（1－m）=0，解得x1=－m，x2=m－1.當(dāng)f′（x）＜0時，－m＜x＜m－1；當(dāng)f′（x）＞0時，x＜－m或x＞m－1.所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（－∞，－m）和（m－1，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（－m，m－1）.因此，函數(shù)f（x）的極大值為f（－m），函數(shù)f（x）的極小值為f（m－1）.

2.相信方法就在題中，尋找破綻碰碰運(yùn)氣

同學(xué)們寫到這里往往就會停下來，忙著論證兩個極值點(diǎn)在y軸的哪一側(cè)，準(zhǔn)備繪制草圖（如圖1、圖2）.

圖1　

圖2　

但并沒有給我們帶來多大的啟發(fā).其實(shí)一個絕好的隱含條件被我們給忽視了.繼續(xù)計算可得f（-m）=4m3-3m2，f（m-1）=（m-1）2（1-4m），前者沒有多大意義，關(guān)鍵是后者.只要仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)這個條件的特殊含義，即不等式（m-1）2（1-4m）≤f（x）≤20就是f（m-1）≤f（x）≤20.這樣的發(fā)現(xiàn)，肯定不是事先空想就能意料到的，至此我們的解題思維再次被擴(kuò)開.當(dāng)m-1≥0，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間［k，0］上滿足f（m-1）≤f（x）≤20，要求k的最小值，必有k≥x0，其中f（m-1）=f（x0）或者f（x0）=20；當(dāng)m-1≤0，顯然k的最小值肯定位于極小值點(diǎn)的左側(cè)，然后就和前者一樣了.

3.遇事多往好處想，挖掘條件去繁求簡

前面研究到這里，大家都會糾結(jié)于f（x）≤20怎么處理，也就是y=20究竟有多大？是否要討論我們的極大值f（-m）和20的大小關(guān)系？如果這樣一想，這個題目基本上無法進(jìn)行下去了，因?yàn)樵儆懻摴烙嬘忠N情況，兩種情形合計六種情況，估計很多人會再次陷于困境之中，解題的隊(duì)伍會越來越小.可是我們?nèi)绻咽虑榭紤]詳細(xì)點(diǎn)，不把命題想的那么繁雜，也許就不用討論這么復(fù)雜，肯定有隱含條件能使得討論簡單化.當(dāng)然我們也可以勇敢點(diǎn)，就來研究極大值有多大，因?yàn)檫@個條件不會沒有用武之地.

當(dāng)m-1≥0，即m∈［1，2］時，f（0）=0，令g（m）=4m3-3m2，則g′（m）=6m（2m-1）＞0，所以函數(shù)g（m）=4m3-3m2在［1，2］上單調(diào)遞增，g（m）≤g（2）=32-12=20；當(dāng)m-1≤0，即，g′（m）=6m（2m-1）＞0，所以函數(shù)g（m）=］上單調(diào)遞增，g（m）≤g（1）=1≤20.可見，前面的顧慮都是多余的，f（x）≤20是恒成立的.

4.轉(zhuǎn)化命題推進(jìn)問題深入，思維連貫脫穎而出

到此，我們已經(jīng)把f（x）≤20的問題給解決了，現(xiàn)在再來處理f（m-1）≤f（x），而這里要求kmin實(shí)質(zhì)上就是要解方程f（m-1）=f（x0），由于f（m-1）相當(dāng)于常數(shù)，也就是要解一個三次方程2x3+3x2+6（m-m2）x-（m-1）2（1-4m）=0.對于三次方程求解主要是因式分解，其次是待定系數(shù)法、試根法、圖解法等.再想一想，我們在解三次不等式的時候，是不是還遇到過“奇穿偶不穿”的問題？

接下來再看看本題中方程f（x）=f（m-1）的解，注意到直線y=f（m-1）與函數(shù)f（x）圖像在極小值點(diǎn)x=m-1處相切，因此x=m-1應(yīng)該是方程的二重根，即x1=x2=m-1，第三個根是x0，因此作為三次方程肯定可以分解因式為2（xm+1）2（x-x0）=0，不用待定系數(shù)也可以觀察出2［-x0×（m-

綜上，審題是解題的基礎(chǔ)，思維受阻往往是對條件沒有進(jìn)行仔細(xì)觀察和思考，忽視了某些條件的重要作用.上面的問題中一個至關(guān)重要的條件就是不等式（m-1）2（1-4m）≤f（x）≤20的左邊與函數(shù)極小值f（m-1）的關(guān)系.在解題思路不明確的情況下，按照正常思維方式求出極小值和極大值之后，稍微觀察一下，還是會有重要的發(fā)現(xiàn).審題，不要漏掉任何一個線索，一個不起眼的條件或許就能開啟成功的大門.

在解題中，當(dāng)遇到一道難題時，某些同學(xué)就會對題發(fā)呆，雖然絞盡腦汁，靈感也總是出不來，自己著急，老師也替學(xué)生發(fā)急.其實(shí)題目中的每個條件都具有自己的特定含義，我們不妨把它們轉(zhuǎn)化一下，哪怕是一小步，想到什么，就先寫出什么，化一化、算一算，也許在寫的過程當(dāng)中就可以得到一些啟發(fā).

例題若m個不全相等的正數(shù)a1，a2，…，am依次圍成一個圓圈，使得每個數(shù)ak（1≤k≤n，k∈N）都的是其左右相鄰兩個數(shù)平方的等比中項(xiàng)，則正整數(shù)m的最小值是多少？

對于初次見到該題的同學(xué)，估計一眼不會看出這個題目到底是要考什么，表面上看就是一道普通但又很陌生的等比數(shù)列問題，再看它們每項(xiàng)圍成一個圓圈，又好像是排列組合題.在以前做過的題型中似乎找不到一個確切的數(shù)學(xué)模型，想不到哪一種解題模式可以套用.但是我們寫幾項(xiàng)總是可以的吧.

因?yàn)槊總€數(shù)ak（1≤k≤n，k∈N）都得是其左右相鄰兩個數(shù)平方的等比中項(xiàng)，不妨任意取兩個，比如2，3，我們不難寫出它的第三項(xiàng)，即再寫第四項(xiàng)是見，函數(shù)f（x）在區(qū)間［k，0］上滿足f（m-1）≤f（x）≤20，要求k的最小值，必有k≥x0，可得，在寫的過程中發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的商，這樣寫起來就方便了還可以發(fā)現(xiàn)，它們是呈周期出現(xiàn)的，最小正周期是6，至此得到本題答案6.

數(shù)學(xué)問題的解決經(jīng)常伴隨著困難、挫折和失敗.有些學(xué)生在思維受阻時，冥思苦想，不肯放棄原有思路，最終一無所獲.也有的同學(xué)碰到難題，急于求成，一旦思路受阻，找不到切入點(diǎn)，就會心慌意亂.因此，在遇到思維受阻時，如果我們能夠冷靜地觀察，尋找題目特定條件中的微妙的含義，迅速轉(zhuǎn)換思考問題的角度，解題靈感也許就會出現(xiàn).F