從一次錯誤解題談問題解決的普適性

☉浙江省上虞中學(xué)　王立東

從一次錯誤解題談問題解決的普適性

☉浙江省上虞中學(xué)王立東

眾所周知，數(shù)學(xué)問題對學(xué)生而言能夠記憶最為深刻的是發(fā)生在學(xué)生身上的錯誤.常常有畢業(yè)的學(xué)生這樣與筆者交流：以前老師給我講的這個錯誤的問題，我記的很牢，一直沒有再犯.從魏書生教育故事中也這樣描述過：“學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)問題錯誤的分析，研究出了一系列相關(guān)的結(jié)論和成果.”在這個教育故事中，筆者認(rèn)識到了從錯誤解題發(fā)現(xiàn)閃光點(diǎn)所在的一系列錯題教學(xué)設(shè)計(jì)方式方法，第一是研究學(xué)生錯解原因，分析學(xué)生問題錯因的普遍性所在；第二是教學(xué)設(shè)計(jì)相關(guān)類似問題進(jìn)行深度和廣度上的研究，主要以變式教學(xué)的設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)載體，讓問題的普遍性得到滲透.

問題：已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范圍.（不等式性質(zhì)作業(yè)題）

設(shè)計(jì)意圖：雖然簡單線性規(guī)劃問題的常規(guī)通法是“圖解法”，即尋找線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)，然后由二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域作出可行域，最后在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，但由于學(xué)生作圖的熟練程度不夠，此類問題又常出現(xiàn)在選擇填空中，學(xué)生總會另辟蹊徑尋求更簡單的解決方法，因此常出現(xiàn)如：不等式之間通過性質(zhì)化簡至一元一次不等式后代入目標(biāo)函數(shù)求最值、解對應(yīng)約束條件的方程組得可行域頂點(diǎn)坐標(biāo)后代入求目標(biāo)函數(shù)最值等偶有成功的方法，且津津樂道，卻不深入思考這些方法的普適性，導(dǎo)致解題常誤入陷阱.“錯誤是最好的學(xué)習(xí)資源”，本課時就針對此現(xiàn)象，利用圖解法，直觀地將一系列變式題進(jìn)行顯性解析，讓學(xué)生能夠辨明解題誤區(qū)，充分認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合圖解法的優(yōu)勢所在，在平時的學(xué)習(xí)中能夠扎實(shí)基礎(chǔ)，提高作圖、識圖、用圖的能力，攻克線性規(guī)劃問題.

分析：本題屬于新視角看舊問題，給出曾在“不等式性質(zhì)”教學(xué)時出現(xiàn)的一個求范圍問題，通過“示錯”引出思考——不等式條件如何應(yīng)用才能保證其等價性，再從線性規(guī)劃的角度，直觀地用可行域展現(xiàn)不等式組所對應(yīng)的約束條件，嘗試讓學(xué)生更好地理解不等條件等價轉(zhuǎn)換的重要性，強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合思想”在此起到的直觀轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵作用.

①+②，得0≤2x≤4，即0≤4x≤8.

②×（-1），得-1≤y-x≤1③.

①+③，得0≤2y≤4，故而代入f（2）=4x+2y，得0≤f（2）≤12.

正解：f（2）=4x+2y=3f（1）+f（-1），由已知可得，3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，故而兩式相加可得2≤f（2）≤10.

辨析說明：分別將題設(shè)不等式條件與錯解中轉(zhuǎn)換得到的不等式條件用可行域的方式呈現(xiàn)，即可看到二者并不等價，因此通過不等式進(jìn)行運(yùn)算將二元一次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式實(shí)質(zhì)上是放寬了題設(shè)條件，忽略了x、y之間的制約關(guān)系，而作出可行域則完全展現(xiàn)了約束條件的全貌.為后續(xù)環(huán)節(jié)進(jìn)一步利用“數(shù)形結(jié)合思想”辨析各種錯誤理解做鋪墊.

圖2　

圖1　

變式1：已知點(diǎn)P（x，y）所在區(qū)域D滿足條件求z=2x+y的最值.

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)驗(yàn)之談與解題規(guī)律的碰撞設(shè)計(jì).學(xué)生在解決線性規(guī)劃問題時常常發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的最值往往在可行域的頂點(diǎn)處取到，進(jìn)而在解題時，為圖方便或節(jié)約時間，就簡單地處理成“求邊界線交點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，比較大小，求出最值”.本環(huán)節(jié)通過一個基本問題的幾個變式，讓學(xué)生看到以上的經(jīng)驗(yàn)之談不能作為解題規(guī)律通行應(yīng)用，而數(shù)形結(jié)合，在可行域中利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題才是通法，以此來促進(jìn)學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)過程中學(xué)會反思和自查.

解析：z=2x+y?y=-2x+ z，作可行域如圖3所示，由圖可知，在點(diǎn)B（1，1）處，z取得最小值3，在點(diǎn)C（5，2）處，z取得最大值12.

圖3　

此題目標(biāo)函數(shù)的最值是在可行域的頂點(diǎn)處取到的.

分析：若不作圖，僅求頂點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)來求取值范圍，看似沒有問題，但實(shí)質(zhì)上取得的最大值的最優(yōu)解是有無數(shù)多個的，在實(shí)際應(yīng)用為背景的線性規(guī)劃問題中，往往希望求的是如何取得最值的執(zhí)行方案，也就是最優(yōu)解，因此必須注重過程而不能只注重結(jié)果.

變式3：已知點(diǎn)P（x，y）所在區(qū)域D滿足條件

求z=2x+y的最值.

分析：此題僅改變一個不等式符號，可行域發(fā)生了變化，雖與上題有相同的目標(biāo)函數(shù)，但邊界線的交點(diǎn)已不能都落在可行域中，按上題解法則會在取最小值時出錯，而且此題開放的可行域，最大值也是取不到的.

解：z=2x+y?y=-2x+z，作出可行域如圖4所示.所以在點(diǎn)A處，z取得最小值無最大值.

圖4　

分析：此題添加了整點(diǎn)條件，學(xué)生在解題時容易忽視該條件而造成錯誤，根本原因就是畫可行域后只關(guān)注可行域頂點(diǎn)的慣性思維.

解：z=2x+y?y=-2x+z，可行域如圖5中的整點(diǎn).由x∈N*，y∈N*，可得在點(diǎn)附近，x=1時，?y≥5，所以z在點(diǎn)（1，5）處取得最小值7.

辨析說明：通過四個變式，希望能夠使學(xué)生注意到慣性思維容易引入誤區(qū)，而數(shù)形結(jié)合，作出可行域，運(yùn)用圖解法，才是通性通法.

變式5：已知點(diǎn)P（x，y）所在區(qū)域D滿足條件求下列目標(biāo)函數(shù)的取值范圍：（1）z=|x+y-示點(diǎn)P（x，y）到直線l：x+y-3=0的距離，由圖6可知，點(diǎn)P在直線l上，則zmin=0，點(diǎn)P在點(diǎn)C（5，2）處，則zmax= 4，故z∈［0，4］.

設(shè)計(jì)意圖：目標(biāo)函數(shù)除了常見的二元一次函數(shù)，有時目標(biāo)函數(shù)可能是非線性的，那么如果能夠充分利用其幾何意義，然后結(jié)合圖解法，便可以結(jié)合解析幾何知識來加以解決.這種非線性目標(biāo)函數(shù)成為線性規(guī)劃問題更為普遍的考查.

解析：（1）令d=

圖5　

圖6　

圖7　

min

圖8　

辨析說明：通過這三個小題，希望學(xué)生能夠認(rèn)識到簡單的線性規(guī)劃問題，它的圖解法的本質(zhì)就是把問題化歸到解析幾何范疇，利用解析幾何知識來求解，因此，學(xué)習(xí)過程中必須要有聯(lián)系地看問題.

小結(jié)：

（1）可行域的作圖必須規(guī)范準(zhǔn)確，勤練基本功，不能畏難怕繁；

（2）要深刻理解：“線性規(guī)劃”問題就是把代數(shù)問題用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為解析幾何問題的本質(zhì)；

（3）平時學(xué)習(xí)要有聯(lián)系、系統(tǒng)性地看待數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)與作用，這樣才能由點(diǎn)及面，提高學(xué)習(xí)效率.

從上述教師設(shè)計(jì)的從學(xué)生錯題研究到變式的深入挖掘和廣度拓展，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于線性規(guī)劃問題的一系列深度、廣度問題的學(xué)習(xí)有了系統(tǒng)性的、體系性的掌握.這種學(xué)習(xí)是一類問題研究的普適性方式方法，很值得教學(xué)中對于典型錯誤問題的研究.通過學(xué)習(xí)和實(shí)踐，筆者認(rèn)為應(yīng)該做好這些準(zhǔn)備工作以便得到類似問題解決的普適性：其一，選擇合理的學(xué)生較為容易犯錯的典型問題為載體，選擇比較常見的錯解為背景剖析；其二，對于問題解決切勿只是就題論題，這樣的方式往往比較單一，不具備以點(diǎn)及面的效果，不利于課堂教學(xué)的有效和高效，因此選擇錯題背景下的變式探索是一種有效化的手段，本文以常見線性規(guī)劃問題輔助，將知識間整合起來，有效地回答了學(xué)生錯解的緣由和為什么線性規(guī)劃知識解決的正確性；其三，將這樣的教學(xué)思路開拓至更多的教學(xué)內(nèi)容中，則有效地提高了學(xué)生數(shù)學(xué)知識運(yùn)用的正確性，更整合了知識間的層次，大大地提升了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率.

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