淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)

劉銘韜?沈奇男?朱紅亮

摘 要：逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分重要的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，創(chuàng)新和開(kāi)拓能力的提高都有很大幫助。本文從逆向思維的邏輯關(guān)系出發(fā)，探討了逆向思維能力在數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的具體體現(xiàn)和應(yīng)用，并提出了在數(shù)學(xué)教學(xué)中保障學(xué)生逆向思維能力培養(yǎng)的具體辦法。

關(guān)鍵詞：逆向思維；數(shù)學(xué)教學(xué)；邏輯關(guān)系；應(yīng)用

Discussion on Training of Reverse Thinking of Mathematics Teaching

Abstract： Reverse Thinking has very important applications in mathematics teaching， which provides a great help for training students thinking ability， and improving the innovation and development capacity. From the logic of reverse thinking， this article discuss the concrete manifestation of reverse thinking ability in mathematics Textbooks and mathematics teaching.

Keywords：reverse thinking；mathematics teaching；logic relationship；application

逆向思維是一種重要的數(shù)學(xué)思維，是孕育創(chuàng)造性思維的萌芽，逆向思維能力的掌握對(duì)解決生活和學(xué)習(xí)中面臨的問(wèn)題提供了一種主動(dòng)、積極的思維方法[1]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維對(duì)學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)有很大幫助，是學(xué)生學(xué)習(xí)和生活必備的一種思維品質(zhì)[2-3]。然而，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中更注重正向思維的培養(yǎng)，而淡化逆向思維的重要性，久而久之造成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)循規(guī)蹈矩、順向定性的去認(rèn)識(shí)和感知數(shù)學(xué)，缺乏創(chuàng)造能力和分析能力，這種思維方式也隨之應(yīng)用于生活和其它學(xué)習(xí)中，極大阻礙了學(xué)生思維能力的拓展和對(duì)新生事物的認(rèn)知力和適應(yīng)力[2]。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分認(rèn)識(shí)逆向思維的重要性，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)方面逆向思維的培訓(xùn)，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)架，激發(fā)學(xué)生的求知欲和創(chuàng)新精神。本文從逆向思維的重要性和數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的意義出發(fā)，探討了數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的方法。

1 逆向思維的邏輯關(guān)系

“反其道而思之”是逆向思維的精髓，即從事物發(fā)生的對(duì)立面或者結(jié)果對(duì)事物進(jìn)行分析，從問(wèn)題結(jié)論出發(fā)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索的思維方式。逆向思維是與正向思維相對(duì)立的，其將正向思維認(rèn)知的事物在思維上向?qū)α⒚娣较虬l(fā)展，打破習(xí)慣性的沿著事物發(fā)展的方向去思考和分析事物，而是從事物產(chǎn)生的結(jié)果或者效應(yīng)反向思考和推斷事物和結(jié)果之間的辯證效應(yīng)，尤其面對(duì)一些特殊問(wèn)題，從結(jié)論反向推斷，逆向思考，反而會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化[1-3]。逆向思維的優(yōu)點(diǎn)在于行業(yè)需求的普遍性、對(duì)正向思維的批判性和思維方式的新穎性，逆向思維的培養(yǎng)往往會(huì)增強(qiáng)你對(duì)事物認(rèn)知的興趣，提高自身開(kāi)拓能力和創(chuàng)新能力，試想一下，當(dāng)大多數(shù)人以習(xí)慣性的正向思維方式去看待事物或思考問(wèn)題，而你運(yùn)用逆向思維方式思考和解決問(wèn)題，以“出奇”達(dá)到“制勝”，這種效果就會(huì)使你在行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)、就業(yè)選擇中脫穎而出。

數(shù)學(xué)中逆向思維的應(yīng)用可以分為宏觀逆向思維方法和微觀逆向思維方法。從辯證唯物主義來(lái)講，事物都是對(duì)立存在的，往往互為因果，這就為分析和思考事物提供了兩種思維方法——正向思維方法和逆向思維方法，宏觀逆向思維方法就是從事物的辯證特性出發(fā)，突破思考框架、擺脫思維定律，形成用逆向思維去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維認(rèn)知，歐幾里得的《幾何原本》就是宏觀逆向思維的產(chǎn)物。微觀逆向思維方法是針對(duì)性解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)證明中的反證法、舉反例法都是逆向思維的體現(xiàn)。

2 數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維培養(yǎng)

學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)對(duì)于提高學(xué)生創(chuàng)新能力、培養(yǎng)學(xué)生興趣愛(ài)好、加強(qiáng)對(duì)事物的認(rèn)知能力至關(guān)重要。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了學(xué)生正向思維的培養(yǎng)外，要消除思想束縛，大膽嘗試和訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生逆向思維的培訓(xùn)，養(yǎng)成逆向思維思考問(wèn)題的習(xí)慣，并且與正向思維相結(jié)合，雙向思維進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解和思考，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一種體現(xiàn)，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的一種重要途徑。

2.1 數(shù)學(xué)定義的正、逆思維理解

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定義的理解即是一個(gè)對(duì)新事物認(rèn)知的過(guò)程，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，由于老師往往以正向思維方法對(duì)數(shù)學(xué)定義進(jìn)行闡述，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定義的理解僅停留在數(shù)學(xué)定義的字面意思，而缺少對(duì)定義深部的挖掘和理解。在教學(xué)過(guò)程中利用正、逆思維對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)定義的分析和講解，列舉反例，引導(dǎo)學(xué)生利用定義進(jìn)行反向思考，判別異同和是非，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

例1：已知函數(shù)是R上的單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若，求a的取值區(qū)間？

解答：

變形為

∵是奇函數(shù)

∴，∴根據(jù)奇函數(shù)定義∴

又∵函數(shù)遞減，∴

解得

2.2 數(shù)學(xué)公式、法則的逆向推斷

數(shù)學(xué)公式和法則是揭示相關(guān)數(shù)量間數(shù)學(xué)關(guān)系的銜接橋梁，數(shù)學(xué)公式和法則本身上是具有正、逆兩向的，正向公式和法則的運(yùn)用必然會(huì)產(chǎn)生等量關(guān)系的建立，而數(shù)量間已經(jīng)產(chǎn)生的定量關(guān)系也是公式和法則的逆向體現(xiàn)。學(xué)生對(duì)公式和法則的理解，受到固定正向思維的影響，僅僅停留在相關(guān)數(shù)量間等量關(guān)系的建立，而缺乏對(duì)公式和法則的推斷、變形，更不會(huì)去利用逆向思維對(duì)公式、法則進(jìn)行思考和分析。在解題過(guò)程中，除了公式、法則的正向運(yùn)用外，常常面臨公式、法則的逆向運(yùn)用，而學(xué)生逆向思維的缺乏，增加了解題難度。

例2：已知，，求的值？

解答：=27/16

該題運(yùn)用的主要為同底數(shù)冪除法性質(zhì)和冪的乘方性質(zhì)，逆向思維進(jìn)行計(jì)算，不僅提高了運(yùn)算速度，而且對(duì)結(jié)果的正確性更有把握，如果利用正向思維進(jìn)行解答，這道題無(wú)從下手。類似題目的練習(xí)不僅提高了對(duì)公式、法則的認(rèn)識(shí)和熟練程度，還在很大程度上培養(yǎng)了學(xué)生逆向思維的能力。

2.3 數(shù)學(xué)解題方法中正、逆思維的運(yùn)用

數(shù)學(xué)是一門靈活學(xué)科，對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答存在多種方式，但歸結(jié)起來(lái)就是正向解題和逆向解題方法，其中逆向解題法主要有逆推分析法，間接法，（排除法），等，逆推法主要運(yùn)用與條件證明結(jié)論的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，反證法是經(jīng)典的逆向解題方法，而間接法主要運(yùn)用在選擇題中。

1.逆推法的運(yùn)用，對(duì)于條件推斷結(jié)論的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，從僅有的條件出發(fā)，數(shù)學(xué)問(wèn)題往往不知從哪下手，很容易出現(xiàn)思維瓶頸，造成結(jié)論解答的困難。而逆推法是從結(jié)論出發(fā)，逆向推斷結(jié)論產(chǎn)生所需的條件，這樣往往可以簡(jiǎn)化問(wèn)題，明確解題思路，并且能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力和解答類似數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣。

2.反證法的運(yùn)用，首先假設(shè)結(jié)論不成立，然后利用已有的定義、公式或者法則證明結(jié)論的不成立與題目條件相矛盾，從而證明命題成立。該方法是一種很實(shí)用的證明數(shù)學(xué)命題方法，并且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力有很大幫助。

例3：證明：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60度。

反證法解答：假設(shè)命題不成立，即三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60度；

則三個(gè)內(nèi)角和必然大于180度；

這與定理“三角形內(nèi)角和等于180度”相矛盾；

所以假設(shè)不成立，故原命題得證。

3.間接法（排除法），這種方法主要應(yīng)用于數(shù)學(xué)競(jìng)技考試中，對(duì)于一個(gè)選擇性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，正向思維解題尋找答案耗費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，并且容易出錯(cuò)，而在競(jìng)技考試中時(shí)間是最重要的，所以可以選用將答案選項(xiàng)帶入題目中，進(jìn)行錯(cuò)誤答案排除法。

例4：當(dāng)b=1時(shí)，關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解，則a等于（ ）

A：2；B：-2；C：-2/3；D不存在

該題目是典型的競(jìng)技考試選擇題類型，如果正向思維解題，將b值帶入方程，并進(jìn)行化簡(jiǎn)和求解，耗費(fèi)大量時(shí)間。而運(yùn)用逆向思維方法，將答案帶入到題目中，很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)答案應(yīng)選A。

3 逆向思維培養(yǎng)的保障

學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的日常培訓(xùn)，如何保障學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)需要探討的重要問(wèn)題。學(xué)生逆向思維的形成與提升主要受到周邊環(huán)境的影響，這些環(huán)境包括教師教育理念、學(xué)校學(xué)習(xí)氛圍、學(xué)生興趣培養(yǎng)等等，不同環(huán)境影響下的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理念的認(rèn)識(shí)、問(wèn)題的處理和興趣的培養(yǎng)有著不同的見(jiàn)解程度，這對(duì)學(xué)生隨后的學(xué)習(xí)和生活起到很大程度的影響。數(shù)學(xué)逆向思維的培養(yǎng)，教師的教育理念至關(guān)重要，因?yàn)閷W(xué)生的思維方法受到老師的影響程度深，先進(jìn)的教育理念重視運(yùn)用正、逆思維思考和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，尤其在數(shù)學(xué)定義、公式和法則的認(rèn)識(shí)和講解中，重視逆向思維的運(yùn)用，并且在日常訓(xùn)練中，有意加深對(duì)逆向思維的練習(xí)。學(xué)校學(xué)習(xí)氛圍是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維思考興趣的平臺(tái)，學(xué)校注重學(xué)生的逆向思維培養(yǎng)，構(gòu)建逆向思維訓(xùn)練對(duì)象和競(jìng)賽，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維興趣。

4 結(jié) 論

數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)，對(duì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新能力和思維能力，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活具有重要意義。培養(yǎng)學(xué)生的正、逆思維能力，可以在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，尋求更便捷的解題思路，克服了學(xué)生正向思維的固定思考模式。學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)是個(gè)復(fù)雜過(guò)程，注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)，充分認(rèn)識(shí)到逆向思維的學(xué)生思想、創(chuàng)新能力的重要性，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣培養(yǎng)中構(gòu)建學(xué)生的逆向思維體系。

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