CFRP索斜拉梁面內(nèi)自由振動(dòng)建模及參數(shù)分析

康厚軍 解維東++郭鐵丁??

摘要：利用張緊弦和歐拉梁振動(dòng)理論分別描述斜拉梁結(jié)構(gòu)中索與梁的振動(dòng)，通過索梁連接處的動(dòng)態(tài)平衡條件，建立斜拉梁平面內(nèi)自由振動(dòng)理論.利用傳遞矩陣法和邊界條件對(duì)斜拉梁結(jié)構(gòu)平面內(nèi)自由振動(dòng)的特征值問題進(jìn)行求解.同時(shí)，建立斜拉梁的有限元模型，有限元法所得結(jié)果與本文理論研究非常吻合，證明了本文理論和方法的正確性.最后對(duì)CFRP索斜拉梁平面內(nèi)自由振動(dòng)進(jìn)行參數(shù)分析.研究表明，CFRP索斜拉梁的基本動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)于傳統(tǒng)鋼索斜拉梁.

關(guān)鍵詞：CFRP索；斜拉梁；傳遞矩陣法；振動(dòng)分析；頻率；振型

中圖分類號(hào)： O343.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料（Carbon Fiber Reinforced Polymer，簡(jiǎn)稱CFRP）是由多股連續(xù)有機(jī)纖維絲在惰性氣體中經(jīng)高溫炭化，并經(jīng)拉擠成型技術(shù)和必要的表面處理而形成的一種新型復(fù)合材料.采用CFRP制成的拉索具有耐腐蝕性強(qiáng)、自重輕（僅為鋼材的1/5左右）、強(qiáng)度高（鋼材的8～10倍，彈性模量最高可達(dá)1 000 GPa，抗拉強(qiáng)度可達(dá)2 700 MPa[1]）、抗疲勞性能好等優(yōu)點(diǎn)，相比傳統(tǒng)鋼拉索優(yōu)勢(shì)明顯， 因此，CFRP斜拉索將有很好的應(yīng)用前景.目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已從理論上證明了CFRP索相對(duì)于鋼索的靜動(dòng)力特性有不同程度的改善[2-4]，CFRP索也已投入實(shí)際應(yīng)用[5-6].截至目前國(guó)內(nèi)外已建成CFRP索斜拉橋6座，其進(jìn)一步的應(yīng)用研究和基礎(chǔ)研究已成為國(guó)內(nèi)外研究的一個(gè)熱點(diǎn).我國(guó)已成功采用CFRP拉索替換鋼拉索建造試驗(yàn)性質(zhì)的人行斜拉橋[5]，未來斜拉橋也有采用CFRP拉索的趨勢(shì)，尤其是對(duì)于特大跨徑橋梁，CFRP索將具有足夠的優(yōu)勢(shì).然而，我國(guó)對(duì)于CFRP的研究還主要集中在應(yīng)用加固方面，作為大跨度柔性結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)問題比較突出，相關(guān)研究卻很少見到.

斜拉梁結(jié)構(gòu)由于其良好的受力性能和優(yōu)美的外觀被廣泛應(yīng)用于土木工程和海洋工程，如斜拉橋、房屋建筑中的雨棚、塔吊以及桅桿結(jié)構(gòu)等.由于斜拉梁中索和梁2種結(jié)構(gòu)單元有著很大的力學(xué)差異，特別是索跟梁的耦合，歷來是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)和難點(diǎn).Fung[7]通過Hamilton原理和有限元法推導(dǎo)出的非線性時(shí)變微分方程研究了斜拉梁中索的長(zhǎng)度和張力隨時(shí)間變化的振動(dòng)問題.Gattulli等人[8-9]通過經(jīng)典變分公式得到了斜拉梁橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)控制方程，將其與有限元方法和試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，并考慮了面內(nèi)和面外的振動(dòng)；趙躍宇等人[10]利用索梁組合結(jié)構(gòu)的連接條件和邊界條件，建立了索梁組合結(jié)構(gòu)的約化運(yùn)動(dòng)學(xué)控制方程，利用Galerkin模態(tài)截?cái)嗟玫搅嗽撓到y(tǒng)的多模態(tài)離散動(dòng)力學(xué)方程；Wang等人[11]通過Halmilton原理得到索梁組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，通過邊界和連續(xù)性條件以及分離變量法，得到結(jié)構(gòu)的頻率方程和相應(yīng)的振型表達(dá)式，并對(duì)固有頻率進(jìn)行了討論.這些研究工作都只考慮了梁的橫向振動(dòng)，沒有考慮縱向振動(dòng)問題，并且在索梁連接條件的處理上各不相同，存在較大的局限性.

傳遞矩陣法（Transfer Matrix Method，簡(jiǎn)稱TMM）是20世紀(jì)20年代建立起來的一種用矩陣來描述多輸入多輸出的線性系統(tǒng)的輸出與輸入之間關(guān)系的方法.相比于有限元方法，該方法計(jì)算精度不隨劃分段數(shù)而改變，許多學(xué)者和工程技術(shù)人員將傳遞矩陣法應(yīng)用于解決工程實(shí)際問題，例如Kang和Wang等人[12-14]用傳遞矩陣法來研究索拱結(jié)構(gòu)和懸索橋的動(dòng)力學(xué)問題.

針對(duì)以上問題和方法，本文將同時(shí)考慮索和梁的縱橫向振動(dòng)，利用張緊弦和歐拉梁振動(dòng)微分方程，在索梁結(jié)合處考慮它們的動(dòng)態(tài)平衡并將索端和梁端內(nèi)力和縱橫向位移進(jìn)行耦合，利用傳遞矩陣法求解系統(tǒng)振動(dòng)的特征值問題.為了驗(yàn)證本文中索梁理論和傳遞矩陣法運(yùn)用的正確性，我們將建立斜拉梁的有限元模型，對(duì)本文理論研究和有限元法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)本文的理論和求解方法進(jìn)行驗(yàn)證.最后將對(duì)CFRP索斜拉梁的特征值問題進(jìn)行參數(shù)分析，同時(shí)和傳統(tǒng)鋼索斜拉梁進(jìn)行對(duì)比研究.

3特征值分析

為研究CFRP索斜拉梁的特征值問題，即固有頻率和模態(tài)，選取如下物理參數(shù)：索為CFRP索，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為10.4 kg/m，橫截面積為6.273×10-3 m2，彈性模量為210 GPa，初始索力為1 MN，傾斜角度為30°；梁為鋼筋混凝土箱梁，長(zhǎng)100 m，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為4.4×104 kg/m，橫截面面積為16.3 m2，截面慣性矩為9.8 m4，彈性模量為34.5 GPa.

為了驗(yàn)證本文理論方法在斜拉梁結(jié)構(gòu)中運(yùn)用的正確性，我們用有限元軟件ANSYS12.0建立了同樣參數(shù)的斜拉梁有限元模型，其中索用Link1單元，梁用Beam3單元，劃分單元數(shù)為200，然后比較本文理論和有限元法得到的頻率和振型.表1分別列出了通過有限元法和本文理論研究?jī)煞N情況下（左端梁固支和簡(jiǎn)支）的斜拉梁的前5階頻率.圖3給出了第一種情況（左端梁固支）的前5階振型.可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法所得的結(jié)果幾乎完全吻合.因此，表1和圖3不僅可以說明本文理論的正確性，還為下面的CFRP索斜拉梁面內(nèi)自由振動(dòng)的研究作了鋪墊.考慮到工程實(shí)際中第一種情況（梁左端固支）的斜拉梁更常見，下面的研究只考慮梁左端固支情況的斜拉梁.

圖4給出了不同索力和拉索傾斜角度對(duì)CFRP索斜拉梁面內(nèi)自由振動(dòng)的各階頻率的影響.一階頻率幾乎不隨索力大小而改變，傾角的變化有一定的影響，各高階頻率隨索力的增大而增大，隨拉索傾斜角度的增大而減小，變化較明顯.斜拉梁一階頻率對(duì)索力和拉索傾斜角度的變化不敏感，原因主要為斜拉梁結(jié)構(gòu)的第一階振動(dòng)以梁的振動(dòng)為主，而索的振動(dòng)主要是由梁的振動(dòng)拖動(dòng)產(chǎn)生.這時(shí)，索對(duì)于懸臂梁相當(dāng)于起一個(gè)彈性支承的作用，彈性支承主要由索的軸向剛度和傾斜角度決定，索力的改變對(duì)彈性支承的影響相對(duì)較小.對(duì)于2，3，4和5階的振動(dòng)，可從振型看出，除二階振型為索與梁的聯(lián)合振動(dòng)外，主要為索的振動(dòng)，索力和拉索傾斜角度變化時(shí)，索的參數(shù)發(fā)生變化，直接影響到索的振動(dòng)，因此這幾階頻率變化較明顯.當(dāng)索力增大時(shí)，斜拉梁整個(gè)系統(tǒng)剛度增大，而拉索傾斜角度增加時(shí)，拉索變長(zhǎng)，其質(zhì)量也跟著增大，剛度卻減小，根據(jù)等效頻率公式ωeq=keqmeq，頻率也就相應(yīng)地增大和減小了.另外，仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)所有相鄰兩階頻率隨索力和拉索傾角的變化發(fā)生靠近而又分離的現(xiàn)象，并非兩個(gè)頻率變化曲線交叉，而是兩條頻率變化曲線轉(zhuǎn)向了（Veering現(xiàn)象），這時(shí)兩階振型會(huì)發(fā)生快速且連續(xù)的交換[17]，并且系統(tǒng)兩個(gè)模態(tài)之間發(fā)生能量傳遞，很容易發(fā)生內(nèi)共振現(xiàn)象，這對(duì)指導(dǎo)斜拉梁設(shè)計(jì)，特別是其振動(dòng)控制具有重要參考價(jià)值.

圖5給出了斜拉索在不同索力、材料和彈性模量下對(duì)斜拉梁結(jié)構(gòu)一階頻率的影響.其中，Ecc中下標(biāo)第二個(gè)c表示CFRP索， Ecg中下標(biāo)g表示鋼索.從中可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)采用CFRP索時(shí)，索力對(duì)一階頻率的影響微乎其微；當(dāng)采用鋼索且索力小于0.5 MN時(shí)，一階頻率隨索力的增大而增大，當(dāng)索力大于0.5 MN時(shí)，CFRP索和鋼索斜拉梁的一階頻率隨索力變化的曲線幾乎是重合的.這是因?yàn)镃FRP索斜拉梁不論是大索力下還是小索力下其一階振型均如圖3（a）所示，這樣一種模態(tài)是梁拖動(dòng)索振動(dòng)的模態(tài)，所以隨著索力的增加其頻率基本不變.當(dāng)采用鋼索時(shí)，由于其質(zhì)量要比CFRP索質(zhì)量大，受其影響振型隨索力的變化如圖6所示.可看到一階振型的變化過程是由索振動(dòng)為主到索梁整體振動(dòng)再到梁振動(dòng)為主.因此其一階頻率變化曲線是先增大后持平的變化過程.另外，CFRP索斜拉梁一階頻率隨拉索彈性模量的增大而增大，說明可以通過提高拉索彈性模量來提高斜拉梁整體結(jié)構(gòu)的剛度，這是因?yàn)?種彈性模量下斜拉梁的振型均如圖3（a）所示，此時(shí)斜拉梁可以看成是一端固支一端彈簧支撐的梁模型，其振動(dòng)頻率與彈簧剛度有關(guān)，彈簧剛度越大，振動(dòng)頻率越大，反之越小.

圖7反映了斜拉索在不同材料、索力和彈性模量下對(duì)斜拉梁結(jié)構(gòu)二階和三階頻率的影響.可以看出CFRP索斜拉梁的4條曲線均有一個(gè)上升段，之后持平，持平段曲線特征與圖6類似.因此我們猜測(cè)，上升段的振型是漸變的過程，當(dāng)?shù)竭_(dá)持平段后，振型基本不再變化.為了驗(yàn)證我們的猜測(cè)，我們提取出彈性模量為210 GPa的CFRP索斜拉梁索力在0.3 MN，0.6 MN和1 MN的二階振型和索力在1 MN，5 MN和10 MN的三階模態(tài)如圖8所示.從圖8可看出隨著索力的增加，第二、三階振型均是從拉索振動(dòng)為主到斜拉梁整體振動(dòng)再到梁振動(dòng)為主的變化過程，證明我們的猜測(cè)是正確的.另外，可以發(fā)現(xiàn)使用鋼索的斜拉梁要相比于使用CFRP索的斜拉梁隨著索力的增加較慢進(jìn)入持平狀態(tài)，說明振動(dòng)階數(shù)越高，拉索質(zhì)量對(duì)其影響越明顯.

索力/MN

綜合分析圖6和圖8，可發(fā)現(xiàn)索力對(duì)斜拉梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的影響，主要體現(xiàn)在索與梁剛度相對(duì)變化.當(dāng)索力較小時(shí)，拉索振動(dòng)明顯，隨著索力的增大，索振動(dòng)慢慢地弱化，最后變?yōu)殡S梁振動(dòng)的“擺動(dòng)”.這是因?yàn)樗髁υ龃笫估鞯臋M向剛度顯著增大（應(yīng)力剛化），最后拉索所表現(xiàn)出的性質(zhì)就類似于剛度很大的彈簧.

4結(jié)論

本文建立了不考慮垂度影響的CFRP索斜拉梁面內(nèi)自由振動(dòng)的力學(xué)模型，利用簡(jiǎn)單的張緊弦和歐拉梁振動(dòng)理論，采用分離變量法得到它們的振型函數(shù)，通過考慮索梁連接處的動(dòng)態(tài)平衡條件，將索和梁的振動(dòng)耦合到一起，利用傳遞矩陣法得到斜拉梁面內(nèi)自由振動(dòng)的各階頻率方程，從而求得各階頻率值.最后討論了斜拉梁面內(nèi)自由振動(dòng)在不同索力、拉索傾角和拉索材料的變化情況.這種研究方法不僅將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，而且能反映實(shí)際工程中斜拉梁應(yīng)有的振動(dòng)特性，并由此得到以下結(jié)論：

1） CFRP斜拉梁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)第一階自振頻率幾乎不受索力變化的影響，但隨著拉索傾角的改變有不同程度的變化，而鋼索斜拉梁第一階頻率則隨索力和傾角變化較大.這說明CFRP索斜拉梁的剛度相對(duì)穩(wěn)定.

2） 斜拉梁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)二階以上振動(dòng)模態(tài)表現(xiàn)出受索力和傾角變化的敏感性，都可能出現(xiàn)頻率變化曲線轉(zhuǎn)向（veering）現(xiàn)象，因此為了避免內(nèi)共振對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不利影響，設(shè)計(jì)或建造斜拉梁時(shí)應(yīng)該避免使用這些可能產(chǎn)生內(nèi)共振的參數(shù).

3） CFRP索斜拉梁基本動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)于鋼索斜拉梁，特別是在較低索力下和高階頻率上尤為突出，并且彈性模量的增大，對(duì)結(jié)構(gòu)的一階頻率的影響較大，振動(dòng)階數(shù)越高，影響越小.由于工程實(shí)際中，高階振動(dòng)出現(xiàn)的概率要遠(yuǎn)小于低階振動(dòng)，所以高彈性模量的CFRP索在斜拉梁結(jié)構(gòu)中有著更廣闊的應(yīng)用前景.

4） 隨著索力的增加，各階振動(dòng)的振型均經(jīng)歷從索振動(dòng)為主到索梁全局振動(dòng)再到梁振動(dòng)為主的變化過程，拉索表現(xiàn)出的性質(zhì)越來越像一根彈簧，這對(duì)拉索振動(dòng)控制具有重要參考意義.

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