高層建筑簡化振型及在結(jié)構(gòu)風(fēng)振計算中的應(yīng)用

王國硯， 張福壽

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院， 上海 200092)

風(fēng)荷載是高層建筑的主要水平荷載之一.目前，工程上普遍采用基于振型分解法的隨機(jī)振動理論計算風(fēng)振系數(shù)[1]，由此確定風(fēng)荷載，并據(jù)此進(jìn)行結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)計算.可見，振型在整個結(jié)構(gòu)風(fēng)振計算中扮演著重要的角色，尤其是平動基階振型.然而，實(shí)際結(jié)構(gòu)的振型復(fù)雜多變，難以直接應(yīng)用于結(jié)構(gòu)風(fēng)振計算.各國在編制風(fēng)荷載規(guī)范時，往往采用彎剪型懸臂梁模型來模擬等截面勻質(zhì)高層建筑，并據(jù)此建立高層建筑振型的計算式.即使這樣，得出的振型表達(dá)式仍十分復(fù)雜.因此，仍需要對高層建筑振型做進(jìn)一步的簡化.簡化振型的表達(dá)式能否準(zhǔn)確反映高層建筑的實(shí)際基階振型，是在設(shè)計階段預(yù)估響應(yīng)的一個重要環(huán)節(jié)[2].

在早期，為計算簡便，通常將高層建筑基階振型簡化為如式(1)所示的線性振型[3]:

φ1=z/H

(1)

式中:φ1為歸一化振型；H為建筑總高；z為各樓層高度.在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中，利用高頻動態(tài)天平直接測量模型的基底彎矩來獲得廣義氣動力時也是基于這一假定[3].Vickery分析了當(dāng)簡化的直線振型偏離建筑物的實(shí)際振型時所造成的誤差[3].Holmes、周印等[4-6]對線性振型進(jìn)一步做出修正，給出冪函數(shù)形式的簡化振型如下：

φ1=(z/H)β

(2)

其中，β為控制振型形狀的量綱一參數(shù)，并分別給出對應(yīng)于結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)計算的不同修正方案.目前，美國風(fēng)荷載規(guī)范[7]依舊沿用式(1)給出的線性振型；歐洲規(guī)范[8]則采用式(2)，其β值按照結(jié)構(gòu)類型來劃分；日本規(guī)范[9]也采用式(2)，并根據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)際振動模態(tài)與參考模態(tài)的一致性和結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布特征取修正系數(shù)φD[10].

我國風(fēng)荷載規(guī)范[11]則是給出了兩類簡化振型.一類是考慮結(jié)構(gòu)彎剪變形特點(diǎn)的正切函數(shù)形式:

(3)

另一類是基于框剪協(xié)同工作原理針對框架剪力墻結(jié)構(gòu)給出的當(dāng)彎剪均起主要作用的振型，如荷載規(guī)范[11]中表G.0.3所示.梁樞果[2]經(jīng)過對大量高層建筑振型曲線的觀察和總結(jié)，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的高層建筑平動一階振型大部分是上剪下彎的彎剪型，與規(guī)范[11]中上彎下剪的正切形式有很大差異，認(rèn)為采用如下的簡化振型：

(4)

較符合.徐永林等[12]對金茂大廈進(jìn)行實(shí)測，得到其基階振型,認(rèn)為此振型用式(2)擬合更為貼切，并指出不同建筑結(jié)構(gòu)體系的振型形態(tài)各不相同，應(yīng)在荷載規(guī)范中對此進(jìn)行分類.李永貴等[13]分析了因簡化振型的不同對風(fēng)振計算結(jié)果的影響,認(rèn)為：當(dāng)結(jié)構(gòu)振型與規(guī)范振型式(3)相差較大時，若仍采用規(guī)范振型計算，風(fēng)致基底剪力偏差可達(dá)5%以上.

可見，各文獻(xiàn)給出的簡化振型都存在差異，依據(jù)不同簡化振型求得的風(fēng)致響應(yīng)也存在較大偏差，而且目前對振型形狀控制參數(shù)的研究也很少見.因此，本文對簡化振型做進(jìn)一步改進(jìn)，給出能更準(zhǔn)確反映高層建筑實(shí)際振型的簡化振型，從而提高風(fēng)荷載和風(fēng)振響應(yīng)計算的精度.

1 基于彎剪梁模型的高層建筑理論振型

對高層建筑風(fēng)荷載分析時，一般將其簡化為一維豎向懸臂梁結(jié)構(gòu).對于質(zhì)量和剛度沿高度比較均勻的高層建筑,考慮整體剪切變形影響 ,對應(yīng)梁模型的自由振動微分方程為[1]

(5)

式中:y為梁橫向撓度；EI為彎剪梁的彎曲剛度；GA為剪切剛度；m為單位梁長質(zhì)量；χ為考慮切應(yīng)力沿截面分布不均勻而引入的修正系數(shù)，簡稱剪切系數(shù).對于不同形狀的截面，剪切系數(shù)χ可按文獻(xiàn)[14]中給出的相關(guān)公式計算；其中，矩形截面可取5/6，圓形截面可取9/10.

求解方程(5)，結(jié)合懸臂結(jié)構(gòu)邊界條件，可解得頻率方程[1]如下：

cos(k1H)ch(k2H)=0

(6)

以及振型函數(shù)：

(cos(k1z)-ch(k1z))

(7)

式中:k1，k2為參數(shù).且

(8)

令

(9)

H為梁長,則由式(6)可得彎剪梁的頻率為

(10)

由式(8)和(9)可得:

(11)

令X=z/H，并對振型作如下歸一化:

φ1(X)=φ(z)/φ(H)=φ(XH)/φ(H)

(12)

將k1H、k2H分別看成整體，當(dāng)λ確定時，聯(lián)立式(6)和(11)即可解出k1H、k2H.k1H、k2H有無窮多組解，每一組解對應(yīng)每一階固有頻率和振型.將第一組解(k11H、k21H)代入式(12)即可得到對應(yīng)的歸一化基階振型.在整個求解過程中，一旦λ確定，后續(xù)求解振型φ1(x)就不再與高度、質(zhì)量密度、剛度、剪切系數(shù)χ等結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān).因此，控制任意等截面勻質(zhì)彎剪梁振型形狀的影響參數(shù)可歸結(jié)為λ這一結(jié)構(gòu)特征參數(shù)，這給彎剪梁的振型分析帶來很大便利.

從式(9)看出，λ反映的是結(jié)構(gòu)的變形特征，為量綱一參數(shù).λ值越小，結(jié)構(gòu)越呈剪切變形特征；λ值越大，結(jié)構(gòu)越呈彎曲變形特征.本文參照文獻(xiàn)[1]，取16個λ值，求解得到與基階振型對應(yīng)的16個k11H值，如表1所示.

表1 結(jié)構(gòu)特征參數(shù)λ與k11H之間的關(guān)系

進(jìn)一步，由式(11)得到相應(yīng)的k21H值，代入式(12)得到每個λ值對應(yīng)的基階振型，對應(yīng)的振型曲線族如圖1所示.

圖1 彎剪梁基階振型曲線族

可見，當(dāng)λ取0時可退化為純剪切梁，其基階振型為圖1中最下部的曲線.隨著λ值增大，振型逐步向彎曲型過渡，在過渡區(qū)，基本呈現(xiàn)出上剪下彎的彎剪型變形特點(diǎn).彎曲變形在振型中所占的優(yōu)勢隨λ呈遞增關(guān)系，當(dāng)λ趨于無窮大時，可退化為純彎曲梁，其基階振型為圖1中最上部的曲線.當(dāng)λ的取值在30到無窮大區(qū)間時，基階振型的變動幅度很小.

值得注意的是：本文的λ與框架剪力墻結(jié)構(gòu)協(xié)同工作的剛度特征值λ[15]有所區(qū)別，本文λ體現(xiàn)的是建筑結(jié)構(gòu)整體等效抗剪剛度與抗彎剛度的比值，是從結(jié)構(gòu)整體性出發(fā)，適用于多種結(jié)構(gòu)體系，而框剪協(xié)同工作的λ體現(xiàn)的是框架抗剪剛度與剪力墻抗彎剛度之間的比值，主要針對框架剪力墻結(jié)構(gòu).

由式(12)可得出高層建筑基階振型的理論解.它的特點(diǎn)是，可理解為是在滿足題設(shè)條件下的精確解，對具有任意形狀對稱截面(質(zhì)心與剛心重合)的等截面高層建筑均適用；但計算表達(dá)式復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用.在實(shí)際工程應(yīng)用中，往往選擇既能滿足精度要求又便于工程計算的實(shí)用簡化振型.

2 基階振型簡化方案

2.1 本文提出的基階振型簡化模型

引言部分給出的式(1) ～ (4)為目前國內(nèi)外常見的幾種高層建筑基階振型簡化模型.在此，本文先選擇其中的三個簡化模型，即：

式中:X=z/H，振型的指數(shù)統(tǒng)一用β表示.通過非線性擬合，分析它們的振型曲線族與圖1的曲線族之間的近似程度.以式(13)為例，將β作為待定參數(shù)，通過非線性最小二乘法對圖1中16個λ值對應(yīng)的16條振型曲線分別進(jìn)行擬合，確定每一曲線的最優(yōu)β值，從而得到圖2a中近似的振型曲線族.每個λ確定的振型對應(yīng)一個由簡化振型擬合的參數(shù)β.再將擬合振型與圖1的振型比較，如圖2b所示，為便于觀察，選取圖1中λ1=∞、λ2=3、λ3=1.6、λ4=0對應(yīng)的4個振型和與之對應(yīng)的擬合振型進(jìn)行比較.圖2b中的4條線從上到下依次對應(yīng)于λ1=∞、λ2=3、λ3=1.6、λ4=0的彎剪梁振型，β1～β4的4條曲線則依次是與之對應(yīng)的擬合曲線；圖2c～圖2f也是如此.可看出，采用式(13)對彎曲型振型擬合效果較好，對偏剪的則誤差較大而且體現(xiàn)不出下彎上剪的振型特點(diǎn).同理，以式(14)、(15)為簡化模型，進(jìn)行擬合分析，并將所得簡化振型與圖1的振型比較，如圖2c和圖2d所示.可見，雖然它們都能體現(xiàn)彎剪型，但擬合效果也不是很好.

經(jīng)此分析后發(fā)現(xiàn)，在這些簡化模型的基礎(chǔ)上，還有一定的改進(jìn)空間.為此，本文從兼顧精確性與實(shí)用性出發(fā)，在式(13) ～ (15)基礎(chǔ)上，通過變形、組合、退化處理后，得出以下兩個簡化振型表達(dá)式：

將由式(16)和式(17)給出的簡化振型與圖1比較，如圖2e和圖2f所示.可見，每一振型曲線都能一一吻合.這表明，本文給出的兩個簡化振型均能夠達(dá)到很好的擬合效果.其中，式(17)給出的簡化振型融合了式(13)和式(14)的優(yōu)點(diǎn)，函數(shù)形式簡單，對彎曲剪切都具有很好的吻合效果，也包含了上剪下彎的振型形式.因此，本文推薦采用該簡化振型模擬高層建筑的基階平動振型，式中的β定義為振型指數(shù).

2.2 振型指數(shù)β的確定

由彎剪梁動力特性分析可知，每一個λ對應(yīng)一條振型曲線，而采用簡化振型對其擬合時也有相應(yīng)的一個待定系數(shù)值β，λ與β之間存在一定的映射關(guān)系.表2給出了振型簡化式(17)中振型指數(shù)β與λ對應(yīng)關(guān)系，二者的關(guān)系曲線如圖3中實(shí)線所示.

a 由式(13)擬合的振型曲線族

b 式(13)的擬合效果

c 式(14)的擬合效果

d 式(15)的擬合效果

e 式(16)的擬合效果

f 式(17)的擬合效果

考慮到β隨λ趨于無窮時的收斂性，本文選取如下的反正切函數(shù)來擬合二者之間的近似關(guān)系式：

β(λ)=1.29+0.4arctan(0.67λ-1.1)

(18)

擬合效果如圖3中虛線所示.可見，近似關(guān)系式與實(shí)際關(guān)系式誤差基本都在1%內(nèi).

表2 結(jié)構(gòu)特征參數(shù)λ與振型指數(shù)β之間的關(guān)系

由此，就給出了確定本文簡化振型的完整方案：① 根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)求出結(jié)構(gòu)特征參數(shù)λ；② 將λ值代入式(18)得到振型指數(shù)β；③ 再將β代入式(17)，即可得到與實(shí)際結(jié)構(gòu)更吻合的簡化振型，即：φ1=1.5Xβ(λ)-0.5X3.

上述方案的前提是需要事先確定結(jié)構(gòu)特征參數(shù)λ，這需要計算實(shí)際結(jié)構(gòu)的整體抗彎剛度和抗剪剛度.在實(shí)際工程中，這樣計算λ不一定很方便.相反，實(shí)際結(jié)構(gòu)的動力特性分析已是工程結(jié)構(gòu)計算的必做項目，固有頻率比較容易得到.為此，本文給出第二種確定β值的方案：利用結(jié)構(gòu)前兩階固有頻率直接計算β值.

圖3 結(jié)構(gòu)特征參數(shù)λ與振型指數(shù)β的關(guān)系

從式(10)可知，結(jié)構(gòu)前兩階固有頻率計算式如下：

(19)

(20)

若是考慮結(jié)構(gòu)的前兩階頻率比γ=ω2/ω1，由于k11H和k12H都是λ的函數(shù)，則頻率比γ與λ之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)γ值即可確定λ值，二者關(guān)系如圖4所示.

為簡潔起見，聯(lián)立圖3中的實(shí)線與圖4曲線這兩條關(guān)系曲線，直接根據(jù)λ這個“橋梁”，也可得出頻率比γ=ω2/ω1(周期比T1/T2)與β的關(guān)系曲線，如圖5所示.經(jīng)擬合，二者關(guān)系可用式(21)表示:

β=15.15(γ-2.95)0.015-13.508

(21)

這樣，只需知道頻率比γ，即可求出β，從而確定振型.

圖4 頻率比γ與結(jié)構(gòu)特征參數(shù)λ的關(guān)系

圖5 頻率比γ與振型指數(shù)β的關(guān)系

3 某高層建筑風(fēng)振計算實(shí)例分析

某超高層建筑，共44層，其中地面以上為38層，總高度為180.3 m，框架核心筒結(jié)構(gòu)體系；矩形截面，X方向迎風(fēng)寬度Lx=52 m，Y方向迎風(fēng)寬度Ly=59.2 m.結(jié)構(gòu)的建設(shè)場地為C類地貌，基本風(fēng)壓為w0=0.601 KN·m-2；取結(jié)構(gòu)的體型系數(shù)為μs=1.38，一階振型阻尼比為0.04.根據(jù)設(shè)計單位通過有限元軟件計算提供的結(jié)構(gòu)動力特性資料，其一階周期分別為T1x=4.709 s、T1y=4.550 s，二階周期分別為T2x=1.434 s和T2y=1.108 s.

將通過有限元計算得到的振型作為實(shí)際振型，以地面處為固定端，沿X、Y方向的振型如圖6中的實(shí)線和虛線所示.根據(jù)已知周期計算出沿X、Y方向的頻率比γ分別為3.284、 4.107，代入式(21)可得振型指數(shù)βx= 1.395、βy= 1.675，再由式(17)分別可得到兩個方向的基階簡化振型，如圖6中圓點(diǎn)曲線所示.可見，本文簡化振型都能很好地反映實(shí)際結(jié)構(gòu)沿X、Y方向的振型.

圖6 本文振型與實(shí)際振型的比較

Fig.6Comparisonbetweenstructuralmodesobtainedbyfiniteelementmethodandbysimplifiedmodelofthispaperrespectively

分別選用實(shí)際結(jié)構(gòu)基階振型、荷載規(guī)范[11]的兩種振型(即式(3)和規(guī)范[11]中表G.0.3給出的振型)、線性振型(即式(1))、正弦振型(即式(4))以及本文簡化振型，按我國荷載規(guī)范[11]計算該建筑順風(fēng)向的等效靜力風(fēng)荷載(ESWL)、底部總剪力和總彎矩.

根據(jù)規(guī)范[11]的式(8.4.3)可求得不同振型下的風(fēng)振系數(shù)，并進(jìn)一步得到順風(fēng)向等效靜風(fēng)荷載沿高度的分布.圖7a給出了分別采用5種簡化振型得到的X方向等效靜風(fēng)荷載與采用實(shí)際振型所求得的等效靜風(fēng)荷載之間的誤差；圖7b則為Y方向的誤差.圖7曲線標(biāo)注中編號1～5依次代表基于規(guī)范[11]表G.0.3給出的振型、正切振型、線性振型、正弦振型、本文振型計算風(fēng)荷載的誤差.可見，采用本文簡化振型求得在X、Y兩個主軸上各高度處的等效靜風(fēng)荷載最大誤差均在3.5%之內(nèi)，而采用其他4種振型的最大誤差均大于11%，甚至可達(dá)20%.顯然，采用本文的簡化振型更能精確地體現(xiàn)風(fēng)荷載沿高度的分布情況.

a X方向

b Y方向

表3、表4給出了基底剪力和基底彎矩的計算結(jié)果.可見，采用本文簡化振型時，兩個方向的計算結(jié)果誤差都在1%之內(nèi)，而采用規(guī)范表格振型、規(guī)范正切振型、線性振型、正弦振型時，基底剪力最大誤差依次為3.04%、3.34%、2.08%、2.56%.因此，采用本文的簡化振型可以明顯地提高風(fēng)荷載計算的精度.

表3X、Y方向基底剪力比較

Tab.3ComparisonofbaseshearsinXandYdirectionscorrespondingtovarioussimplifiedmodes

振型X向基底剪力/kNX向誤差/%Y向基底剪力/kNY向誤差/%實(shí)際振型1571017924規(guī)范表格15233-3．0417631-1．64規(guī)范正切159501．53185233．34線性振型157750．42182972．08正弦振型15307-2．5617721-1．14本文振型15634-0．4817770-0．86

表4X、Y方向基底彎矩比較

Tab.4ComparisonofbasemomentsinXandYdirectionscorrespondingtovarioussimplifiedmodes

振型X向基底彎矩/(103kN·m)X向誤差/%Y向基底彎矩/(103kN·m)Y向誤差/%實(shí)際振型1736．5242004．354規(guī)范表格1710．941-1．471985．069-0．96規(guī)范正切1738．8410．132022．0760．88線性振型1736．9680．032018．0710．68正弦振型1718．911-1．011994．633-0．48本文振型1733．593-0．171996．129-0．41

事實(shí)上，為驗(yàn)證本文簡化振型的通用性，本文作者另外從有關(guān)資料收集了10組由有限元計算得到的高層建筑基階振型，建筑高度在60～300 m之間，近似滿足等截面均質(zhì)假定.分析結(jié)果表明，根據(jù)式(17)直接對這10組振型擬合，也十分吻合；基于本文給出的簡化振型確定方案進(jìn)行風(fēng)振計算，結(jié)果誤差也都很小.限于篇幅，在此不一一展示計算結(jié)果.

4 結(jié)束語

本文通過彎剪型懸臂梁模型的自由振動分析，得出可用于高層建筑的振型函數(shù)和控制振型形狀的結(jié)構(gòu)特征參數(shù)λ；通過對不同λ值得出的基階振型曲線進(jìn)行非線性擬合，給出式(17)的簡化振型.其形式簡單，融合了以往文獻(xiàn)中簡化振型的優(yōu)點(diǎn)，對實(shí)際高層建筑的基階振型也具有很好的吻合度.同時，給出了控制簡化振型形狀的參數(shù)β的確定方案，使簡化振型能夠有效地反映不同建筑結(jié)構(gòu)的基階振型.將本文簡化振型運(yùn)用到實(shí)際高層建筑的風(fēng)振計算中，結(jié)果表明，該振型能更為精確地反映風(fēng)荷載沿建筑高度的分布情況，明顯提高風(fēng)荷載和風(fēng)振響應(yīng)的計算精度.

基于本文振型簡化思路，可以再進(jìn)一步分析高層建筑的扭轉(zhuǎn)振型以及二階平動振型的簡化形式，從而為我國高層建筑結(jié)構(gòu)的風(fēng)荷載和風(fēng)振計算提供更科學(xué)的依據(jù).同時，對高層建筑抗震設(shè)計中地震力的初步預(yù)估也有參考價值.

需要說明的是，本文的研究成果只適用于具有任意形狀對稱截面(質(zhì)心與剛心重合)的等截面高層建筑.對于變截面、具有彎扭耦合效應(yīng)、非懸臂型等其它形狀的高層建筑，則還有待進(jìn)一步研究.

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