例談高考中“參數(shù)范圍”問(wèn)題的求解策略

☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué)　陳德軍

例談高考中“參數(shù)范圍”問(wèn)題的求解策略

☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué)陳德軍

在近幾年的高考中，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題成了高考的熱點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，求參變量的取值范圍是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，其中不少問(wèn)題靠傳統(tǒng)方法不容易求解，下面筆者結(jié)合一些教學(xué)實(shí)踐談?wù)勂鋺?yīng)用.

一、利用函數(shù)最值求參數(shù)的取值范圍

解題中遇到形如“要使f（x）＞a成立”或“要使f（x）＜a成立”的問(wèn)題，只需轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，使得f（x）min＞a恒成立或f（x）max＜a恒成立即可.

案例1已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（1）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí).

①函數(shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；

②f（x）+|2a-b|+a≥0.

（2）若-1≤f（x）≤1對(duì)x∈［0，1］恒成立，求a+b的取值范圍.

解析：（1）①f′（x）=12ax2-2b=12a

當(dāng)b≤0時(shí)，有f′（x）≥0，此時(shí)f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）max=max｛f（0），f（1）｝=max｛-a+ b，3a-b｝=

②由于0≤x≤1，故當(dāng)b≤2a時(shí)，f（x）+|2a-b|+a=f（x）+ 3a-b=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a（2x3-2x+1）.當(dāng)b＞2a時(shí)，f（x）+|2a-b|+a=f（x）-a+b=4ax3+2b（1-x）-2a＞4ax3+4a（1-x）-2a=2a（2x3-2x+1）.

設(shè)g（x）=2x3-2x+1，0≤x≤1，則g′（x）=6x2-2=

x00，3（）3（）11 g′（x）-0+ g（x）1減極小值增13 333，

所以，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，2x3-2x+1＞0.

故f（x）+|2a-b|+a≥2a（2x3-2x+1）≥0.

（2）由①知，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）max=|2a-b|+a，所以|2a-b|+a≤1.

若|2a-b|+a≤1，則由②知f（x）≥-（|2a-b|+a）≥-1.

所以-1≤f（x）≤1對(duì)任意0≤x≤1恒成立的充要條件

在直角坐標(biāo)系aOb中，上面的不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D1所示的陰影部分，其中不包括線段BC.

圖1　

作一組平行線a+b=t（t∈R），得-1＜a+b≤3.

所以a+b的取值范圍是（-1，3］.

特別地，注意條件“a＞0”，重視端點(diǎn)的取值情況.

二、利用分離參數(shù)求參數(shù)的取值范圍

所謂分離參數(shù)，是指在含有參數(shù)的方程（不等式）中，通過(guò)同解變形，使參數(shù)與主元分離于方程（不等式）兩端，則所蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系便由隱變顯，進(jìn)而研究函數(shù)的最大值（極值）或圖像，求出參數(shù)范圍.分參法是解決參數(shù)取值范圍的常見解法，它的最大好處就是函數(shù)不再含有參數(shù)，變成了一個(gè)具體的函數(shù)，從而避免了討論.

案例2f（x）=x-ln（x+a）（a＞0）的最小值為0.

（1）求a的值；

（2）若?x∈［0，+∞），都有f（x）≤kx2成立，求k的最小值；

解析：（1）a=1.（過(guò)程略）

（2）x-ln（x+1）≤kx2，當(dāng)x=0時(shí)，k∈R.

故φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，φ（0）=0，所以φ（x）＜0，即g′（x）＜0；

分參之后能得到具體的函數(shù)，不用討論，但是得到函數(shù)后再求極值是一個(gè)難點(diǎn)，當(dāng)一階求導(dǎo)后，需要把分子單獨(dú)拿出來(lái)研究其零點(diǎn)的情況，很多題在求導(dǎo)后是分式，需要進(jìn)一步研究分子，不要在帶著分母整個(gè)求導(dǎo).

三、利用構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)的取值范圍

解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問(wèn)題，利用參數(shù)分離會(huì)失效，這時(shí)可以設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，用函數(shù)的觀點(diǎn)加以分析，常可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，從而易于找到一種科學(xué)的解題途徑.此類問(wèn)題對(duì)轉(zhuǎn)化能力要求很高，不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因，要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式，從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性.

案例3設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）注意到f（0）=0，f′（x）=ex-1-2ax，由ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，從而1-2a≥0.

當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，φ′（x）＜0?φ（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減，φ（0）max=0，故x∈（0，ln2a）時(shí)，φ（x）＜0，即f′（x）＜0.

故x∈（0，ln2a）時(shí)，f（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減，f（0）=0.故x∈（0，ln2a）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，故a＞1不成立. 2

此題若要用分參法解決，需要羅比達(dá)法則，超出了高中知識(shí)范圍，故本題只能用討論法去做，那么這類問(wèn)題有什么共同的特點(diǎn)呢？注意題中的條件“若x≥0時(shí)，f（x）≥0”，當(dāng)x=0正好有f（x）=0，這是討論法的關(guān)鍵提示.

四、利用不等式放縮求參數(shù)的取值范圍

要證明不等式A＜B成立，有時(shí)可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，如將A放大成C，即A＜C，后證C＜B，這種證法便稱為放縮法，常用的放縮技巧有：（1）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)；（2）在分式中放大或縮小分子或分母；（3）應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮.

案例4若函數(shù)h（x）滿足：①h（0）=1，h（1）=0；②對(duì)任意a∈［0，1］，有h（h（a））=a；③在（0，1）上單調(diào)遞減.則稱h（x）為補(bǔ)函數(shù).

（1）判斷函數(shù)h（x）是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論.

（2）若存在m∈［0，1］，使h（m）=m，稱m是函數(shù)h（x）的中介元.記p=（n∈N*）時(shí)h（x）的中介元為xn，且Sn=若對(duì)任意的n∈N*，都有Sn＜12，求λ的取值范圍.

（3）當(dāng)λ=0，x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)y=h（x）的圖像總在直線y=1-x的上方，求p的取值范圍.

解析：（1）函數(shù)h（x）是補(bǔ)函數(shù).（證明略）

①當(dāng)λ=0時(shí)，中介元xn=

（0，1）或

得中介元xn=

綜合①②知，對(duì)任意的λ＞-1，中介元為xn=

于是，當(dāng)λ＞-1時(shí)，有Sn=當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，）n無(wú)限接近于0，Sn無(wú)限接近于

故對(duì)任意的n∈N*，Sn＜成立等價(jià)于

即λ∈［3，+∞）.

（3）當(dāng)λ=0時(shí)，h（x）=（1-xp

②當(dāng)p＞1時(shí)，依題意只需（1-xp）p＞1-x在x∈（0，1）時(shí)恒成立，也即xp+（1-x）p＜1在x∈（0，1）時(shí)恒成立.設(shè)φ（x）= xp+（1-x）p，x∈（0，1），則φ′（x）=p［xp-1-（1-x）p-1］.由φ′（x）= 0，得x=時(shí)，φ′（x）＜0，當(dāng)時(shí)，φ′（x）＞0.又因?yàn)棣眨?）=φ（1）=1，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＜1恒成立.

綜上可得p的取值范圍是（1，+∞）.

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的新定義，函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.點(diǎn)（xp，h（xp））不在直線y=1-x的上方，不符合條件.

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五、利用數(shù)形結(jié)合法求參數(shù)的取值范圍

某些含參不等式恒成立問(wèn)題，既不好分離參數(shù)求解，又不能轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一次或二次函數(shù)時(shí)，則可采用數(shù)形結(jié)合法.利用數(shù)形結(jié)合往往能迅速而簡(jiǎn)捷地找到解題途徑.對(duì)于解含參不等式恒成立問(wèn)題，我們可以先把不等式兩端的式子分別看成兩個(gè)函數(shù)，且畫出兩函數(shù)的圖像，然后通過(guò)觀察兩圖像的位置關(guān)系，從而列出關(guān)于含參不等式的約束條件，進(jìn)而解決問(wèn)題.

案例5已知函數(shù)f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m，是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

解析：假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)m，滿足題意，故可構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=-x2+8x-6lnx-m（x＞0）.

因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）和函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn)，所以也就是函數(shù)y=F（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程-x2+8x-6lnx-m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，于是再構(gòu)造函數(shù)y=m，φ（x）=-x2+8x-6lnx，也即這兩個(gè)函數(shù)圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn).

x（0，1）1（1，3）3（3，+∞）φ′（x）-0+0-φ（x）遞減極小值遞增極大值遞減

圖2　

由上表和圖2可知，當(dāng)直線y=m位于兩極值點(diǎn)之間時(shí)，函數(shù)y=m和φ（x）=-x2+8x-6lnx的圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn)，即7＜m＜15-6ln3.

所以存在這樣的實(shí)數(shù)m∈（7，15-6ln3），使得y=f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn).

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”通過(guò)移項(xiàng)，重組轉(zhuǎn)化為常見的熟悉的函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等），通過(guò)圖像研究函數(shù)問(wèn)題是具備較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)之一.

由此可見，求參數(shù)取值范圍問(wèn)題一直是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，一些含參變量的問(wèn)題，往往看起來(lái)很復(fù)雜，甚至無(wú)從下手.但如果能把握題目的結(jié)構(gòu)，通曉基本題型的解法，進(jìn)而確定求解方法，則會(huì)收到簡(jiǎn)捷明了、事半功倍的效果.F