樣條有限點(diǎn)法分析旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁彎曲自由振動(dòng)問(wèn)題

劉鵬 劉紅軍 林坤 秦榮

摘要：基于EulerBernoulli梁理論，采用樣條有限點(diǎn)法建立旋轉(zhuǎn)變截面梁彎曲振動(dòng)分析新模型.通過(guò)沿梁軸線均勻布置一定數(shù)量的樣條節(jié)點(diǎn)對(duì)變截面梁樣條離散化，采用三次B樣條函數(shù)對(duì)變截面梁的位移場(chǎng)進(jìn)行插值.考慮截面尺寸變化和旋轉(zhuǎn)離心剛化效應(yīng)的影響，基于Hamilton原理推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)變截面梁計(jì)算模型的總剛度和總質(zhì)量矩陣表達(dá)式，編制程序?qū)πD(zhuǎn)變截面梁動(dòng)力特性進(jìn)行分析，并建立ANSYS有限元模型進(jìn)行比較驗(yàn)證.結(jié)果表明：本文解答與文獻(xiàn)和有限元解答吻合良好，本文模型具有計(jì)算精度好、建模效率高、邊界條件簡(jiǎn)單和程序編制方便的優(yōu)點(diǎn)，可適用于不同邊界約束、截面變化率、截面變化類型、旋轉(zhuǎn)角速度和輪轂半徑條件下的旋轉(zhuǎn)變截面梁的彎曲自由振動(dòng)問(wèn)題.參數(shù)分析表明截面變化率和旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)旋轉(zhuǎn)變截面梁動(dòng)力特性有重要影響.

關(guān)鍵詞：EulerBernoulli梁理論；旋轉(zhuǎn)變截面梁；彎曲自由振動(dòng)；樣條有限點(diǎn)法

中圖分類號(hào)：TU311.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

旋轉(zhuǎn)變截面梁結(jié)構(gòu)，如風(fēng)力機(jī)葉片、直升機(jī)螺旋槳等，在機(jī)械和航空航天工程中應(yīng)用廣泛，其分析模型可等效為變截面梁的繞軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).而梁的繞軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生離心剛化效應(yīng)，對(duì)旋轉(zhuǎn)變截面梁的動(dòng)力特性產(chǎn)生重要影響，有必要對(duì)其動(dòng)力特性進(jìn)行深入研究.對(duì)于變截面細(xì)長(zhǎng)梁的彎曲振動(dòng)問(wèn)題，可以忽略截面剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量效應(yīng)的影響，采用EulerBernoulli梁理論（EBT）建立模型進(jìn)行分析[1].

湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2016年

第9期劉鵬等：樣條有限點(diǎn)法分析旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁彎曲自由振動(dòng)問(wèn)題

旋轉(zhuǎn)變截面梁彎曲自由振動(dòng)分析需要考慮梁的截面特性（面積、慣性矩）變化和繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的離心力變化對(duì)梁的動(dòng)力特性的影響，導(dǎo)致求解變截面Euler梁振動(dòng)微分方程趨于復(fù)雜，且難于獲得解析解，必須借助數(shù)值分析方法.國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)變截面梁振動(dòng)問(wèn)題開展了大量的數(shù)值分析方法研究.

Shahba等[1]基于微分變換單元法（DTEM）和微分低階求積法（DEQL）建立軸向功能梯度變截面Euler梁的振動(dòng)分析模型，主要研究截面變化率參數(shù)等對(duì)軸向功能梯度變截面梁的動(dòng)力特性和臨界荷載的影響.Ozgumus等[2-3]基于微分變換法（DTM）建立旋轉(zhuǎn)截面Euler梁的振動(dòng)分析模型.Rajasekaran[4]基于DTM和微分求積單元法（DQEM）建立旋轉(zhuǎn)軸向功能梯度變截面Euler梁的振動(dòng)分析模型，文中作者分析截面變化率、軸向功能梯度指數(shù)和旋轉(zhuǎn)角速度及端部集中質(zhì)量等參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)變截面軸向功能梁自振頻率的影響.Zarrinzadeh等[5]和Attarnejad等[6]基于有限單元法（FEM）建立旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁的振動(dòng)分析模型，文中作者提出一個(gè)新插值函數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)變截面梁的位移場(chǎng)進(jìn)行插值，該模型具有一定的計(jì)算精度，但在較高截面變化率情況下，需劃分較多結(jié)構(gòu)單元，建模和計(jì)算效率均下降明顯.Banerjee等[7-8]基于譜單元法（或稱動(dòng)態(tài)剛度法）建立旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁的分析模型，該方法與傳統(tǒng)有限元方法相比，需要更少的單元且可以獲得較高計(jì)算精度，但建模比較復(fù)雜.其他學(xué)者采用有限差分法[9]、攝動(dòng)法[10]和其他數(shù)值方法[11-13]建立模型分析旋轉(zhuǎn)或非旋轉(zhuǎn)變截面和等截面梁的自由振動(dòng)及穩(wěn)定問(wèn)題.

廣西大學(xué)秦榮[14-15]于1979年提出用于結(jié)構(gòu)分析的樣條有限點(diǎn)法（SFPM），研究表明SFPM具有不需劃分結(jié)構(gòu)單元，邊界處理方便，計(jì)算精度和效率較高等優(yōu)點(diǎn)，可對(duì)梁、板殼等結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析[16-17].

對(duì)旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁的彎曲振動(dòng)問(wèn)題， 并未見有文獻(xiàn)采用SFPM進(jìn)行建模分析.基于Euler梁理論，本文作者首次采用SFPM建立旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁的彎曲振動(dòng)分析模型，針對(duì)不同截面高、寬度變化率的變截面矩形截面梁，考慮旋轉(zhuǎn)動(dòng)力剛化效應(yīng)的影響，推導(dǎo)出本文旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁的SFPM模型的總剛度和總質(zhì)量矩陣的表達(dá)式.編制計(jì)算程序進(jìn)行算例分析，并驗(yàn)證本文模型正確性.研究樣條節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響.分析截面尺寸變化參數(shù)、旋轉(zhuǎn)角速度參數(shù)、輪轂半徑參數(shù)等對(duì)旋轉(zhuǎn)變截面梁動(dòng)力特性的影響，得到一些結(jié)論.

4 結(jié)論

本文建立旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁振動(dòng)分析的SFPM計(jì)算格式并進(jìn)行動(dòng)力特性分析.

1）基于SFPM推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁的振動(dòng)分析模型，模型考慮矩形變截面梁截面高寬度沿軸向線性變化情況，推導(dǎo)考慮截面尺寸變化效應(yīng)和繞軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心剛化效應(yīng)影響下的旋轉(zhuǎn)變截面梁的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣表達(dá)式，并編制相關(guān)計(jì)算程序進(jìn)行模型驗(yàn)證分析.

2）與有限元模型相比較，本文模型具有邊界條件簡(jiǎn)單、程序編制方便、計(jì)算精度和效率高的優(yōu)點(diǎn)，可適用于不同邊界、不同截面變化率、不同旋轉(zhuǎn)角速度和輪轂半徑條件下的旋轉(zhuǎn)變截面Euler梁的振動(dòng)分析.

3）旋轉(zhuǎn)變截面梁的動(dòng)力特性主要受到截面變化系數(shù)和旋轉(zhuǎn)角速度的影響，輪轂半徑變化對(duì)其特性影響不大.

參考文獻(xiàn)

[1]SHAHBA A， RAJASEKARAN S. Free vibration and stability of tapered EulerBernoulli beams made of axially functionally graded materials[J]. Applied Mathematical Modeling， 2012，36（7）：3094-3111.

[2]OZGUMUS O O， KAYA M O. Flapwise bending vibration analysis of a rotating tapered cantilever BernoulliEuler beam by differential transform method[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006，289（1）：413-420.