橫向探究均值不等式的交匯

☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué)　陳燕

橫向探究均值不等式的交匯

☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué)陳燕

均值不等式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，其主要用于求函數(shù)最值，其二元形式是a+b≥0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”.?？嫉淖冃涡问絘2+b2≥2ab，當(dāng)a=b時(shí)，取“=”.另外還可以推廣到“三元”或“多元”的形式，應(yīng)用中注意其適用條件.在知識(shí)綜合交匯處命題，能有效考查同學(xué)們綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，因此備受命題人關(guān)注.下面就均值不等式的交匯考查視角，舉例分析.

一、與向量交匯，展示向量數(shù)的特征

A．13B．15C．19D．21

點(diǎn)評(píng)：向量具有代數(shù)和幾何雙重身份，通過(guò)代數(shù)化后，向量的最值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，進(jìn)而再借助均值不等式求最值.在向量代數(shù)化過(guò)程中向量的幾何運(yùn)算，即加法三角形法則、平行四邊形法則，減法的三角形法則起著關(guān)鍵的作用.運(yùn)用這些法則可實(shí)現(xiàn)未知向量向已知向量的轉(zhuǎn)化.

二、與數(shù)列交匯，體現(xiàn)數(shù)列放縮技巧

例2（2015年陜西）設(shè)fn（x）是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項(xiàng)和，其中x＞0，n∈N，n≥2.

（Ⅰ）證明：函數(shù)Fn（x）=fn（x）-2在）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為xn），且

（Ⅱ）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn（x），比較fn（x）與gn（x）的大小，并加以證明.

解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)镕n（x）=fn（x）-2=所以函數(shù)Fn（x）= fn（x）-2在函數(shù)Fn（x）=fn（x）-2在）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為xn），又Fn（xn）=0，從而上為增函數(shù)，并且Fn（1）=n-1＞0，，所以

（Ⅱ）由題意，設(shè)｛an｝，｛bn｝分別是滿足條件的等差數(shù)列和等比數(shù)列，｛an｝的公差為d，則an=1+（n-1）d，bn=xn-1且 xn=1+nd，即d=

若x=1，則an=bn，所以fn（x）=gn（x）；

綜上所述，當(dāng)x=1時(shí)，fn（x）=gn（x）；當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，fn（x）＜gn（x）.

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式，是處理含根式問(wèn)題的常見(jiàn)方法，在高考中有廣泛應(yīng)用.通過(guò)用基本不等式進(jìn)行放縮后，轉(zhuǎn)化為我們常見(jiàn)的裂項(xiàng)放縮求和.例2證明中運(yùn)用了基本不等式a+b≥2的推廣形式a1+a2+a3+…+an≥（其中an＞0，n∈N*）進(jìn)行放縮.

三、與三角交匯，探究三角邊角關(guān)系

例3設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，則下列命題正確的是________（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①若ab＞c2，則C＜；②若a+b＞2c，則C＜③若a3+ b3=c3，則C＜若（a+b）c＜2ab，則C＞⑤若（a2+ b2）c2＜2a2b2，則C

解析：①由ab＞c2，得-c2＞-ab，由余弦定理可知，cosC=，因?yàn)镃∈（0，π），函數(shù)y=cosx在（0，π）上是減函數(shù)，所以C＜，即①正確.

③若C是直角或鈍角，則a2+b2≤c2，即∈（0，1），而函數(shù)y=ax（0＜a＜1）在R上是減函數(shù)，所以）2≤1與a3+b3=c3矛盾，所以假設(shè)不成立，所以C＜即③正確.

⑤因?yàn)椋╝2+b2）c2＜2a2b2，所以c2＜ab＞c2，轉(zhuǎn)化為命題①，故⑤錯(cuò)誤.

答案：①②③.

點(diǎn)評(píng)：均值不等式與解三角形的交匯，最直接的體現(xiàn)是與余弦定理的交匯，從余弦定理的形式上看，具有邊的二次方形式，因?yàn)槠渑c均值不等式的交匯非常自然.

四、與圓錐曲線交匯，盡顯解析幾何代數(shù)性

（Ⅰ）求橢圓C的方程.

（Ⅱ）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△ABO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△ABO的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)P（x，y）為橢圓C上任意給定的一點(diǎn)，|PQ|2=x2+（y-2）2=-2（y+1）2+6+3b2≤6+3b2，y∈［-b，b］.

由題設(shè)存在點(diǎn)P1滿足|P1Q|=3，則9=|P1Q|2≤6+3b2，所以b≥1.

當(dāng)b≥1時(shí)，由于y=-1∈［-b，b］，此時(shí)|PQ|2取得最大值6+3b2.所以6+3b2=9?b2=1，a2=3.故所求橢圓C的方程為

（Ⅱ）存在點(diǎn)M滿足要求，使△ABC的面積最大.

假設(shè)直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則圓心O到l的距離d=

因?yàn)閨AB|=2，所以S△OAB=

當(dāng)且僅當(dāng)1-時(shí)等號(hào)成立.所以滿足

點(diǎn)評(píng)：幾何問(wèn)題代數(shù)化是處理解析幾何問(wèn)題的常用策略，解題中既可以將幾何問(wèn)題直接代數(shù)化，也可以先把幾何問(wèn)題利用幾何方法進(jìn)行適度簡(jiǎn)化，再代數(shù)化.通常前者思維量小但計(jì)算量大；后者計(jì)算量小但思維量大.代數(shù)化后幾何最值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，再結(jié)合均值不等式即可求解.

均值定理是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，在高考中占有很重要的地位，成為高考的高頻考點(diǎn).在近年高考命題中，對(duì)均值不等式的考查多與其他知識(shí)相交會(huì)，體現(xiàn)高考命題能力立意的理念，成為檢查學(xué)生知識(shí)綜合掌握情況和提升學(xué)生應(yīng)用能力的訓(xùn)練戰(zhàn)場(chǎng).Y