框剪結(jié)構(gòu)簡化振型及在高層建筑風振計算中的應(yīng)用

張福壽 王國硯

（同濟大學航空航天與力學學院，上海200092）

0 引 言

在高層建筑風振計算中，結(jié)構(gòu)的振型具有重要作用，尤其是基本振型，在結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)計算中往往起著主導作用。高層建筑基本振型理論計算的復雜性給其風荷載和風振響應(yīng)計算帶來了很大困難。為便于計算，各國風荷載規(guī)范都給出了相應(yīng)的基本振型簡化模型。在我國的現(xiàn)行荷載規(guī)范［1］中，采用的是正切函數(shù)形式，或者是采用規(guī)范中表G.0.3的形式。在美國、日本以及歐洲國家的風荷載規(guī)范中，主要是采用冪函數(shù)形式，即φ1=(z/H)β［2］；其中，美國規(guī)范是簡單地取 β=1，即采用線性振型［3］。

然而，不同高層建筑基本振型各不相同。有關(guān)文獻研究表明，直接采用統(tǒng)一的振型表達式計算不同結(jié)構(gòu)的風荷載及風振響應(yīng)時會產(chǎn)生一定的誤差［4-5］。即使日本和歐洲的簡化振型表達式中通過對β取不同的值而反映不同結(jié)構(gòu)的振型特點，其形式也過于簡單，難以反映不同高層建筑的振型全貌。我國采用的正切函數(shù)振型應(yīng)理解為只適用于偏剪切型結(jié)構(gòu)，梁樞果［4］認為采用正弦函數(shù)形式相比于與正切函數(shù)能更好反映建筑基階振型的變化特點；荷載規(guī)范表G.0.3給出的振型應(yīng)理解為適用于偏稍彎曲型結(jié)構(gòu)，況且其表格數(shù)據(jù)的來源也是值得探究的。

為了便于計算，在進行理論性分析時，一般將高層建筑簡化為合理的等效懸臂梁模型來考慮。目前，工程中較多是選用彎剪梁模型或者基于框架剪力墻協(xié)同工作原理的模型為簡化模型。陳國興［6］將這兩類模型應(yīng)用于高層建筑隨機地震反應(yīng)分析中，通過具體算例論證了這兩種等效梁模型在高層建筑隨機地震反映計算中的有效性。Cluni F［7］以這兩種模型來估計高層建筑物對風荷載的動態(tài)響應(yīng)，以某高層為算例，經(jīng)計算對比表明，不管是結(jié)構(gòu)的振型還是風致響應(yīng)統(tǒng)計特性，兩種簡化模型與有限元數(shù)值模型的結(jié)果都具有很好的一致性。然而，由于基于等效梁模型所求得的振型函數(shù)解析表達式十分復雜，不便于工程應(yīng)用。因此，目前很少有學者基于這兩類等效梁模型做深入分析并給出基階簡化振型。盡管等效梁模型的振型表達式復雜，但若能通過對方程的求解過程進行分析，得出有利于簡化動力特性的相關(guān)規(guī)律，那么這兩種等效梁模型仍將能夠得到很好的應(yīng)用。

文獻［8］給出了基于框架剪力墻協(xié)同工作原理建立的高層建筑框架剪力墻結(jié)構(gòu)基本振型控制方程和計算方法。本文在此基礎(chǔ)上進一步給出高層建筑框剪結(jié)構(gòu)基本振型的形狀參數(shù)，并對不同參數(shù)下的基本振型進行非線性擬合分析，得出了能夠更好反映實際結(jié)構(gòu)基本振型且簡單實用的振型簡化模型；同時本文研究也表明，我國荷載規(guī)范中表G.0.3給出的振型屬于框剪結(jié)構(gòu)理論振型中λ= 3的情形。

1 基于框剪結(jié)構(gòu)協(xié)同工作原理的高層建筑理論振型

根據(jù)框架剪力墻協(xié)同工作原理，當只考慮剪力墻的彎曲變形和等效框架桿的剪切變形時，高層建筑框架剪力墻結(jié)構(gòu)（以下簡稱“框剪結(jié)構(gòu)”）的無阻尼自由振動微分方程為［8］

式中：EIW為綜合剪力墻的抗彎剛度；C為框剪結(jié)構(gòu)的綜合抗剪剛度；m為連續(xù)化計算模型的線質(zhì)量密度。

通過求解方程（1），根據(jù)框剪結(jié)構(gòu)連續(xù)化計算模型的邊界條件，可解得頻率方程：

以及振型函數(shù)：

式中：A1為常數(shù)；k1，k2為振型參數(shù)，它們與剛度特征值λ有如下關(guān)系：

令X=z∕H為無量綱高度，并將振型（3）對φ（H）歸一化，得到

當λ確定時，聯(lián)立式（2）和式（4）即可解出k1、k2。求出的k1、k2有無窮多組解，每一組解對應(yīng)一階固有頻率和振型。將第一組解（k11、k21）代入式（5）即可得到第一階對應(yīng)的歸一化振型。在整個求解過程中，只要λ值被確定，后續(xù)求解任一階的歸一化振型就不再與結(jié)構(gòu)的高度、質(zhì)量、剛度等參數(shù)有關(guān)。因此，剛度特征值λ不僅對框剪結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力的分配都有很大的影響，而且也是控制任意等截面框架剪力墻以及框架核心筒體系結(jié)構(gòu)等結(jié)構(gòu)體系任一階振型形狀的重要參數(shù)，每一階歸一化振型都可歸納為無量綱的相對高度X和λ這兩個參數(shù)的函數(shù)。

現(xiàn)針對第1階振型（稱為基本振型）進行分析。首先對λ從0到40合理地取16個值，并據(jù)此確定相應(yīng)的k11、k21值，其中λ和對應(yīng)的k11值如表1所示；將k11、k21值代入式（5）即可得到相應(yīng)的16條歸一化的基本振型曲線，如圖1（a）所示。可見，隨結(jié)構(gòu)體系的不同（反映在λ不同），高層建筑基本振型變化較大。

其中，當λ取 3時，所得振型恰好與荷載規(guī)范中表G.0.3給出的振型相吻合，如圖1（b）所示。由此可以基本確定，荷載規(guī)范表G.0.3中給出的振型即來源于此。

表1 結(jié)構(gòu)特征參數(shù)λ與k11H之間的關(guān)系Table 1 Relation between structural characteristic parameter λ and k11H

2 本文提出的基本振型簡化模型

從以上分析可以看出，式（3）給出的振型表達式的優(yōu)點在于具有合理的理論依據(jù)，且適應(yīng)各種常見的高層建筑結(jié)構(gòu)體系；缺點是表達式十分復雜，不便于工程應(yīng)用，因此需要對其進行簡化。為檢驗國外常用簡化振型表達式的合理性，本文首先以式（6）作為簡化振型

圖1 框剪結(jié)構(gòu)基本振型曲線族Fig.1 A set of fundamental mode shape curves of frameshear-wall structures

其中X=z∕H。將β作為待定系數(shù)，依次對每一個λ值對應(yīng)的振型曲線進行擬合，并將擬合結(jié)果與式（5）給出的振型曲線（圖1（a））進行比較，如圖2（a）所示（為了便于觀察，由上到下較為均勻地抽取中λ為0、1.5、3、5、10、40對應(yīng)的擬合效果曲線繪于圖中）。由圖2（a）可見，選用這一簡化振型表達式對偏剪切型的振型擬合效果不太好，也體現(xiàn)不出下彎上剪的振型特點。因此，本文基于相關(guān)文獻給出的振型表達式，通過變形、組合、退化等處理后發(fā)現(xiàn)，采用式（7）的簡化振型表達式進行非線性擬合，在各種情況下擬合效果都很好，如圖2（b）所示。

3 本文振型冪指數(shù)β的確定

圖2 不同簡化振型式對框剪結(jié)構(gòu)基本振型曲線族的擬合效果Fig.2 Fitting result comparison between different simplified mode shapes for frame-shear-wall structures

由基于框剪協(xié)同工作原理的結(jié)構(gòu)動力特性分析可知，每一個λ對應(yīng)一條振型曲線，而采用式（7）的簡化振型對其擬合時也有相應(yīng)的一個待定系數(shù)值β，λ與β之間存在一定的映射關(guān)系。表2給出了振型簡化式（7）中的振型冪指數(shù)β與λ的對應(yīng)關(guān)系，二者的關(guān)系曲線如圖3中實線所示。

考慮到β隨λ趨于無窮時的收斂性，本文選取反正切函數(shù)式（8）來擬合二者之間的近似關(guān)系式，擬合效果如圖3中的虛線所示。

β(λ)=1.692+0.410arctan(0.837-0.317λ)（8）

由圖3可見，采用式（8）計算的β值具有很好的精度，最大誤差不超過1.25%。

表2 結(jié)構(gòu)剛度特征值λ與本文振型指數(shù)β之間的關(guān)系Table 2 Relationship between structural stiffness characteristic number λ and mode index β of this paper

由此，當框剪結(jié)構(gòu)的λ值給定時，代入式（8）得出β值，再將β值代入式（7），可得到與實際結(jié)構(gòu)基本振型十分吻合的簡化振型。其中，當λ=0、β=1.95時，為純彎曲振型；λ取40時與取無窮大時的振型差不多，此時β=1.08，為純剪切振型；當λ=

圖3 結(jié)構(gòu)剛度特征值λ與本文振型的指數(shù)β的關(guān)系Fig.3 Relationship between structural stiffness characteristic number λ and mode index β of this paper

3、β=1.807時，所得振型與規(guī)范表G.0.3中給出的基本振型吻合。對于剪力墻、框架等其他結(jié)構(gòu)體系，當合理選擇參數(shù)值時，對應(yīng)的振型也能與式（7）很靠近。

由式（7）、式（8）和圖2（b）可以看出，本文給出的簡化振型既具有很好的精度，又具有簡潔的表達式和計算方法，便于工程應(yīng)用。

4 工程算例分析

為了論證本文所提出的基本振型簡化模型的準確性，選取三棟橫截面較為規(guī)則的高層建筑為工程算例，分析選用不同振型對這三棟典型建筑的風致響應(yīng)計算結(jié)果的影響。第一棟建筑是某電梯試驗塔，為剪力墻結(jié)構(gòu)體系，建筑共有44層，其中1～3、層為地下室，建筑計算高度為198.9 m；第二棟建筑是某商務(wù)中心主樓，為框架剪力墻結(jié)構(gòu)，建筑地面以上共72層，計算高度為290.4 m；第三棟建筑是鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)住宅，結(jié)構(gòu)模型是參考了文獻［9］中的算例略作調(diào)整所得，建筑地面以上共12層，計算高度為36 m，本文在此基礎(chǔ)上添加風荷載，進行風振計算。三棟建筑的具體工程概況如表3所示。

其中阻尼比統(tǒng)一取0.04，體型系數(shù)統(tǒng)一取1.4。對于加速度計算，三組算例取基本風壓按照10年一遇依次為0.40 kPa、0.45 kPa、0.35 kPa，阻尼比統(tǒng)一取0.02。結(jié)構(gòu)的實際振型和自振周期由有限元法計算得到。結(jié)構(gòu)的等效靜力風荷載和結(jié)構(gòu)風振響應(yīng)均按我國的結(jié)構(gòu)風工程理論和荷載規(guī)范條文說明中的精確積分計算式進行計算。

表3 三棟高層建筑的工程概況Table 3 The general situation of three high-rise buildings

對于算例2，結(jié)構(gòu)的剛度特征值λ=3.79，先將λ值代入式（8）得到β=1.549，再將β值代入式（7），得到本文計算的該結(jié)構(gòu)簡化基本振型?？紤]實際建筑都會含有一定的剪切變形和彎曲變形，因此本文依次取λ=1（β=1.89）、λ=13（β=1.17）為算例1和算例3的基本簡化振型。三組算例的振型曲線如圖4所示，可見本文給出的簡化振型與實際振型都很吻合。

分別采用我國荷載規(guī)范［1］中表G.0.3給出的振型和正切函數(shù)振型、文獻［4］給出的正弦振型、（美國規(guī)范采用的）線性振型、本文給出的簡化振型，按荷載規(guī)范［1］計算這三棟建筑的順風向風荷載、風致基底剪力、基底彎矩以及頂部加速度，并與采用基于有限元法的結(jié)構(gòu)基本振型計算的相應(yīng)結(jié)果進行比較。比較結(jié)果如下：

圖4 三組算例的振型曲線圖Fig.4 Fundamental mode shape curves of the three sets of examples

（1）沿高度變化的風荷載：將根據(jù)五種簡化振型計算出的沿高度變化的風荷載與根據(jù)實際振型計算的結(jié)果之間的相對誤差列于圖5。由圖5可見，最大誤差依次可達12%、16%、12%、10%、3%，采用本文簡化振型計算的風荷載誤差最小。

圖5 根據(jù)五種簡化振型計算的風荷載沿高度分布的誤差Fig.5 Relative errors of distributed horizontal wind loads calculated in terms of five simplified mode shapes

（2）基底總剪力、基底總彎矩和頂部加速度響應(yīng)：由表4-表6可看出，在這三組算例中，對于基底剪力，按規(guī)范表格振型、正切振型、正弦振型、線性振型計算的最大偏差依次為4.87%、3.49%、4.50%、2.5%；對于基底彎矩，與這四類簡化振型對應(yīng)的結(jié)果最大偏差依次為2.78%、1.17%、2.43%、1.02%；對于頂部順風向加速度響應(yīng)，最大偏差依次為18.34%、12.64%、10.22%、12.86%。

雖然以往文獻的某些簡化振型對某一組算例的響應(yīng)結(jié)果可能偏差不大，但綜合考慮三組算例，總體偏差還是比較明顯。而選用本文的簡化振型，不管是對哪一組算例，所計算得到的基底剪力和基地彎矩最大偏差均在1%內(nèi)；對于頂部加速度響應(yīng)，最大偏差也很小，不超過1.3%。

表4 不同簡化振型下的基底剪力及其偏差Table 4 Base shear and the relative errors calculated in terms of different simplified mode shapes

表5 不同簡化振型下的基底彎矩及其偏差Table 5 Base moment and the relative errors calculated in terms of different simplified mode shapes

表6 風致頂部加速度響應(yīng)的計算結(jié)果和偏差Table 6 Acceleration and the relative errors calculated in terms of different simplified mode shapes

總體上可以看出，簡化振型的不同，對風致響應(yīng)計算結(jié)果會有明顯的偏差，尤其對于風荷載分布以及頂部加速度。而采用本文給出的振型，相對能更好地反映建筑的實際振型，從而使風振計算結(jié)果的偏差大幅降低。事實上，為驗證本文簡化振型的適用性，本文從有關(guān)資料中收集了10余組由有限元法計算得到的高度在60 m至300 m之間且近似滿足等截面均質(zhì)假定的高層建筑基本振型，采用本文的簡化振型對這10組振型進行擬合，結(jié)果也很吻合；風荷載和風致響應(yīng)計算結(jié)果的誤差也都很小。限于篇幅，在此不一一展示計算結(jié)果。

5 結(jié) 語

本文在文獻［8］的基礎(chǔ)上根據(jù)高層建筑框架剪力墻結(jié)構(gòu)體系的理論振型歸納出控制框剪結(jié)構(gòu)基本振型形狀的參數(shù)-結(jié)構(gòu)剛度特征值λ；通過對與不同λ值相對應(yīng)的理論振型曲線族進行非線性擬合，得出基本振型簡化模型，并給出了通過結(jié)構(gòu)剛度特征值λ計算振型指數(shù)β的簡化方法；最后，將本文簡化振型應(yīng)用到三組實際高層建筑的風荷載和風致響應(yīng)計算中。

研究結(jié)果表明，運用本文簡化振型進行高層建筑的風荷載和風致響應(yīng)計算，能更為準確地反映不同結(jié)構(gòu)體系的基本振型對風荷載計算結(jié)果的影響，提高風荷載和結(jié)構(gòu)風致響應(yīng)的計算精度，且振型表達式簡單實用。同時，基于本文的分析可基本確定，我國荷載規(guī)范中以表G.0.3給出的振型來源于框剪結(jié)構(gòu)理論振型中λ= 3的情形。此外，可以預(yù)料，本文簡化振型不僅可應(yīng)用于高層建筑風致響應(yīng)計算，而且也可應(yīng)用于高層建筑抗震設(shè)計計算中。

需要說明的是，本文給出的基本振型簡化模型只適用于具有任意形狀對稱截面的等截面勻質(zhì)高層建筑。對于變截面、具有彎扭耦合效應(yīng)、非懸臂型等其他形狀的高層建筑，則還有待進一步研究。

致謝 感謝同濟大學土木工程防災(zāi)國家重點實驗室全涌教授為本文算例提供的無私幫助。