基于耦合度的鐵道車輛平穩(wěn)性分析

陳迪來(lái)， 沈 鋼， 宗聰聰

(同濟(jì)大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院， 上海 201804)

運(yùn)行在軌道上的鐵道車輛除了受線路不平順激勵(lì)而產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)以外，還由于車輛-軌道系統(tǒng)內(nèi)部自身激勵(lì)而產(chǎn)生自激振動(dòng)(以輪對(duì)為特征的振動(dòng)叫輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)).輪對(duì)蛇行運(yùn)動(dòng)在某些特殊工況下，還會(huì)導(dǎo)致車體或者構(gòu)架的劇烈振動(dòng)[1].輪軌激擾通過(guò)輪對(duì)傳到轉(zhuǎn)向架構(gòu)架，再由轉(zhuǎn)向架構(gòu)架傳到車體，造成車體劇烈振動(dòng)，嚴(yán)重影響旅客乘坐舒適度.當(dāng)轉(zhuǎn)向蛇行運(yùn)動(dòng)頻率與車體某些固有頻率相接近時(shí)，極易引起車體的振動(dòng)加劇.這種近似共振的頻率激擾，容易使車體和轉(zhuǎn)向架的振動(dòng)發(fā)生耦合，使車體振動(dòng)的幅值擴(kuò)大.如果這種振動(dòng)長(zhǎng)期得不到抑制，就會(huì)造成晃車現(xiàn)象[2].

車體晃動(dòng)時(shí)，由于橫向晃動(dòng)頻率比較接近人體的敏感區(qū)域，從而嚴(yán)重惡化了旅客乘坐的舒適性.周勁松[3]、張洪等[4-5]基于模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，對(duì)某客車橫向異?，F(xiàn)象進(jìn)行了分析.Dumitriu[6]分析了橫向懸掛參數(shù)對(duì)鐵道車輛乘坐舒適性的影響.Suarez等[7]研究了車輛不同的懸掛參數(shù)對(duì)車輛動(dòng)力學(xué)性能影響的靈敏性.池茂儒等[8]研究了轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)對(duì)鐵道車輛運(yùn)行平穩(wěn)性的影響.黃彩虹等[9]使用數(shù)值方法和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)研究了某高速列車車體低頻蛇行運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.Iwnicki[10]對(duì)車體蛇行和轉(zhuǎn)向架蛇行之間的區(qū)別進(jìn)行分析，根據(jù)線性模型和非線性模型對(duì)車體的蛇行穩(wěn)定性進(jìn)行了分析.樸明偉等[11]建立了剛?cè)狁詈夏Ｐ?，分析了抗蛇行高頻阻抗對(duì)柔性車體底板橫向振動(dòng)的影響規(guī)律.何旭升等[12]對(duì)運(yùn)營(yíng)中的高速動(dòng)車組進(jìn)行振動(dòng)在線測(cè)試，發(fā)現(xiàn)車體出現(xiàn)晃動(dòng)時(shí)平穩(wěn)性指標(biāo)明顯大于2.5，晃動(dòng)主頻為1.5 Hz左右，主要表現(xiàn)為車體側(cè)滾和搖頭的耦合振型.

對(duì)于轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)與車輛橫向平穩(wěn)性之間的耦合振動(dòng)的研究相對(duì)較少，本文首先利用Simpack建立了某型地鐵車的非線性模型，仿真再現(xiàn)了車體橫向平穩(wěn)性局部惡化現(xiàn)象；再根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的歐式貼近度識(shí)別不同速度工況下車輛系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，分析車輛橫向平穩(wěn)性局部惡化的原因.在此基礎(chǔ)上，提出了鐵道車輛系統(tǒng)所有模態(tài)間的耦合度這個(gè)概念，利用耦合度判斷轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)與車體橫向振動(dòng)的耦合程度，并據(jù)此來(lái)優(yōu)選懸掛參數(shù)，提高車輛的運(yùn)行平穩(wěn)性.

1 地鐵車車體橫向晃動(dòng)現(xiàn)象的模擬

1.1 車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

某型地鐵在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中，在某些速度范圍內(nèi)，車體出現(xiàn)橫向晃動(dòng)現(xiàn)象.根據(jù)某型地鐵車的參數(shù)，如表1所示，利用Simpack軟件建立了動(dòng)力學(xué)仿真模型.模型簡(jiǎn)化成車體、構(gòu)架、輪對(duì)等構(gòu)成的多剛體系統(tǒng)，各部件之間通過(guò)彈簧、阻尼等元件組成[13].

表1 車輛的部分參數(shù)

1.2 非線性臨界速度計(jì)算

車輛的非線性臨界速度是車輛在線路上運(yùn)行允許的最高速度，當(dāng)車輛運(yùn)行的速度超過(guò)臨界速度時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一種不穩(wěn)定的蛇形運(yùn)動(dòng)，他們的振幅隨著時(shí)間的延續(xù)而不斷地?cái)U(kuò)大，使輪對(duì)左右搖擺直到輪緣撞擊鋼軌，甚至引起脫軌.

仿真條件：給車輛的第一位輪對(duì)8 mm的橫移量為初始條件，然后計(jì)算在光滑直線上第一位輪對(duì)橫移量的收斂情況，如圖1所示.

從圖1中可以看出，此車輛模型在速度為215 km·h-1時(shí)，一位輪對(duì)的橫移量能完全收斂，但是在速度為216 km·h-1時(shí)，一位輪對(duì)的橫移量不能收斂，輪對(duì)橫移的振動(dòng)變?yōu)椴环€(wěn)定的狀態(tài).即車輛的非線性臨界速度為215 km·h-1，高于設(shè)計(jì)的最高速度100 km·h-1.

圖1 一位輪對(duì)橫向位移

1.3 橫向晃動(dòng)現(xiàn)象的模擬

借助1.1節(jié)車輛動(dòng)力學(xué)仿真模型，對(duì)車輛的平穩(wěn)性進(jìn)行了仿真分析，仿真工況為：車輛運(yùn)行的速度為5～120 km·h-1(每個(gè)5 km·h-1為一個(gè)速度等級(jí))，軌道不平順采用美國(guó)5級(jí)線路不平順.

圖2a是車輛垂向平穩(wěn)性隨車輛運(yùn)行速度的變化規(guī)律，從圖中可知，車輛垂向平穩(wěn)性指標(biāo)隨著運(yùn)行速度的增加而單調(diào)增加，并且在速度為120 km·h-1以下時(shí)，垂向平穩(wěn)性的指標(biāo)均小于2.75，評(píng)定等級(jí)[1]為良.

圖2b是車輛橫向平穩(wěn)性隨車輛運(yùn)行速度的變化關(guān)系，從圖中可知，車輛橫向平穩(wěn)性與速度的變化關(guān)系并不是呈線性關(guān)系.對(duì)于車體中部而言，在速度為50 km·h-1時(shí)，橫向平穩(wěn)性出現(xiàn)了一個(gè)局部峰值；對(duì)于車體后端而言，在速度為45 km·h-1時(shí)，橫向平穩(wěn)性出現(xiàn)了一個(gè)局部峰值.此時(shí)車輛的橫向平穩(wěn)性有所惡化，說(shuō)明車輛橫向出現(xiàn)了異?；蝿?dòng)現(xiàn)象，這與該地鐵車輛在實(shí)際運(yùn)行中出現(xiàn)的現(xiàn)象相同.

2 耦合度

2.1 模糊貼近度

模糊貼近度是描述兩個(gè)模糊集合之間的接近程度，即兩個(gè)模糊集合的相似程度.在模糊模式識(shí)別中，常采用貼近度識(shí)別模糊子集的模式類別.貼近度越接近1，說(shuō)明這兩個(gè)模糊子集越相似，貼近度越接近0，說(shuō)明兩個(gè)模糊子集的差異越大[14-15].

(1)

式中：Nxy為歐式貼近度，n為向量的維數(shù)；子集x=

a 垂向平穩(wěn)性

b 橫向平穩(wěn)性

[x1,x2,…,xn]；子集y=[y1,y2,…,yn]；xi≥0；yi≥0；i=1,2,…,n.首先要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行前處理(歸一化處理)，即：

(2)

式中：i=1,2,…,n；a=maxx；b=maxy；Nxy∈[0,1].

2.2 模態(tài)追蹤

假設(shè)某鐵道車輛系統(tǒng)有n個(gè)自由度，車輛運(yùn)行的速度為v，忽略軌道不平順，建立車輛模型的線性化方程[1]，如下所示:

(3)

式中：Μ,C,K分別為車輛系統(tǒng)質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣；Cwr,Kwr為與輪軌接觸參數(shù)有關(guān)的矩陣；q為廣義位移向量.

(4)

求解特征矩陣A的特征值λ和特征向量X，去掉特征值虛部為零的數(shù)據(jù)，記為

(5)

對(duì)特征向量的幅值Yi和相位角ψi進(jìn)行歸一化，這樣就可以得到參數(shù)V1條件下歸一化的各個(gè)振型的特征向量，如表2所示.

表2 參數(shù)V1條件下的特征向量

根據(jù)2.2節(jié)原理，同樣可以得到參數(shù)V2條件下歸一化的各個(gè)振型的特征向量.

根據(jù)模糊貼近度，計(jì)算不同參數(shù)條件下的特征向量的相似程度[16].

(6)

(7)

Nij=ωNYij+(1-ω)Nψij

(8)

式中：NYij為不同參數(shù)條件下模態(tài)振幅的貼近度；Nψij為不同參數(shù)條件下模態(tài)相位角的貼近度；α，β分別為振幅和相位角的權(quán)重；Nij為模態(tài)綜合貼近度；ω為振幅在綜合貼近度中所占的比例.第j列中的N·j的第k個(gè)數(shù)值最大，就說(shuō)明：參數(shù)V1的第k個(gè)振型與參數(shù)V2的第j個(gè)振型最相似.按照上述原理，依次計(jì)算不同參數(shù)條件下的特征向量，然后利用歐式貼近度，進(jìn)行識(shí)別哪兩個(gè)模態(tài)最接近，把最接近的模態(tài)放在一起，這樣就實(shí)現(xiàn)了模態(tài)的追蹤.

2.3 耦合度

耦合度是模塊間的關(guān)聯(lián)程度的度量，是用來(lái)描述多個(gè)系統(tǒng)或者運(yùn)行形式相互彼此作用影響的程度[17].因此，在模糊貼近度的基礎(chǔ)上，提出了鐵道車輛系統(tǒng)所有模態(tài)之間的耦合度：

(9)

式中：D為耦合度，Nij為第i個(gè)模態(tài)和第j個(gè)模態(tài)之間的貼近度，ωij為權(quán)重系數(shù)(在設(shè)計(jì)權(quán)重系數(shù)的時(shí)候，應(yīng)考慮車輛系統(tǒng)中，垂向和橫向?yàn)槿躐詈蟍18]).

3 車體橫向晃動(dòng)分析

3.1 模態(tài)計(jì)算

從圖2中可以看出，車輛在40～60 km·h-1速度區(qū)間內(nèi)，車輛的橫向平穩(wěn)性有所惡化.為進(jìn)一步分析車輛橫向平穩(wěn)性惡化的原因，建立了23自由度的車輛線性化模型，根據(jù)貼近度原則，計(jì)算車輛所有剛體模態(tài)的頻率和阻尼比與速度的關(guān)系.

從圖3中可以看出，轉(zhuǎn)向架蛇行頻率隨著速度的增加而增大，這與理論分析結(jié)果相同，說(shuō)明利用模糊數(shù)學(xué)的歐式貼近度原則，能有效追蹤剛體模態(tài).車體固有模態(tài)的頻率與速度無(wú)關(guān).速度區(qū)間為40～60 km·h-1時(shí)，轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)的頻率與車體上心滾擺和搖頭的頻率相接近，并且車體上心滾擺的阻尼比急劇下降，最低下降到了10%，車體搖頭的阻尼比也急劇下降，最低下降到了14%，阻尼比越小，消能越慢.結(jié)合橫向平穩(wěn)性計(jì)算結(jié)果，說(shuō)明此時(shí)由于轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)頻率和車體橫向固有頻率相接近而發(fā)生共振，惡化了局部橫向平穩(wěn)性指標(biāo).

a 頻率

b 阻尼比

為了分析在頻率接近區(qū)域內(nèi)各個(gè)剛體模態(tài)的振型形式，將車輛系統(tǒng)的23個(gè)自由度均勻分布在羅盤圖上.圖4為速度為50 km·h-1時(shí)，車體上心滾擺的矢量圖，圖4a為上心滾擺振型的各個(gè)自由度幅值相對(duì)大小，圖4b為各個(gè)自由度的相對(duì)相位.圖5為速度為50 km·h-1時(shí)，轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)(同相)的矢量圖.對(duì)比圖4和圖5可以看出，在速度為50 km·h-1時(shí)，車體上心滾擺和轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)(同相)的振動(dòng)圖極為相似，此時(shí)他們的歐式貼近度為0.998，說(shuō)明前后轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)(同相)引起的車體上心滾擺與車體固有的上心滾擺振動(dòng)形式相同，說(shuō)明此時(shí)發(fā)生了共振現(xiàn)象.同理研究發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)行速度50 km·h-1時(shí)，車體搖頭和轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)(反相)歐式貼近為0.989，這也說(shuō)明在該速度區(qū)域，前后轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)(反相)引起的車體搖頭振動(dòng)與車體固有的搖頭振動(dòng)發(fā)生共振.

a 振幅

b 相位角

3.2 耦合度分析

圖6為該車輛模型各個(gè)模態(tài)之間的耦合度隨速度變化情況，耦合度的數(shù)值越大，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)模態(tài)相互影響的程度就越大，發(fā)生共振的可能也就越大.從圖中可以看出，速度區(qū)間為40～60 km·h-1時(shí)，車輛系統(tǒng)的耦合度很大，這與橫向平穩(wěn)性惡化的速度區(qū)間相同，說(shuō)明利用耦合度能反映橫向平穩(wěn)性局部惡化的情況.

a 振幅

b 相位角

圖6 耦合度變化情況

4 參數(shù)優(yōu)化

傳統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的方法是不斷改變懸掛參數(shù)的數(shù)

值，觀察車輛系統(tǒng)振動(dòng)情況，然后優(yōu)選懸掛參數(shù).但是對(duì)于車體異?；蝿?dòng)問(wèn)題，也很難確定一個(gè)觀察目標(biāo).但是依據(jù)本文的耦合度為優(yōu)化目標(biāo)，可以方便快捷地優(yōu)選懸掛參數(shù)，為解決車體異常問(wèn)題提供了可行的研究方法.

取消牽引桿的橫向剛度，將抗側(cè)滾扭桿剛度減小到0.5 MN·rad-1，將二系垂向減振器的阻尼增大至70 kN·s·m-1，二系橫向減振器的阻尼增大到50 kN·s·m-1，其余參數(shù)不變.

圖7為優(yōu)化后車輛的平穩(wěn)性隨速度的變化情況.從圖中可以看出，優(yōu)化后，車輛的垂向平穩(wěn)性基本不變，這也說(shuō)明轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)對(duì)車輛垂向平穩(wěn)性基本沒(méi)有影響.但是優(yōu)化之后的車輛橫向平穩(wěn)性沒(méi)有出現(xiàn)局部峰值，橫向平穩(wěn)性指標(biāo)隨著速度的增加而單調(diào)增大.

圖8為優(yōu)化懸掛后，車輛系統(tǒng)幾種主要模態(tài)隨速度變化規(guī)律.從圖中可以看出，在某速度下，雖然轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)的頻率與車體的上心滾擺和車體搖頭頻率相接近，但是轉(zhuǎn)向蛇行運(yùn)動(dòng)的頻率快速穿過(guò)車體的固有模態(tài)的頻率，沒(méi)有發(fā)生相互影響的情況，并且各自的阻尼比均沒(méi)有出現(xiàn)急劇下降的現(xiàn)象.

a 垂向平穩(wěn)性

b 橫向平穩(wěn)性

a 頻率

b 阻尼比

圖9為優(yōu)化后車輛系統(tǒng)的耦合度情況，從圖中可以看出，優(yōu)化前系統(tǒng)的最大耦合度為47，優(yōu)化之后，系統(tǒng)的最大耦合度為38，下降了23.68%.

圖9 耦合度變化情況(優(yōu)化后)

5 結(jié)論

(1) 基于模糊數(shù)學(xué)的歐式貼近度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)多自由度車輛系統(tǒng)的各剛體模態(tài)的自動(dòng)識(shí)別和追蹤，為分析各剛體模態(tài)頻率和阻尼比隨參數(shù)變化提供了有效的分析方法.結(jié)合車輛的平穩(wěn)性指標(biāo)等分析方法，能夠更準(zhǔn)確地掌握鐵道車輛的動(dòng)力學(xué)特性.

(2) 當(dāng)轉(zhuǎn)向架蛇行(同相)運(yùn)動(dòng)頻率與車體上心滾擺頻率相接近時(shí)，這兩個(gè)模態(tài)的貼近度接近1，說(shuō)明這兩個(gè)模態(tài)的振型極為相似.由轉(zhuǎn)向架蛇行(同相)運(yùn)動(dòng)引起的車體上心滾擺與車體的固有上心滾擺發(fā)生耦合振動(dòng)，這樣會(huì)惡化該速度段的橫向平穩(wěn)性.此時(shí)車體上心滾擺的阻尼比急劇下降，阻尼比下降到了10%.

(3) 轉(zhuǎn)向架蛇行(反相)運(yùn)動(dòng)引起的車體搖頭與車體固有的搖頭發(fā)生耦合振動(dòng)，也會(huì)惡化該速度段車輛的橫向平穩(wěn)性指標(biāo).如果轉(zhuǎn)向架蛇行(同相)運(yùn)動(dòng)頻率與車體固有上心滾擺頻率相接近的速度區(qū)間，與轉(zhuǎn)向架蛇行(反相)運(yùn)動(dòng)頻率與車體固有搖頭頻率相接近的速度區(qū)間相同時(shí)，這樣會(huì)更進(jìn)一步惡化橫向平穩(wěn)性.

(4) 車輛橫向平穩(wěn)性出現(xiàn)局部惡化時(shí)，雖然平穩(wěn)性指標(biāo)沒(méi)有超過(guò)優(yōu)良評(píng)定等級(jí)，但此時(shí)車輛系統(tǒng)的整體耦合度大，耦合度越大，發(fā)生共振的可能性就越大.以降低耦合度為優(yōu)化目標(biāo)，能消除車體橫向平穩(wěn)性局部惡化問(wèn)題，減弱車體橫向耦合振動(dòng).

[1] 沈鋼. 軌道車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].北京:中國(guó)鐵道出版社,2015.

SHEN gang. Railway vehicle system dynamics[M].Beijing: China Railway Publishing House,2015.

[2] 方靜賽. 鐵道車輛轉(zhuǎn)向架與車體振動(dòng)同步研究[D].成都:西南交通大學(xué),2015.

FANG Jingsai. Study on the vibration synchronization of the rolling stock bogie and carbody[D].Chengdu: Southwest Jiaotong University,2015.

[3] 周勁松,張洪,任利惠. 模態(tài)參數(shù)在鐵道車輛運(yùn)行平穩(wěn)性研究中的運(yùn)用[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,36(3):35.

ZHOU Jinsong, ZHANG Hong, REN Lihui. Application of modal parameter to ride quality improvement of railway vehicle[J]. Journal of Tongji University(Natural Science),2008,36(3):35.

[4] 張洪. 基于運(yùn)行模態(tài)識(shí)別的鐵路客車動(dòng)力學(xué)特征研究[D].上海:同濟(jì)大學(xué),2005.

ZHANG Hong. A study on dynamic quality of railway passenger vehicle based on operational modal parameter identification technique[D].Shanghai: Tongji University,2005.

[5] 張洪,周勁松,任利惠,等. 基于運(yùn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別的客車運(yùn)行平穩(wěn)性研究[J].鐵道學(xué)報(bào),2007,29(1):31.

ZHANG Hong, ZHOU Jin song, REN Li hui,etal. Research of riding stability of passenger cars based on operatinal modal parameter identification[J]. Journal of the China Railway Society,2007, 29(1):31

[6] DUMITRIU M. Numerical analysis of the influence of lateral suspension parameters on the ride quality of railway vehicles[J]. Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,54(4):1231.

[7] SUAREZ B, MERA J M, MARTINEZ M L,etal. Assessment of the influence of the elastic properties of rail vehicle suspensions on safety, ride quality and track fatigue[J]. Vehicle System Dynamics, 2013, 51(2):280.

[8] 池茂儒,張衛(wèi)華,曾京. 蛇行運(yùn)動(dòng)對(duì)鐵道車輛平穩(wěn)性的影響[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2008,21(6):20.

CHI Maoru, ZHANG Weihua, ZEN Jing,etal. Influence of hunting motion on ride quality of railway vehicle[J]. Journal of Vibration Engineering, 2008,21(6):20.

[9] HUANG C, ZENG J, LIANG S. Carbody hunting investigation of a high speed passenger car[J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2013, 27(8): 2283.

[10] IWNICKI S. Handbook of railway vehicle dynamics[M]. Boca Raton: CRC/Taylor & Francis, 2006.

[11] 樸明偉,李明星,趙強(qiáng),等. 高鐵車輛橫向振動(dòng)耦合機(jī)制及其減振技術(shù)對(duì)策[J].振動(dòng)與沖擊,2015,34(3):83.

PIAO Mingwei, LI Mingxing, ZHAO Qiang,etal. Lateral vibration coupling mechanism of high-speed rolling stocks and damping technical countermeasure[J]. Journal of Vibration and Shock,2015,34(3):83.

[12] 何旭升,吳會(huì)超,高峰. 高速動(dòng)車組晃車機(jī)理試驗(yàn)研究[J].大連交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2017,38(2):21.

HE Xusheng, WU Huichao, GAO Feng. Test study on carbody swing of hiang-speed EMUs[J].Journal of Dalian Jiaotong University, 2017,38(2):21.

[13] 潘春花. 地鐵車輛懸掛系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化及失效分析[D].成都:西南交通大學(xué),2012.

PAN ChunHua. The parameter optimization and failure analysis of the metro vehicle Suspension System[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University, 2012.

[14] WANG S, ZHANG T, CHENG L,etal. Comprehensive performance of compound fabrics in terms of electromagnetic shielding and wearability based on the Euclid approach degree of fuzzy matter elements[J]. Journal of the Textile Institute, 2016,108(3):1.

[15] 吳力士.通俗模糊數(shù)學(xué)與程序設(shè)計(jì)[M]. 北京:中國(guó)水利水電出版社,2008.

WU Lishi. Basic fuzzy mathematics and program design[M]. Beijing: China Water & Power Press,2008.

[16] XU Haiping, WANG Hsu-pin (Ben). Part family formation for GT applications based on fuzzy mathematics[J]. International Journal of Production Research, 1989, 27(9):1637.

[17] 謝開(kāi)貴,胡博,歐陽(yáng)穩(wěn),等. 基于灰色關(guān)聯(lián)的應(yīng)力盤驅(qū)力耦合度分析[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào),2010,33(6):20.

XIE Kaigui, HU Bo, OUYANG Wen,etal, Coupling degree analysis of stressed-lap driving forces using the gray correlation technique[J]. Journal of Chongqing University,2010,33(6):20.

[18] 翟婉明. 車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社，2007.

ZHAI Wanming. Vehicle-track coupling dynamics[M].Beijing: Science Press,2007.